数论四大猜想证明完新善稿全文.doc

二次互素函数的创立关于哥德巴赫猜想1和2、波林那克猜想、差数为任意偶数的素数对有无穷多组四大猜想的证明江 兆 谷一、欧拉函数定理另解1二、淑兰定理1（含素数会合定理、欧拉（n）函数简要证明、互不影响定理） 2三、淑兰定理2 19四、影响函数数值的大浪花、小浪花、小小浪花 27五、淑兰定理3基本结构 30六、欧拉淑兰函数 32七、素数分布函数图 53八、淑兰定理3 任意偶数的（1+1）个数的计算 53九、偶数（1+1）个数分布函数图 59十、淑兰定理4 H（1+1）（x）函数是发散性函数 59十一、淑兰定理5（关于孪生素数无穷的证明） 62十二、淑兰定理6（任意奇数均可表为三个素数之和的证明） 65十三、淑兰定理7（差值为任意偶数的素数对存在无穷多组的证明） 67附录1一至十亿二次互数函数筛率简表附录2偶数实有（1+1）个数和函算个数对照表二次互素函数的创立关于哥德巴赫猜想1和2、波林那克猜想、差数为任意偶数的素数对有无穷多组四大猜想的证明江 兆 谷“哥德巴赫猜想”认为，4以上偶数均可表为两个素数之和。本文将证明“哥德巴赫猜想”是对的，并给出证明其他三大猜想的公式，还将给出计算30以上任意偶数的两个素数之和即（1+1）个数的公式。如100=3+97、11+89、17+83、29+71、41+59、47+53。我们依此称100的（1+1）个数为6。及任意自然数前孪生素数的个数。先看被折叠的数轴，设X为30以上偶数 1 2 3 4 5 6 7 8 9X= + X-1 X-2 X-3 X-4 X-5 X-6 X-7 X-8 X-9我们将上表中以内的素数命名为行动素数，显然有行动素数p1,p2,，pk。必然是pk2Xpk+12。所以，研究“哥德巴赫猜想”，实际是研究溯数列上的行动素数P2， P3,，Pk在数轴折叠后会不会将顺数列上的素数全部踏至、全部留下足痕的问题。换言之，行动素数第二次筛减后1至无穷大数轴是否从某点开始没有了二次互素数的问题。一、欧拉函数定理另解先看欧拉函数定理2 假使n=P1P2Pk P1,P2,Pk都是素数 必有(n)=B(n；P1，P2，Pk)=n（1-欧拉在函数中指出的是：上式在n这个数之前，与n互素的数的个数。欧拉这一函数也可另解为：在1至n这个数轴上与P1，P2，Pk互素的数的个数。二、淑兰定理1（含素数会合定理）我并由此而寻找在n= P1P2Pk这个数轴上与P1，P2，Pk和P2，P3，Pk互素的二次互素函数。然而，对于第1页所述偶数X之和的顺、溯数列而言，人们难于找到与欧拉函数定理2相匹配契合的二次互素函数。原因有二。一是当人们将二次行动素数，随机投入表述X之和的顺、溯数列时，存在P/在数轴上多占一个点的可能。例如，1至62数轴，7在数轴上占八个点，而当7随机投入数轴的1、2、3、4、5、6中的任何一点，7/均能在数轴上占九个点。另外，P之间，以及P和除自身外的诸P之间构成的各类合数，也存在多占一点的可能。这会有无数多“一”的可能，令人无法构建与欧拉函数匹配契合的函数。二是无法构建一个天衣无缝的一、二次互素函数的统一的数模。因为在n= P1P2Pk中，行动素数P1，P2，Pk在数模1至n中，它们的潜在起点均是O，而终点是n，当二次行动素数P2/，P3/，Pk/随机投入上述1至n数模中时，它们的潜在起点均在O之左侧，除非P/与P重叠，潜在起点才在O中。它们的点即终点，必在n之内，它们的+p必在n之外，这样看来，一、二次行动素数实在是无法共容于1至n数模之中。那么，有什么方法能让一、二次互素函数的统一的数模构建起来呢？方法是将数轴弯曲成圆。用P1P2Pk圆和P1/，P2/，Pk/圆，双圆随机叠合，构建起了二次互素函数数模。当n= P1P2Pk时，我们有圆A，A圆周有P1P2Pk个点。如下图 又将P1/，P2/，Pk/随机投入A圆，令2/与2重叠。则有如下顺、溯数列1 2 3 4 5 6 x-6 x-5 x-4 x-3 x-2 x-1 X=+ x-1 x-2 x-3 x-4 x-5 x-6 6 5 4 3 2 1 我们将P/2,P/3,P/k随机投入数模A圆圆周边上时，它们与P1，P2，Pk一样，都只能在A圆数轴上占相同数量的点。各P/自身之间的各类合数和诸P/与诸P除自身外的各素数构成的各类合数也与诸P之间的各类合数一样占相同数量的点。始端早占1，尾端必失1。下面素数会合定理将给出证明。说诸P/的随机投入，是因为它随X之变而变，它们实际是整体按序投入，因为它们随X而万般变化，我们视它们为随机投入。当然这是随机投入中的一种，其数值是一样的。这就是它的惊人，迷人、令人赞叹之处。我们将诸P/投入时排除它与P的重叠，但实际存在的折叠以表现、体现X时某些P/与P重叠，我们顺其自然，它带来了有利值。上页圆形图也可以看作是将A/圆倒置，随X之变套在A圆上（2/与2始终重叠），可以看出，诸P/不可能在A圆周线上多占一个点，各类合数亦然。在此提一下在AA/圆环上，诸P自身之间，诸P/自身之间，以及诸P/与除自身外的诸P构成合数的素因子个数问题。在AA/圆环上，素因的个数，包括能整除某数的素因子或在该数上留下足痕的素因子，它们总计起来，不会超过K个素因子。象P1P2PkP/4或P1P2P/k-tP/5这类数，只有在折叠时其中的P/4与P4重叠，P/5与其中的P5重叠才会出现，这并不意味着素因子的增加，反而表明，该P/已经重叠而退出了第二次筛减，它促成的是有利于（1+1）个数增加的正量。至此，我们要弄清P/与除它自身外其他诸P构成合数的起点问题，即素数会合定理设素数P/i，Pr为2以上任意行动素数，且Pi/PrPK。在数模首端，当Pi/随机投入（Pi/与Pi不重叠）数模或数轴后Pi/总是先于第一个PiPr(即在它们之前)与Pr会合。Pi/最早会与数模首端第一个Pr会合，最晚会与首端第（Pi-1）Pr会合。并必有下式及a1，a2，a3，,0总计Pi个余数：； ； 上式中，有Pi个余数，不管它们顺序如何，它们必是1,2,3,Pi-1,O，它们Pi个余数各各不同，无一相等。假设有两个余数相等，若dbPi，这余数相等的两数的分子分别为Prb、Prd则必有因为我们已假定a/=a/ 故上式应成立。则应为正整数 由于db，bPi，它们之差也应小于Pi，设其差为C，则必有PrC为Pi整除。这个结论是悖谬的，因为Pi与Pr互素，也与小于它们的任何正整数互素，在PrC的乘积中，根本没有Pi的素因子，故而悖谬。可见，它们的Pi个余数，各不相等，必是1,2, 3,Pi-1,0.这样, P/i随机投入A圆周数轴后,它前方最接近Pr的第一个点距Pr决不是a1，除非P/i与Pi重叠。如果它最接近Pr的第一个点距Pr的距离为，说明它前方第二个最接近Pr的点距Pr距离为零，它们在那个Pr会合了。而Pi要到它前方第Pi个最接近(距离小于Pi)的Pr点它们才会会合。显然，在顺数列首端，P/i与Pr会合，总是早于快于Pi与Pr构成合数。那么，P/i在A圆周线上与Pr构成的合数会比Pi和Pr构成的合数多一个吗？不会。因为P/iPr和PiPr同样整除P1P2Pk，P/iPr再快再早，也多不出一个PiPr之数。我们已经证明2以上任意行动素数和必在之前会合。那么，若有，会在之前与会合吗？回答是肯定的。设素数，为2以上的任意行动素数，则必有下式及a1，a2，a(-1)，0总计个余数。并假定当构成第一个合数时未落足于他们。如已落足是说明已经先于已经会合了。a1，a2a(-1)，0 上式中，有个余数，不管它们的顺序如何，它们必是1，2，3，0。假设有两个余数相等，若有d，b，且db，这余数相等的两数的分子分别为b，d，则必有=因为我们已经假定=，故上式应成立，且应为正整数由于b、d均小于，它们之差也应小于，设其差为c，则必有c为整除。这个结论是悖谬的，因为与、互素，也与小于它的任何正整数互素，在c的乘积中，没有的素因子，故而悖谬。可见，上式中它们的个余数各不相同，必是1，2，3，0。在此一数模上，根据素数会合定理的第一个证明，必先于而会合。而piprpv必在pipvpr处才会会合。而pr经过pr个pipv也一定会与0余数会合。在此，我们要明确一下，即在PiPV点中，尽管PiPV的Pi不能整除PiPV共同落足的那个数。但Pi在数轴上与PV组成的这类特殊的二合数，仍然会以PiPV同样的步幅穿行于数模的始终。如果PrPiPV，我们可以把Pr放入分子，把PV放入分母。可照上证明。同一事物的另一个说法是总是先于与会合。依此类推，可证明诸四合、五合等等，带之合数皆先于不带的合数而会合。由于A圆数模与A圆数模是全等数环，它们互相间不管怎样移动位置，诸P都只能在A圆数环上留下它在A圆环上相等的点，它与诸P构成的各类合数也与它在A圆上与诸P构成的合数一一对应相等。早合于首端，必失之于尾端。因此，我们有淑兰定理1假使n=P1P2PkP1,P2,Pk都是素数，它们已经运行于n数模，对n圆形数模进行了筛减，而Pk+1以上素数安坐不动。现在再将P2，P3，Pk随机投入n圆形数环，让它们运行至数模终点，进行二次筛减，求取二次筛减后所剩互素数，则有H(n)=B(n;P1,P2,，Pk;P2, P3, ，Pk)证明：显然，（n）=B（n;P1,P2，,PK）已经由欧拉完美地证明了。我提出的是H（n）=B（n;P1, P2，Pk；P2，P3，PK）我们将诸P投入A圆环后它们落足的数并非是它们能整除的数，除非P与P重叠。我所探求的是A圆和A圆随机叠合后一、二次行动素数筛减数环所剩二次互素数的个数。而这个量，由A圆环和A圆环提示和数理分析证明，是严密的、客观的、不可动摇地存在的。它们表现如下式H（n）=n-+ + +(-1)K+(-1)K我们可以套用欧拉函数定理1、定理2的证明方法来证明。显然，所有由1至n的正整数有n个。不超过n而且是P1的倍数的正整数有个。同样，不超过n而且是P2的倍数的正整数有个不超过n而且是PK的倍数的正整数有个。同样，不超过n而且被P2留下足痕的正整数有个，不超过n而且被P5留下足痕的正整数有个不超过n而且被Pk留下足痕的正整数有个。因此，为了要得到所求的二次互素数个数B（n;P1，P2， Pk ;P2,P3;PK），我们需要构成差数：n-不过，这个式子还不等于所求的二次互素的个数B（n;P1,P2;，PK；P2,，Pk），如某数同时是两个素数Pi和Pt的倍数或、中为一个所整除，一个留足痕会合的数目，我们不是算了一次，而是算了两次，这意思是，我们还应当作一番修正，还应当补充以下式子显然第二个式子表示那些乘积P1P2的数即同时为P1和P2的倍数且不超过n的正整数的个数；以及表示那些既是P1倍数又同时是P/4留下足痕的数且不超过n的正整数的个数，其余式子也具有类似的意义。这样一来，经过所指出的修正以后，我们得出了下面式子：但，我们这里还不能得到所求的个数，因为增加了补充项等时，我们把同时被三个素数所整除的或被两个素数整除又有另一个二次素数留下足痕的或被一个素数整除，又有另两个二次素数留下足痕的数加回了三次，因此，为修正可能的错误，需要减去：依此类推进行类似的方法，我们加进最后的修正：加进这类修正后，我们实在已经除去了一切不超过n而且至少被素数P1，PK和P/2,P/3,，P/k中的一个所除整或一个留下足痕的正整数的个数。事实上，在一次互素函数即欧拉函数中，欧拉指出：例如某一正整数，被s个素数P1 , P2 , Ps中的每一个所整除，而不被其余的素数Ps+1 ,，Pk(在SK时）所整除。因为a属于自然数列区间1ax中，所以在等式（1）右边的第一行中，a被计算了一次；因为a被数目P1 , P2 , Ps每一个所整除，所以它在第二行中被计算了次；因为a是PiPj(1i, js; ij)的倍数，所以它在第三行中被算计了次，依次类推；最后，因为a 被乘积P1P2 , Ps所整除，所以它在第s行中被计算了次。在等式（1）右边的以下几行中，数目a已经不被计算到了，因为它只被P1 , Ps所整除。这样一来，数目a在公式（1）中被计算了 即，a点被筛去了。 然而对于二次互素函数来说，这个a点除可能集合了纯净的P1P2 Ps；及混合的等S个因素外，还可以出现如下情况：（1），折叠数轴或A圆和A圆随机叠合以表现、体现某类偶数x的（1+1）个数时，包含P1P2Ps的这个a点，同时被所踏至，即与完全重叠。这种现象我们前面曾经提到过，后面关于影响函数数值的大浪花的分析，该a或它倍数的偶数（1+1）个数会增多。后面会详叙。由于它属于函数外额外多出的有利于（1+1）增多之数，我们知道它，一般会忽视它，也可以修正它。（2），会出现如等，如出现这种情况，也是二次互素函数定义之中，只不过原S已经等于K罢了，其所筛数值结果仍是 ，即排除虚筛之数，又确实筛掉a这个点。在二次互素函数中，除n这个点会集合K个素因子之外，加上n这个点总计会有个集合着K个素因子的点。显然不含2的S个素数的纯P、纯混合P与的S个素因子的组合共有个。因为按照素数会合定，P和的各种K个素因子的组合，绝对具有必合性。所有带的K个素因子的会合数它们均在n之前完成组合。它们会分布在1至n数轴或数模上不同的地方，随机投入不同，它们集合点分布状况也会不同。我们在按公式计算时，同样会清除一切虚筛之数，并确实筛去一切应筛之数。保留一切应保留之数。这些应保留之数就是不为P1 ,P2 , , Pk任何一个所整除，又不曾被P2 ，P3 , , Pk 中任何一个所踏至的数。它们就是二次互素数。另一方面，不被P1，P2，Pk整除又不被P4，P5，Pk留足的一些数目在第一项n中被计算了一次，而在公式的其余各项中它们就没有被计算到。它们就是二次筛减后所剩的互素数。为了深化对欧拉数论函数定理2另解的认识，我们提出携同数的概念，并给出我对欧拉函数的一个简明证明方法。显然这是一目了然的。这个函数的数模由2、3、5相乘构成。这个数模以它的任意倍数延伸至无穷大。如延伸S倍，互素数就增大到8的S倍。我们让7加进去，如下式：这结果为什么对？因为对于210这个数模来说，7在1至210上运行时，依次携同1、2、30，穿行新数模到达210。7如携同的是2、3、5或由它们构成的合数，它仍会落在2、3、5及它们所构成的合数上；7如携同的是与2、3、5互素的数，该数显然没有2、3、5的素因子，显然会落在与2、3、5互素的数之上，并形成了一个新的合数。7从1至30共携8个与2、3、5互素的数落于210数模，显然它在数模上筛去8个与2、3、5互素的数。30数模增大7倍，总互素数为87=56，7筛去8个，正好筛去7分之一，剩48，我们证明了上式。以此类推，即可以证明欧拉函数定理。我们继续分析：在P1P2Pk=n中，如果有PS（P2PSPK），我们可以将它视为是最后一个将nk-2(n从最小数模23=6算起总共有K-1个n数模)数模乘大为nk-1数模的。当PS将nk-2乘大，显然新的nk-1数模中的所有有PS素因子的K-1合数，K-2合数，二合数的类别由于PS加入而出现了，同时出现了K合数，显然nk-1数模中所有有和没有PS素因子的K-1合数、K-2合数二合数都是PS的倍数，因为所有有和没有PS素因子的合数的个数都是其余行动素数的乘积。而互素数个数正是PS乘大的并筛去了PS分之一。PS的单点数个数是从PS的大倍数中拿走PS各种小倍数之后所剩的数，显然它仍然是PS的倍数。而K合数是由PS在PS个K-1合数中之一落下一个无效点所组成的。显然在nk-1数模中，PS在所有非互素数总数上落下了PS分之一的无效点，并在nk-1数模中筛走nk-2数模的互素数的总个数，即筛走了nk-1数模互素数的PS分之一。在数模中，我们只计行动素数素因子的个数，其他素数均不允许运行。根据上述分析，我们拟定数模n未经行动素数筛减前存在互素数的个数为n，则必有定理：P1，P2, ,PK诸行动素数筛减数模n，不管是先投入还是后投入，总是筛去数模仍存在（或说所剩）互素数的P分之一，它们所筛之量既互影响又互不影响可合并计算。（2不能第二次投入，故下面拟PS不代表2）我们用数学式子进行归纳：设n=P1P2 PK，P2 PSPK，又设P1，P2 ,，PS-1, PS+1，PK筛减n数模后所剩互素数为a,数模上单点数为b1（只有一个行动素数落点的数），二合点数为b2（不包含三合点数中的二合点数，类推），三合点数为b3K-1合点数为bk-1(当S=K时即为S-1)，则有下贰式：a+bk-1+bk-2+b2+b1=n比如有：2357=210 PS=PK=7,根据上式必有：上式中，7投入之前， 互素数56个；三合点7个；二合点49个（不包含三合点中的二合点，类推）；单点数为98个。当然在56个互素数中7会筛减8个，剩互素数48个。总括起来即是欧拉函数定理另解（n）=n（1-接着我们要明确的是，当3，5，7等等第二次投入时，情况有相同、不相同之处。不同之处之一是：如3不与3重叠投入数模时，它筛去的并不是3筛剩的数的三分之一，而是数模总数的三分之一。所以当3三次投入时，210数模互素数即为0。 ，而不是，这是错的。而，这才是对的。根据素数会合定理和双圆叠合展示的行动素数和它们之间构成的各类合数与数模n的关系可知，诸3，5，7等等与3、5、7等等完全一样，它们在n数模上落下同样多的单点，只是它们组合的类别更多了。在n数模上所有不带撇、带撇的、带撇多的和撇少的K-1合数、K-2合数二合数的个数与一次互素数函数一样，等于其他诸行动素数的乘积（当然P和P只能选一个参乘）。但它们的类别却是一次互素函数合数组成个数V的V个2之积；若有2参加的合数即为V-1个2之积。比如，在2、3、5、7、11、13组成的30030数模中，五合数的类别为6；六合数的类别为1。而在2、3、3、5、5、7、7、11、11、13、13组成的30030数模中五合数的类别却是：122225+22222=112（组）即五合数的类别为112。六合数的类别为122222=32，即六合数有32个不同的组合。它们在数模中的个数仍是其余诸P的乘积。在这些类别的组合中，有一半有PS，我们说它们属于PS；有一半有PS，我们说它们属于PS。二者在数量上是全等的。对于PS和PS来说，依次拿走bK-1、bK-2b2、b1这些小倍数，所剩单点数、互素数个数仍然是PS和PS的倍数。而且PS和PS总是各拿走所剩互素数的PS分之一，合起来拿走这些互素数的PS分之二。换言之，诸P投入后，尽管有诸多不同类的P的点落在数模n中有PS素因子的点上，但这些都是无效点，均不可能影响PS筛减数模的数量关系。同理，诸P的各类点落在n数模有PS素因子点上的，同样是无效点，同样不能影响PS筛减数模的数量关系。PS筛减数模n的关系是由A圆决定的，它与A圆中的PS与其他诸P的关系完全相同。设n=P1P2PK，P2PS= PSPK；又设P1P2PK和P2，P3PK（在PS和PS投入前）筛减n后所剩互素数为D，数模上单点个数为b1（只有一个行动素数落点的数），二合数为b2（不含三合数以上合数中的二合数，类推）K-2合数为bk-2、K-1合数bk-1，则有下贰式：D+bk-1+bk-2+b2+b1=nPs; Ps表示Ps和Ps各自从分子中筛走Ps分之一；二者共筛走分子D的Ps分之二并在分子各b的Ps分之二中落下无效点。我们由此也可以阐述为这样一个定理：在双圆叠合中，A圆中各类落在A圆素因子Ps上的点和A圆各类落在A圆素因子Ps上的点均是无效点，它们不影响各自行动素数PS和Ps筛减数模的数量关系，它们的筛减量可以合并计算为筛去数模互素数的P分之二。这适应于所有的行动素数。我们将此简称为行动素数筛减数模互不影响和可合并计算定理。行动素数投入的次数只要小于自身的数目均成立。（可参见本论文53页）。比如，在H（210）=B（210：2、3、5、7；3、5、7）中，PS= PK =7必为：上式中，7、7投入前，互素数由前式56减至21，三合数由7增到4倍为28，二合数增至84，单点数减到77。它们均是7的倍数，当然也是7的倍数。7、7在各项上的落点数皆是各项的与公式计算一致： 总之，第二次投入的行动素数筛减数模同样是可乘的，是可乘函数。因此，我们证明了公式的正确性，因而证明了定理。现在，根据淑兰定理1，我们不难用n以及n的行动素数P1，P2， Pk和n的二次行动素数P4，P5，PK来求出与这些行动素数互素的数的个数。下式只将7和11第二次投入。例如：235711=2310 显然H（2310）=2310=360我们用欧拉函数计算法，也是上面我们介绍的淑兰定理1的计算方法计算和验算它：H（2310）=2310 =23101155770462330330210210 +385+231+165+165+105+105+154+110+110+70+70+66+66+42+42+30+30+30+307755553535333321211515151522221414101010106666+11+11+7+7+（54）+（34）+（24）4=360 我们运用淑兰定理1做个数学游戏，如下二图，自左向右依次设77个空格，将7、7；11、11，随机投入空格中，让它运行，不使7与7，11与11重叠，所剩空格必为45。7117117711711771171177117117771111777117117711117771171177117711711771171177117117711711771171177117用公式计算即为：H（77）=B（77；7、11；7，11）=77如果按先后顺序设定1001个空格，将7、7；11、11；13、13随机投入那1001空格中，使诸P不与诸P重叠，那么，不管怎样投入，它们运行后所剩的空格均为495，它们绝对服从淑兰定理1 即：H（1001）=B（1001；7、11、13；7、11、13）=1001这就是淑兰定理1表述的行动素数运行规律和数量关系。它以最简朴算式揭示了复杂万端的二次互素函数的真谛。已经制作H（1001）运行数表，因过长不列入。 三、淑兰定理2我们将自然数从1至无穷大，排成30列纵对，如下图。1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 3031 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 6061 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 58 89 90 细看上表可以知道，除了2、3、5三个素数外，其他所有素数皆产生于上表的1、7、11、13、17、19、23、29八列之中。我们并发现3和5有个特性，它处于哪一列，它就会从它起步开始至无穷大，将该列全部全部变为合数，在自然数中，2、3、5绝不会上其中产生素数的八列。上表后面会用到它。我们在淑兰定理1中所设的数模是标准数模。我们说的标准数模的意思是，第二次投入的3、5、7、11、13、17等等行动素数，都不与第一次投入的3、5、7、11、13、17等等重叠。而自然数模中一些偶数存在的一个或多个行动素数，在折叠自然数轴或双圆叠合来表现它时，这些能整除它的行动素数一一对应重叠了，即这些行动素数的第二投入是重叠的、无效的，因为自然数它要求这样重叠。如，对于30030这个偶数来说，3、5、7、11、13均重叠了，如下二图所示：折叠数轴型：0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1015015X=30030 30029 30028 30027 30026 30025 30024 30023 30022 30021 3002015015双圆叠合型：0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1030029X=30030 30029 30028 30027 30026 30025 30024 30023 30022 30021 300201上二式中，0为一切行动素数潜在的起点；X为3、5、7、11、13的起点，上下式中3、5、7、11、13与3、5、7、11、13起点同步，它们必会重叠。这就是自然数中一些数与标准数模不同之处。从上二式中可以看出：折叠数轴型是双圆叠合型的一半。我们公式所取之值是双圆叠合之值，后面计算偶数（1+1）个数所取之值是折叠数轴型之值，故在公式中除2，因为双圆叠合型中的素数对均是双对，只能取其中之一。对于30030这个偶数来说，第二次投入的行动素数3、5、7、11、13全部重叠了，它的互素数显然更多。当然，必然进入该数模的17、19173。这是最终会成为行动素数的素数，它们并没有重叠，它们与标准数模给出的值相同。所以当我们只投入2、3、3、5、5、7、7、11、11、13、13来考虑1至30030区间的自然数轴的互素数时，我们必须对公式计算出来的数值作修正。见后面。然而对于30034这个偶数的30030等长段上的互素数个数来说，当我们折叠数轴或双圆叠合，观察3、5、7、11、13筛减数轴的互素数情况时，它就无需作修正，它与标准数模计算出来的数据完全相等，因为对于它来说，上述行动素数无一重叠，无一退出筛减。如下图：0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 30032 30033X=30034 30033 30032 30031 30030 30029 30028 30027 30026 30025 2 1上式上行0为一切行动素数，潜在起点，而等于30034的X中没有3、5、7、11、13的素因子，显然，上行这些素因子与下行的这些素因子不同步，它们不会重叠。所以在30030等长段上，其互素数符合淑兰定理1，标准数模给出之数，无须修正。即当求取30034这个偶数互素数个数时，在30030长的数段上，其互素数个数为H（30034）的（30030）=300301/21/33/55/79/1111/13=1485这就是造成偶数（1+1）个数振荡增加的最主要，最根本的原因，当然还有两个小原因，放在下面分析。人们无法将所有行动素数间歇性退出筛减的量全部纳入公式之中，我们将影响最大的3和5二次筛减中退出和不退出的数量变化纳入公式中，显然，自1至无穷大之前。30i+2、4、8、14、16、22、28族类偶数均不为3、5所整除，它们无一退出筛减，我们拟定它的系数为1。30i+5、10族类偶数，5退出筛减，应对淑兰定理1给定之数34，即由原来乘3改为乘4。30i+6、12、18、24族类偶数为3整除，3退出筛减，应对淑兰定理1给定之数12，即由原来乘1改为乘2。30i族类偶数，为3和5整除，3和5均退出筛减，应对淑兰定理1给定之数1234=38。上面我们襄括了30以上一切偶数。我因此得到了四组系数：30i+2、4、8、14、16、22、26、28的系数是1。30i+10、20的系数是或3430i+6、12、18、24的系数是2或3630i的系数是或38i=1,2,37、11以上所有行动素数间歇性退出第二筛减的数量修正，我们放入以后的“影响函数数值的大浪花”中进行分析。我们因而我们得到淑兰定理2=B（n=30i+2、4、8、14、16、22、26、28）；P1，P2，PK；P2，P3，PK1H（n）=B（n=30i+10、20）；P1，P2，PK；P2，P3，PK34=B（n=30i+6、12、18、24）；P1，P2，PK；P2，P3，PK2=B（n=30i）；P1，P2，PK；P2，P3，PK38i=1，2，3， 令2与2重叠我们运用淑兰定理1和2，求取下面1至n区间二次互素数的个数。设n=23571113=30030在1至30030这个数轴上，根据定理1标准数模，与2，3，3，5，5，7、7，11，11，13，13互素的数的个数必定是：H（30030）=30030我们用欧拉函数验算法也是淑兰函数验算法验算它并以n代表30030H（30030）=30030+ =30030-15015-10010-10010-6006-6006-4290-4290-2730-2730-2310-2310 +5005+5005+3003+3003+2145+2145+1365+1365+1155+1155+20024 +14304+9104+7704+8584+5464+4624+3904+3304+2104 -10014-7154-4554-3854-4294-2734-2314-1954-1654-1054-2868-1828-1548-1308-1108-708-788-668-428-308+14342+9142+7742+658+558+358+3942+3342+218+1542+2644+2244+1416+1016+644-1344-1144-744-544-344-248+216=30030-65707+56978-25000+5840-688+32=92880-91395=1485上式计算出来的数值是标准数模给出的数值，落实到自然数模上的具体偶数还需根据淑兰定理2的系数，及后面将提出的大浪花进行计算和修正，所以看上述H（30030）二次互素函数及其函数值，是应当联系此前介绍的二次互素函数的系数而警醒的。该函数计算出来的互素数1485，并不是象淑兰定理1中一样，均匀地分布在产生素数的八列之上，而仅仅是均匀地分布在八列之中的三列之上。且每列均为495个。至于具体分布在那三列上，要视计算30i+2族类的那一类而定，即要视X而定。她们在三列上的分布，从该族类的X=30i+2算起，依次在如下三列：1、13、19；17、11、23；19、1、7；7、1、13；23、17、19；11、23、29；13、7、19；29、11、17。而且1485这个数值仅仅是30i+2族类偶数，在30030等长数段上的互素数基本个数，因为对于30044来说，7退出了筛减；对于30052来说，11、13退出了筛减；对于30058来说，7退出了筛减；所以在30030等长段上，H（30044）=148556=1782；H（30052）1800；H（30058）=148556=1782。如果A圆和A圆是为计算30i+10族类而契合，在30030等长段上，H（30040）的二次互素数则为148534=1980，显然，四列中每列均有二次互素数495。如果A圆和A圆是为计算30i+6族类而契合，在30030等长段上，H（30036）的二次互素数则为148536=2970，每列仍为495；如果A圆和A圆是为计算30i族偶数的互素数而契合，H（30030）的二次互素数则为148538=3960，但由于30030不但为3和5整除，还为7、11、13整除，所以H（30030）=3960569101112=5760。可以看出，分析“哥猜”，必须将自然数按序排成30列来观察、分析，否则有些问题由于有许多变量交织在直线性数轴上，很难理清其脉络。四、影响函数数值的大浪花、小浪花、小小浪花我们在此先放下淑兰函数定理3留待下面分析，先分析一下与淑兰函数相关的三类主流之外的大浪花、小浪花、小小浪花。它们是由于必不可免的折叠数轴而产生的，弄清它们，有利于我们更完整地了解、理解淑兰函数的精确性。大浪花。会促成某些偶数（1+1）个数增多的大浪花是在叠合AA/圆以表现某些偶数时，7以上行动素数中的P/与P会间歇性地重叠，P/退出第二次筛减，会造成该X的（1+1）个数增多。不了解这种情况会造成淑兰函数似乎不精确的错觉。什么情况下P/会退出筛减呢？设P为7以上素数，凡是P是x的素因子时，该P/就会退出筛减。修正的方法：对退出第二次筛减的P/，要么在函数初算时由乘（1-）改乘（1-）；若函数已经算出（1+1）个数时才发现，可以先除以（P/-2）再乘以（P/-1）即可修正过来。我们可以这样做，是因为P/是带同它构成的所有合数一起重叠的。比如，96996900由于7、11、13、17、19与7、11、13、17、19重叠，它的（1+1）个数比公式计算出来的个数多出三十多万个，增加39%以上。小浪花。小浪花，是由行动素数P4，P5，PK和P/4，P/5，P/K造成的。因为我们在两次计算互素数时，尽管它们是素数，却因为它们不是互素数，我们无意中忽略了它们，因而我们少算了一些（1+1）个数。所以在正常情况下，函数计算出来的（1+1）个数因此也会比实有个数要稍多一些。小小浪花。对于素数定理来说，自然数ba，则必定有(b)(a)。然而对于偶数的（1+1）个数来说，即使是同一族类的偶数，也不少见前略小的偶数的（1+1）个数比其后略大的偶数的（1+1）个数略多一点，多一些。例如H（1+1）（30i+28）常多于H（1+1）（30i+32），这是为什么呢？原因是7以上素数，在八列上每全部踏至一遍时，均有先到达、后到达之分。正是由此而造成的。我们先看八列上的素数，它们运行时都循自己的先后顺序到达八列的各列之上，它们整列素数都循此先后顺序。见下表：表中一列顺序等指一列所属行动素数到达八列的先后顺序。一列顺序是： 七列顺序是： 十一列顺序是： 十三列顺序是： 十七列顺序是： 十九列顺序是: 二十三列顺序是： 二十九列顺序是： 各列先后顺序均周而复始，循环推进，由于是小小浪花且一目了然，证明就省略。我们已经知道，30i+2、4、8、14、16、22、26、28这个族的偶数，它们都由八列中的两列互倒相加、以及八列中一列自我折叠相加而构成（1+1）个数的。显然，筛减数模的行动素数先到机率高的列相加（1+1）个数会比附近筛减数模的行动素数后到机率高的相加要少，从上表可以看出一列、十九列先到机率高，它们表现的偶数（1+1）个数会偏低偏少吗？试以58与62作比较。它们均属于系数为1的同一族类。但62和它的兄弟类即30i+2都是以先到机率高的一列自加和先到机率二等快的十九列和后到机率偏中的十三列相加而成的。而58和它的兄弟类即30i+28均以后到明显的二十九列自加和后到明显的十七列和十一列互倒相加而成。显然30i+28类（1+1）个数会较多。综观上述六组，30i+28的（1+1）的个数略多，而30 i+30+2的（1+1）个数略少。这是行动素数先到、后到造成的小波动。还可以运用先后、后到表试试其他偶数，会有例似相符之处。五、淑兰定理3基本结构先看从AA/圆上剪取下来的X首段。且P2kXP2k+11 2 3 4 5 6 x-6 x-5 x-4 x-3 x-2 x-1 X=+ x-1 x-2 x-3 x-4 x-5 x-6 6 5 4 3 2 1 根据欧拉定理2和淑兰定理2，在n=P1P2Pk这个大数模中，与P1，P2，P k和与P/2，P/3，P/k互素的数的个数在P2kXP2k+1这样的X大段之间，是相等的或近似相等的。原因是各行动素数在数轴上单行的步幅是恒定的；它们之间构成的各类合数的步幅也是恒定的。因而可以肯定它们在一个个X这样大段上筛去的数目是相等的或近似相等的；留下的互素数也是相等的或近似相等的。这个意思我们用另一种方式再表述一下：如上述30、77、143、187、221、1001等小数模，还有中数模和较大数模。它们各自一个连着一个延伸至无穷大，在区段中，它们又包涵在大数模之中。它们在自己数模之内筛去的数目完全相等，留下的互素数也完全相等。随X增大，这种相等量也会增大。比如，设X段已经增到了1亿。77这个数模对所有以亿为段的段来说，它在各段中留下的同等量的互素数是何等巨大。而当我们从1亿处剪取X段时，恰恰跨在一亿这个点上的那个77数模显然被剪