高中数学第三章空间向量与立体几何3_2_3空间的角的计算课件苏教版选修2_1

第3章 3 2空间向量的应用 3 2 3空间的角的计算 学习目标1 理解直线与平面所成角 二面角的概念 2 掌握向量法解决空间角的计算问题 3 体会空间向量解决立体几何问题的三步曲 题型探究 问题导学 内容索引 当堂训练 问题导学 知识点一空间角的计算 向量法 思考1 设a b分别是空间两条直线l1 l2的方向向量 则l1与l2的夹角大小一定为 a b 吗 答案 不一定 若l1 l2的方向向量的夹角为 0 内的角时 l1与l2的夹角为 a b 否则为 a b 思考2 若二面角 l 的两个半平面的法向量分别为n1 n2 则二面角的平面角与两法向量的夹角 n1 n2 一定相等吗 答案 不一定 可能相等 也可能互补 梳理 空间三种角的向量求法 cos a b cos e n cos n1 n2 0 知识点二向量法求线面角 二面角的原理 1 向量法求直线与平面所成角的原理 2 向量法求二面角的原理 题型探究 类型一求两条异面直线所成的角 例1如图 在三棱柱OAB O1A1B1中 平面OBB1O1 平面OAB O1OB 60 AOB 90 且OB OO1 2 OA 求异面直线A1B与AO1所成角的余弦值的大小 解答 建立如图所示的空间直角坐标系 则O 0 0 0 在解决立体几何中两异面直线所成角问题时 若能构建空间直角坐标系 则建立空间直角坐标系 利用向量法求解 但应用向量法时一定要注意向量所成角与异面直线所成角的区别 反思与感悟 跟踪训练1已知正方体ABCD A1B1C1D1中 E F分别是A1D1 A1C1的中点 求异面直线AE与CF所成角的余弦值 解答 不妨设正方体的棱长为2 分别取DA DC DD1所在直线为x轴 y轴 z轴 建立如图所示的空间直角坐标系 则A 2 0 0 C 0 2 0 E 1 0 2 F 1 1 2 类型二求直线和平面所成的角 例2已知正三棱柱ABC A1B1C1的底面边长为a 侧棱长为 求AC1与侧面ABB1A1所成的角 解答 建立如图所示的空间直角坐标系 方法一取A1B1的中点M 则MC1 AB MC1 AA1 又AB AA1 A MC1 平面ABB1A1 C1AM是AC1与侧面ABB1A1所成的角 又直线与平面所成的角在 0 90 范围内 AC1与侧面ABB1A1所成的角为30 设侧面ABB1A1的法向量为n y z y z 0 故n 0 0 又直线与平面所成的角在 0 90 范围内 AC1与侧面ABB1A1所成的角为30 反思与感悟 用向量法求线面角的一般步骤是先利用图形的几何特征建立适当的空间直角坐标系 再用向量的有关知识求解线面角 方法二给出了用向量法求线面角的常用方法 即先求平面法向量与斜线的夹角 再进行换算 跟踪训练2如图所示 已知直角梯形ABCD 其中AB BC 2AD AS 平面ABCD AD BC AB BC 且AS AB 求直线SC与底面ABCD的夹角 的余弦值 解答 由题设条件知 以点A为坐标原点 分别以AD AB AS所在直线为x轴 y轴 z轴 建立空间直角坐标系 如图所示 0 90 类型三求二面角 例3在底面为平行四边形的四棱锥P ABCD中 AB AC PA 平面ABCD 且PA AB E是PD的中点 求平面EAC与平面ABCD的夹角 解答 方法一如图 以A为原点 分别以AC AB AP所在直线为x轴 y轴 z轴建立空间直角坐标系 设PA AB a AC b 连结BD与AC交于点O 取AD中点F 则C b 0 0 B 0 a 0 D b a 0 P 0 0 a EOF等于平面EAC与平面ABCD的夹角 或补角 平面EAC与平面ABCD的夹角为45 方法二建系如方法一 PA 平面ABCD 设平面AEC的法向量为m x y z 平面AEC与平面ABCD的夹角为45 x 0 y z 取m 0 1 1 反思与感悟 1 当空间直角坐标系容易建立 有特殊的位置关系 时 用向量法求解二面角无需作出二面角的平面角 只需求出平面的法向量 经过简单的运算即可求出 有时不易判断两法向量的夹角的大小就是二面角的大小 相等或互补 但我们可以根据图形观察得到结论 因为二面角是钝二面角还是锐二面角一般是明显的 2 注意法向量的方向 一进一出 二面角等于法向量夹角 同进同出 二面角等于法向量夹角的补角 跟踪训练3若PA 平面ABC AC BC PA AC 1 BC 求锐二面角A PB C的余弦值 解答 如图所示建立空间直角坐标系 则A 0 0 0 B 1 0 C 0 1 0 P 0 0 1 设平面PAB的法向量为m x y z 设平面PBC的法向量为n x y z 令y 1 则z 1 故n 0 1 1 又 二面角A PB C是锐二面角 当堂训练 1 在一个二面角的两个半平面内 与二面角的棱垂直的两个向量分别为 0 1 3 2 2 4 则这个二面角的余弦值为 2 3 4 5 1 答案 解析 异面直线所成的角是锐角或直角 a与b所成的角是60 2 已知a b是异面直线 A B a C D b AC b BD b 且AB 2 CD 1 则a与b所成的角是 2 3 4 5 1 答案 解析 60 2 3 4 5 1 3 已知在正四棱柱ABCD A1B1C1D1中 AA1 2AB 则CD与平面BDC1所成角的正弦值是 答案 解析 以D为原点 分别以的方向为x轴 y轴 z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系 设AA1 2AB 2 则B 1 1 0 C 0 1 0 D 0 0 0 C1 0 1 2 设平面BDC1的法向量为n x y z 令z 1 则y 2 x 2 所以n 2 2 1 2 3 4 5 1 设直线CD与平面BDC1所成的角为 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 4 如图 在四棱锥S ABCD中 SA 平面ABCD 底面ABCD为直角梯形 AD BC BAD 90 且AB 4 SA 3 E F分别为线段BC SB上的一点 端点除外 满足 则当实数 的值为 时 AFE为直角 答案 解析 SA 平面ABCD BAD 90 故可建立如图所示的空间直角坐标系A xyz AB 4 SA 3 B 0 4 0 S 0 0 3 设BC m 则C m 4 0 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 建立如图所示的空间直角坐标系 平面ABCD的一个法向量为n 0 0 1 所以斜线PC与平面ABCD的法向量所在直线所成的角为60 所以斜线PC与平面ABCD所成角为30 5 在矩形ABCD中 AB 1 BC PA 平面ABCD PA 1 则PC与平面ABCD所成的角是 2 3 4 5 1 30 答案 解析 规律与方法 向量法求角 1 两条