高中数学 第1章 导数及其应用章末复习课课件 苏教版选修

章末复习课 第1章导数及其应用 学习目标1 理解导数的几何意义并能解决有关斜率 切线方程等的问题 2 掌握初等函数的求导公式 并能够综合运用求导法则求函数的导数 3 掌握利用导数判断函数单调性的方法 会用导数求函数的极值和最值 4 会用导数解决一些简单的实际应用问题 5 掌握定积分的基本性质及应用 题型探究 知识梳理 内容索引 当堂训练 知识梳理 1 导数的概念 1 定义 设函数y f x 在区间 a b 上有定义 x0 a b 若 x无限趋近于0时 比值 无限趋近于一个常数A 则称f x 在x x0处可导 并称该常数A为函数f x 在x x0处的导数 记作 2 几何意义 导数f x0 的几何意义就是曲线y f x 在点P x0 f x0 处的切线的斜率 f x0 2 基本初等函数的导数公式 1 x 为常数 2 ax a 0 且a 1 3 ex 4 logax logae a 0 且a 1 5 lnx 6 sinx 7 cosx x 1 axlna ex cosx sinx 3 函数的求导法则 1 f x g x 2 Cf x Cf x C为常数 3 f x g x f x g x f x g x f x g x 4 g x 0 4 复合函数的求导法则 1 复合函数记法 y f g x 2 中间变量代换 y f u u g x 3 逐层求导法则 y x y u u x 5 函数的单调性 极值与导数 1 函数的单调性与导数对于函数y f x 如果在某区间上f x 0 那么f x 为该区间上的增函数 如果在某区间上f x 0 那么f x 为该区间上的减函数 2 函数的极值与导数 极大值 在点x a附近 满足f a f x 当xa时 则点a叫做函数的极大值点 f a 叫做函数的极大值 极小值 在点x a附近 满足f a f x 当xa时 则点a叫做函数的极小值点 f a 叫做函数的极小值 3 求函数f x 在闭区间 a b 上的最值的步骤 求函数y f x 在 a b 上的极值 将函数y f x 的与f a f b 比较 得到f x 在区间 a b 上的最大值与最小值 f x 0 f x 0 f x 0 f x 0 极值 6 微积分基本定理对于被积函数f x 如果F x f x 那么f x dx F b F a 即F x dx F b F a 题型探究 例1设函数f x x3 ax2 9x 1 a 0 直线l是曲线y f x 的一条切线 当l的斜率最小时 直线l与直线10 x y 6平行 1 求a的值 解答 类型一导数几何意义的应用 解f x x2 2ax 9 x a 2 a2 9 f x min a2 9 由题意知 a2 9 10 a 1或a 1 舍去 故a 1 2 求f x 在x 3处的切线方程 解答 解由 1 得a 1 f x x2 2x 9 则k f 3 6 f 3 10 f x 在x 3处的切线方程为y 10 6 x 3 即6x y 28 0 利用导数求切线方程时关键是找到切点 若切点未知需设出 常见的类型有两种 一类是求 在某点处的切线方程 则此点一定为切点 易求斜率进而写出直线方程即可得 另一类是求 过某点的切线方程 这种类型中的点不一定是切点 可先设切点为Q x1 y1 由 f x1 和y1 f x1 求出x1 y1的值 转化为第一种类型 反思与感悟 跟踪训练1直线y kx b与曲线f x x3 ax 1相切于点 2 3 则b 解析由题意知f 2 3 则a 3 f x x3 3x 1 f 2 3 22 3 9 k 又点 2 3 在直线y 9x b上 b 3 9 2 15 15 答案 解析 例2设a为实数 函数f x ex 2x 2a x R 1 求f x 的单调区间与极值 解答 类型二函数的单调性 极值 最值问题 解由f x ex 2x 2a x R知 f x ex 2 x R 令f x 0 得x ln2 列表如下 故f x 的单调减区间是 ln2 单调增区间是 ln2 f x 在x ln2处取得极小值 极小值为f ln2 eln2 2ln2 2a 2 1 ln2 a 2 求证 当a ln2 1且x 0时 ex x2 2ax 1 证明 证明设g x ex x2 2ax 1 x R 于是g x ex 2x 2a x R 由 1 知 当a ln2 1时 g x 取最小值为g ln2 2 1 ln2 a 0 于是对任意x R 都有g x 0 所以g x 在R内单调递增 于是当a ln2 1时 对任意x 0 都有g x g 0 而g 0 0 从而对任意x 0 都有g x 0 即ex x2 2ax 1 0 故ex x2 2ax 1 本类题考查导数的运算 利用导数研究函数的单调性 求函数的极值和证明不等式 考查运算能力 分析问题 解决问题的能力 反思与感悟 跟踪训练2已知函数f x 4x2 4ax a2 其中a 0 1 当a 4时 求f x 的单调增区间 解答 2 若f x 在区间 1 4 上的最小值为8 求a的值 解答 f x 在 1 4 上的最小值为f 1 由f 1 4 4a a2 8 由f 4 2 64 16a a2 8 得a 10或a 6 舍去 当a 10时 f x 在 1 4 上单调递减 f x 在 1 4 上的最小值为f 4 8 符合题意 综上 a 10 例3某公司为获得更大的收益 每年要投入一定的资金用于广告促销 经调查 每年投入广告费t 百万元 可增加销售额约为 t2 5t 百万元 0 t 3 1 若该公司将当年的广告费控制在3百万元之内 则应投入多少广告费 才能使该公司获得的收益最大 解答 类型三生活中的实际问题 解设投入t 百万元 的广告费后增加的收益为f t 百万元 则有f t t2 5t t t2 4t t 2 2 4 0 t 3 所以当t 2时 f t 取得最大值4 即投入2百万元的广告费时 该公司获得的收益最大 2 现该公司准备共投入3百万元 分别用于广告促销和技术改造 经预测 每投入技术改造费x 百万元 可增加的销售额为 x3 x2 3x 百万元 请设计一个资金分配方案 使该公司由此获得的收益最大 解答 解设用于技术改造的资金为x 百万元 则用于广告促销的资金为 3 x 百万元 由此获得的收益是g x 百万元 所以g x x2 4 令g x 0 解得x 2 舍去 或x 2 又当0 x0 当2 x 3时 g x 0 故g x 在 0 2 上是增函数 在 2 3 上是减函数 所以当x 2时 g x 取得最大值 即将2百万元用于技术改造 1百万元用于广告促销 可使该公司获得的收益最大 解决优化问题的步骤 1 要分析问题中各个数量之间的关系 建立适当的函数模型 并确定函数的定义域 2 要通过研究相应函数的性质 如单调性 极值与最值 提出优化方案 使问题得以解决 在这个过程中 导数是一个有力的工具 3 验证数学问题的解是否满足实际意义 反思与感悟 跟踪训练3某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池 不计厚度 设该蓄水池的底面半径为r米 高为h米 体积为V立方米 假设建造成本仅与表面积有关 侧面的建造成本为100元 平方米 底面的建造成本为160元 平方米 该蓄水池的总建造成本为12000 元 为圆周率 1 将V表示成r的函数V r 并求该函数的定义域 解答 解因为蓄水池侧面的总成本为100 2 rh 200 rh元 底面的总成本为160 r2元 所以蓄水池的总成本为 200 rh 160 r2 元 又根据题意 得200 rh 160 r2 12000 2 讨论函数V r 的单调性 并确定r和h为何值时 该蓄水池的体积最大 令V r 0 解得r1 5 r2 5 因为r2 5不在定义域内 舍去 当r 0 5 时 V r 0 故V r 在 0 5 上为增函数 由此可知 V r 在r 5处取得最大值 此时h 8 即当r 5 h 8时 该蓄水池的体积最大 解答 当堂训练 1 函数y xex在其极值点处的切线方程为 答案 2 3 4 5 1 解析依题意得y ex xex 令y 0 可得x 1 解析 2 函数f x x e x的单调增区间是 答案 2 3 4 5 1 解析 1 令f x 0 得x 1 故单调增区间为 1 3 如图 y f x 是可导函数 直线l y kx 2是曲线y f x 在x 3处的切线 令g x xf x g x 是g x 的导函数 则g 3 2 3 4 5 1 答案 解析 0 2 3 4 5 1 解析 直线l y kx 2是曲线y f x 在x 3处的切线 f 3 1 又点 3 1 在直线l上 g x xf x g x f x xf x 4 体积为16 的圆柱 当它的半径为 时 圆柱的表面积最小 2 3 4 5 1 答案 解析 2 解析设圆柱底面半径为r 母线长为l 当r 2时 圆柱的表面积最小 5 设函数f x xea x bx 曲线y f x 在点 2 f 2 处的切线方程为y e 1 x 4 1 求a b的值 2 3 4 5 1 解答 解f x 的定义域为R f x ea x xea x b 1 x ea x b 解得a 2 b e 2 求f x 的单调区间 2 3 4 5 1 解答 2 3 4 5 1 解由 1 知 f x xe2 x ex 由f x e2 x 1 x ex 1 及e2 x 0知 f x 与1 x ex 1同号 令g x 1 x ex 1 则g x 1 ex 1 所以 当x 1 时 g x 0 g x 在区间 1 上单调递减 当x 1 时 g x 0 g x 在区间 1 上单调递增 故g 1 1是g x 在区间 上的最小值 从而g x 0 x 综上可知 f x 0 x 故f x 的单调增区间为 规律与方法 1 利用导数的几何意义可以求出曲线上任意一点处的切线方程y y0 f x0