典型例题与习题2.ppt

三 四章内容提要典型例题分析思考题与练习题 数值分析 典型例题II 2 16 一 解线性方程组直接法 顺序消元法 列主元法 追赶法 矩阵的直接分解 对称矩阵的LU分解 二 向量和矩阵的范数向量范数 算子范数 三种矩阵范数 矩阵的条件数 三 解线性方程组迭代法Jacobi迭代 Seidel迭代 SOR迭代 迭代收敛性 初等变分原理 最速下降法 共轭梯度法 定理3 1约化主元ak 1 k 1 k 0 k 0 1 n 1 的充分必要条件是矩阵A的各阶顺序主子式不为零 3 16 消元法使用的条件 定理4 2 设x 为方程组Ax b的解若 B 1 则对迭代格式x k 1 Bx k f有 定理4 3若Ax b的系数矩阵A是严格对角占优矩阵 则Jacobi迭代和Seidel迭代均收敛 Ex1 如果A是严格主对角占优矩阵 则det A 0 证 用反证法 设det A 0 则齐次方程组Ax 0有非零解u u1 u2 un T 设考虑Au 0的第k个等式 两边约去 uk 得 这与主对角占优矛盾 故det A 0 4 16 Ex2 设A对称且a11 0 高斯消元法一步后 A约化为 证明A2也是对称矩阵 证明 设 所以 A2 A2T 5 16 Ex3 设n阶矩阵A的各阶顺序主子式不为零 记各阶顺序主子式对应的矩阵为Ak k 1 2 n 设 k 1 L1 1 U1 a11 Ex4 设n阶矩阵A是严格主对角占优矩阵 高斯消元法一步后 A约化为 证明A2也是严格主对角占优矩阵 Ex5 设A aij n n为可逆下三角矩阵 证明A 1仍为下三角矩阵 证明 设 当i j时 aij的代数余子式Aij 0 故A的伴随矩阵 的右上角元素均为零 所以A的逆矩阵仍是下三角阵 Jacobi迭代法的迭代矩阵 8 16 Gauss Seidel迭代法的矩阵 BG S D L 1U Ax b 将矩阵分裂 A D U L BJ D 1 U L 特征多项式与特征方程 I D 1 U L D 1 D U L D U L 0 特征多项式与特征方程 I D L 1U D L 1 D L U D L U 0 9 16 Ex6 若A是严格主对角占优矩阵 求证解方程组AX b的高斯 赛德尔迭代法收敛 证 高斯 赛德尔迭代矩阵为 D L 1U 该矩阵的特征方程为 D L U 0 行列式对应的矩阵为 当 1时 利用A矩阵的主对角占优性质 得 故C 也是严格主对角占优矩阵 由于严格主对角占优矩阵的行列式不为零 故 不是特征方程C D L U 0的根 所以当A是严格主对角占优矩阵时 D L 1U的特征值必然满足 1 从而高斯 赛德尔迭代矩阵谱半径小于1 迭代法收敛 10 16 11 16 Ex7 设A是一个可逆矩阵 矩阵序列满足Xk 1 Xk 2I AXk k 0 1 2 证明 当时 证明 由Xk 1 Xk 2I AXk 得I AXk 1 I AXk 2I AXk I AXk 2于是I AXk I AXk 1 2 I AXk 2 2 2 12 16 Ex8设A Rn n为对称正定矩阵 定义 x A 证明 x A是Rn上的一种向量范数 13 16 Ex9 统计三对角方程组法高斯消元法的工作量 Ex10 设A aij n n为可逆上三角矩阵 证明A 1仍为上三角矩阵 Ex11 求上三角矩阵的逆阵 Ex12 求矩阵的2 范数 以及2 范数意义的条件数 14 16 Ex13 有方程组Ax b 其中A为对称正定阵 且有迭代公式 讨论使迭代序列收敛的 的取值范围 15 16 Ex14证明n阶矩阵 的特征值为 k 1 2 n Ex15求n阶矩阵 的特征值 1 A 1 B I R R2 2 任意给定n阶矩阵X0 由迭代格式Xk 1 XkR B k 0 1 2 产生的矩阵序列