高中数学 第三章 数系的扩充与复数章末复习课课件 新人教b版选修

章末复习课 第三章数系的扩充与复数 学习目标1 巩固复数的概念和几何意义 2 理解并能进行复数的四则运算且认识复数加减法的几何意义 题型探究 知识梳理 内容索引 当堂训练 知识梳理 1 复数的有关概念 1 复数的概念形如a bi a b R 的数叫做复数 其中a b分别是它的和 若 则a bi为实数 若 则a bi为虚数 若 则a bi为纯虚数 2 复数相等 a bi c di a b c d R 3 共轭复数 a bi与c di共轭 a b c d R 实部 b 0 虚部 a c且b d b 0 a 0且b 0 a c且b d 0 4 复平面建立直角坐标系来表示复数的平面 叫做复平面 在复平面内叫做实轴 叫做虚轴 实轴上的点都表示 除原点外 虚轴上的点都表示 各象限内的点都表示非纯虚数 5 复数的模 x轴 y轴 实数 纯虚数 z a bi 2 复数的几何意义 3 复数的运算 1 复数的加 减 乘 除运算法则设z1 a bi z2 c di a b c d R 则 加法 z1 z2 a bi c di 减法 z1 z2 a bi c di a c b d i a c b d i 乘法 z1z2 a bi c di 2 复数加法的运算定律复数的加法满足交换律 结合律 即对任意复数z1 z2 z3 有z1 z2 z1 z2 z3 4 共轭复数的性质 1 z 2 ac bd ad bc i z2 z1 z1 z2 z3 R z 3 任一实数的共轭复数仍是 反之 若z 则z是 4 共轭复数对应的点关于对称 实数 它本身 实轴 题型探究 类型一复数的概念 例1已知复数z a2 a 6 i 分别求出满足下列条件的实数a的值 1 z是实数 解答 解由a2 a 6 0 解得a 2或a 3 由a2 2a 15 0 解得a 5或a 3 由a2 4 0 解得a 2 由a2 2a 15 0且a2 4 0 得a 5或a 3 当a 5或a 3时 z为实数 2 z是虚数 解答 解由a2 2a 15 0且a2 4 0 得a 5且a 3且a 2 当a 5且a 3且a 2时 z是虚数 3 z是0 解由a2 a 6 0 且a2 2a 15 0 得a 3 当a 3时 z 0 引申探究例1中条件不变 若z为纯虚数 是否存在这样的实数a 若存在 求出a 若不存在 说明理由 解答 解由a2 a 6 0 且a2 2a 15 0 且a2 4 0 得a无解 不存在实数a 使z为纯虚数 1 正确确定复数的实 虚部是准确理解复数的有关概念 如实数 虚数 纯虚数 相等复数 共轭复数 复数的模 的前提 2 两复数相等的充要条件是复数问题转化为实数问题的依据 反思与感悟 跟踪训练1复数z log3 x2 3x 3 ilog2 x 3 当x为何实数时 1 z R 解答 解因为一个复数是实数的充要条件是虚部为0 解得x 4 所以当x 4时 z R 2 z为虚数 解答 解因为一个复数是虚数的充要条件是虚部不为0 类型二复数的四则运算 解答 例2 1 计算 i i 1006 0 1 i 解答 1 复数的除法运算是复数运算中的难点 如果遇到 a bi c di 的形式 首先应该写成分式的形式 然后再分母实数化 2 虚数单位i的周期性 i4n 1 i i4n 2 1 i4n 3 i i4n 1 n N in in 1 in 2 in 3 0 n N 反思与感悟 解答 类型三复数问题实数化思想 解答 解设z a bi a b R z2 2i z z1 z z2 即 a 2 bi a b 2 i z 2 2i或z 2 2i 设出复数z的代数形式 利用复数的分类及运算 列出方程 求得复数的实部和虚部 这是求解复数的常用思路 反思与感悟 解答 解设z a bi a b R z 3i a b 3 i为实数 可得b 3 a 1 即z 1 3i 解答 类型四复数的几何意义 例4设复数z满足 z 1 求 z 3 4i 的最值 解答 解由复数的几何意义知 z 1表示复数z在复平面内对应的点在以原点为圆心 1为半径的圆上 因而 z 3 4i 的几何意义是求此圆上的点到点C 3 4 的距离的最大值与最小值 z 3 4i min BC OC 1 4 复数和复平面内的点 以原点为起点的向量一一对应 复数加减法符合向量运算的平行四边形法则和三角形法则 z1 z2 表示复数z1 z2对应的两点Z1 Z2之间的距离 反思与感悟 解答 跟踪训练4已知复平面内点A B对应的复数分别是z1 sin2 i z2 cos2 icos2 其中 0 设对应的复数为z 1 求复数z 解由题意得z z2 z1 cos2 sin2 cos2 1 i 1 2sin2 i 解答 解由 1 知 点P的坐标为 1 2sin2 当堂训练 答案 2 3 4 5 1 解析 1 复数z a R 在复平面内对应的点在虚轴上 则a等于A 2B 1C 1D 2 所以2 a 0 即a 2 2 已知复数z 1 则1 z z2 z2014等于A 1 iB 1 iC iD 1 答案 2 3 4 5 1 解析 2 3 4 5 1 答案 解析 解析由条件知2 ai b i是共轭复数 则a 1 b 2 即实系数一元二次方程x2 px q 0的两个根是2 i 所以p 2 i 2 i 4 q 2 i 2 i 5 3 已知2 ai b i是实系数一元二次方程x2 px q 0的两根 则p q的值为A p 4 q 5B p 4 q 5C p 4 q 5D p 4 q 5 4 若 z 1 2 则 z 3i 1 的最小值为 解析 答案 解析因为 z 1 2 所以复数z在复平面内对应的点在以 1 0 为圆心 2为半径的圆上 z 3i 1 表示复数z在复平面内对应的点到点 1 3 的距离 因此 距离的最小值为1 2 3 4 5 1 1 2 3 4 5 1 解答 2 3 4 5 1 解设z a bi a b R 2 3 4 5 1 规律与方法 1 对复数的概念的考查是考查复数的基础 要求准确理解虚数单位 复数 虚数 纯虚数 共轭复数 实部 虚部 复数的模等概念 2 对复数四则运算的考查可能性较大 要加以重视 其中复数的乘法运算与多项式的乘法运算类似