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第一部分 静力学 主讲教师 陈文龙高级工程师 副教授首钢工学院建筑与环保工程系 静力学研究物体作机械运动的特殊情况 物体处于静止状态时力的平衡规律 包括 受力分析 力系的简化 平衡的条件等等 物体的静平衡是指物体相对于地面保持静止或作匀速直线运动的状态 静力学主要内容 静力学基本概念力系的简化约束与约束反力力系的平衡摩擦与摩擦力 第一章 静力学基本概念 1 1关于力 1 1 1力与力系 力是物体间的相互作用 其效果是使物体的运动状态发生改变或物体发生变形 静力学只研究刚体 因此 只讨论物体在力的作用下整体的平衡问题 力的单位 采用国际单位时为 或 牛顿 N 力对物体的作用效果取决于力的大小 方向与作用点 我们称之为力的三要素 1 力的基本概念 1 力的三要素 2 力系 物体受到若干力的作用 统称力系 平面力系 各力作用线均在同一平面内 根据各力作用线的关系 可分为平面任意力系 平面平行力系和平面汇交力系 3 静力学公理 作用于刚体上的两个力 如果大小相等 方向相反 且沿同一作用线 则它们的合力为零 此时 刚体处于静止或作匀速直线运动 公理一二力平衡公理 空间力系 力的作用线分布于三维空间 空间任意力系 空间平行力系 空间汇交力系 只有两个力作用下处于平衡的物体 二力构件 不是二力构件 力可以在刚体上沿其作用线移至任意一点而不改变它对刚体的作用效应 公理二加减平衡力系公理 在作用于刚体的任意力系上 加上或减去任一平衡力系 并不改变原力系对刚体的作用效应 推论 力的可传性 力的三要素可以叙述为 大小 方向 作用线 同一个点作用两个力的效应可用它们的合力来等效 该合力作用于同一点 方向和大小由平行四边形的对角线确定 公理三力的平行四边形法则 两个物体间相互作用的力 总是大小相等 方向相反 同时分别作用在两个物体上 公理四作用与反作用定理 推论 三力平衡汇交定理 刚体受到不平行的三个力作用而平衡时 这三个力的作用线一定交于同一点且位于同一平面内 几何方法 利用平行四边形法则 各个力按照顺序首尾相接 第一个力的起点到最后一个力的终点 即为合力 对于空间汇交力系 可以两两合成 力多边形 2 汇交力系及其合成 解析法 考察一个简单的例子 求力F1和F2的合力F0 先按照几何法求合力 过力作用点作一轴线将3个力投影到轴线上 显然有 由此 我们得到一种求合力的解析法 过汇交力系的交点建立一参考基 根据矢量合成 将各个力投影到参考基上 各个力在参考基坐标轴上投影的代数和 合力在该轴上的投影 例1 1汇交力系 的作用点在边长为2m的正六面体相应 求合力的大小与指向 的顶点O上 三力的大小分别为 解 各力在参考基上的投影分别为 可得合力在参考基的投影为 合力的方向为 合力大小 模 1 2力矩 1 力矩的概念 力矩 力对点之矩 是为了描述刚体运动中的转动效应 O P 式中 O为参考系中的某一点 称为矩心 力矩的大小 定义 2 力矩在参考基中的投影式 其中 力矩的展开式 式中 分别表示力F对过O的x y z轴之矩 用于描述力对刚体绕这些轴转动的效应 3 力矩的平面问题 如果点O P和力F都在一个平面内 比如xy平面 则 O 1 2力偶 1 力偶的概念 大小相等 方向相反 作用线相互平行的两力构成一对力偶 无法再简化的简单力系之一 力偶作用面 由一对力F所组成的平面 力偶臂 构成力偶的一对力的作用线间的距离 用d表示 力偶三要素 大小 作用面 转动方向 2 力偶矩 用以衡量力偶对刚体的转动效应 P Q 平面有一对力偶 将它们对O点取矩 O 根据力对点之矩 力偶对O之矩为 M 由力对点之矩可知 3 力偶矩的特点 力偶矩与矩心无关 力偶对刚体的作用完全取决于力偶矩的大小 力偶可在刚体上任意移动 只要不改变转动方向 说明力偶矩是一自由矢量 力偶的等效性 在不改变力偶三要素的前提下 力偶可在其作用面内任意移动 因此 只要力偶矩大小不变 可改变力与力偶臂大小 而不改变力偶对刚体的效应 4 力偶系 在参考基上展开 为 刚体上作用多对力偶 构成力偶系 有矢量和 第二章 力系的简化 提出问题 如果一个刚体上承受的力比较多 多于3个 并且不是一个汇交力系 这种情况下如何解决这个刚体的平衡问题 如何研究这些力之间的关系 再复杂些 比如还有力偶等等 又如何处理 2 1力系的简化 2 1 1主矢和主矩 由力的可传性 力可以沿其作用线在刚体上移动 不改变其效应 力的作用线本身是否可以平移 如果平移 会改变其对刚体的作用效应吗 P 假设点P作用力F 今在同一刚体上某点O 沿与力F平行方向施加一对大小相等 等于F 方向相反的力 O 显然 这一对力并不改变力F对刚体的作用效果 为什麽 问题 此刻我们可以将这3个力构成的力系视为一对力偶 和1个作用于点O的力 对于一个空间力系 我们都可以将这些力平移到某点O 从而组成一个汇交于O点的力系 空间汇交力系 同时 各个力平移时分别产生一个力偶组成力偶系 P O 空间汇交力系可以产生一个合力 称为主矢量 主矢 力偶系组成一个合力偶矩 称为主矩 他们分别表示为 结论 一个刚体受到复杂力系作用时 可以将它们向某一点简化 从而得到一个合力和一个合力矩 该点称为简化中心 一个力系对不同的简化中心简化结果的比较 设力系对O点的简化结果为 O C 对于简化中心C 力系简化的结果相当于将O点的简化结果向C点再次简化 如果进一步向某点C简化 会有什麽结果 2 1 2平面力系简化结果讨论 如前分析 平面力系总可以简化为一个主矢和一个主矩 该力系等效一个合力偶 该力系等效一个合力 仍然可以继续简化为一个合力 方法如下 O O O O O 称该力系平衡 只要满足 可能有以下几种情况 2 2平行力系的简化 所有力的作用线相互平行 故而有 将该力系向O点简化 利用前面的分析 O 设其方向的单位矢量为 主矢量 主矩 根据力系简化结果分析第4种情况 上面的结果可以向某点C进一步简化为一个合力 该简化中心C称为平行力系的中心 对O点的向径为 坐标阵为 展开可得力系中心的坐标位置 重心矢量坐标阵 O C 例2 1一边长为b的正立方体所受的力系如图所示 其中 试将该力系向O简化 解 如图建立参考基 力系中各力在该基上的坐标阵分别为 各力作用点的向径分别为 将力系向点O简化 主矢坐标阵为 我们已经知道 力对点之矩为 其矩阵表达为 因此 各个力向O简化时的力偶矩分别为 于是 力系向点O简化的主矩在该基的坐标阵为 第三章 约束及约束反力 3 1约束 3 1 1约束与约束反力的概念 我们研究物体的运动时 可能遇到两种情况 物体在空间的运动是不受限制的物体在空间的运动受到某些限制 显然 气球作为一个自由物体运动 其运动形式无限多 自由物体 绿色圆柱体在圆槽内的运动受到限制 非自由物体 我们把那些对非自由物体的限制称为约束 进一步考察绿色圆柱体的运动 它在圆槽内的运动形式取决于两种力的共同作用 一是使其产生运动趋势的力 如重力 驱动力等 称之为主动力 二是结构形式对其运动限制的力 称之为约束反力 简称反力 约束反力实际上反映了物体间的相互作用 我们将上述对非自由体运动限制的约束反力称为理想约束力无法限制非自由体运动的物体间相互作用的其他约束称为非理想约束力 如摩擦力 3 1 2常见的理想约束及其约束力的简化 按照牛顿第三定律 约束力是一对作用力与反作用力 它们一定大小相等 方向相反 分别作用在构成运动副的两个刚体上 下面我们讨论几种常见的理想约束 1 支撑 承 面约束 2 转动铰约束力 固定铰支座 活动铰支座 3 滑移铰约束力 5 连杆约束力 4 柔索约束力 两端为圆柱铰 6 齿轮副约束力 节圆公切线 连心线 7 球铰约束 8 固定端约束 第四章 受力分析 受力图 1 主动力和约束反力 使物体具有运动趋势的力称为物体所受的主动力 限制物体运动的力为约束反力 主动力与约束反力都是物体所受的外力 研究物体的平衡状态就是研究外力之间的关系 静力学分析就是讨论物体处于静力平衡时的主动力和约束反力 2 受力分析与受力图 受力分析就是分析物体所受的所有主动力和约束反力 对于一个物体系统 各个物体之间的作用力为对于整个系统来讲为内力 要对其中某个物体作受力分析时 需要将该物体从系统中分离出来 此时 其他物体对该物体的作用力均为该物体的外力 对于被分离出来的物体 即受力分析对象 画出其承受的所有主动力和约束反力称为该物体的受力图 A A C C B B A B C A B C A B C A B C B C A C A B C D C C D 第五章 力系的平衡 5 1力系的平衡方程 平衡的概念 刚体处于静止或匀速直线运动状态称为平衡状态 静平衡 平衡的充要条件 展开式为 以上6式称为空间力系的平衡方程 可求得6个未知量 如果超出6个未知量 则称为结构静不定问题 如果是平面问题 设为xy平面 则平衡方程简化为3个 上式称为平衡方程一矩式 二矩式和三矩式分别为 条件是 AB两点的连线不能与x轴或y轴垂直 条件是 ABC三点不能共线 例5 1图示简支梁上作用一分布载荷 其单位长度上受力的大小称为载荷集度 单位为牛顿 米 其左端的集度为零 右端集度为q 载荷的长度为l 载荷的方向垂直向下 求支承处对梁的约束力 首先在O点建立参考基 第二步作受力分析 主动力为分布载荷 忽略重力 且为一平行力系 约束反力 O为固定铰支座 A为活动铰支座 画出其反力 第三步 求主动力的合力 在坐标x处的载荷集度为qx l 在此处取的一微元dx 梁在微元段dx受的力近似为F x qxdx l 梁由x 0到x l的分布载荷合力为 将该力系中心的位置坐标记为xC 最后 利用平面力系的平衡方程求得3个未知的约束反力 由 由 由 5 2刚体系的平衡 由若干个刚体组成的系统称为刚体系 在处理平衡问题时有可能出现约束力的个数多于平衡方程的个数的情况 即出现 静不定 我们可以合理地将系统分解为若干个分系统 如果对于这些分系统 问题是静定的 那么系统的 静不定 问题将迎刃而解 需要注意的是 在分解分系统时不要忘记子系统间的约束力 此类问题如何解决 下面看几个例子 例5 2图示两根梁由铰B连接 它们置于O A C三个支承上 梁上有一集度为q的均布载荷 一集中力F和一力偶矩M 求各个支承处的约束力 O A B C D 约束类型 固定铰支座的约束反力可以分解到两坐标轴方向 活动铰支座各有一个约束力 O A B C D 这是一个平面任意力系问题 先将系统解除约束 以O为原点建立坐标系 受力分析 主动力 分布载荷 集中力F 主动力矩M 约束反力 平面任意力系静力平衡方程只有3个 只能求解3个未知量 因此 无法直接求得4个约束反力 O A B C D 我们可以将铰B解除 先分析BD梁 当然 解除B后 两根梁在B点存在作用与反作用力 同样可分解到水平和垂直方向 整体上看是属于静不定问题 B D 再回到原系统 可建立3个平衡方程解得 O A B C D 对于BD梁 由对B点合力矩为零 建立静力平衡方程 O A B C D 例5 3 图示一结构由AB BC与CE三个构件构成 E处有一滑轮 细绳通过该轮悬挂一重为12kN的重物 A为固定铰支座 B为滑动铰支座 C D与E为圆柱铰 AD BD l1 2m CD DE l2 1 5m 不计杆件与滑轮的重量 求支座处的反力 分析 系统主动力只有重力G G 约束反力有4个显然无法直接求解 如果我们先将滑轮分离出来 由于它承受平面汇交力系 可以求得绳的拉力 考虑滑轮的平衡 令滑轮的半径为r 有 如图a所示建立参考基 这时 我们再对系统进行分析 如b图 未知力只有3个 可以利用平面力系平衡方程求解 将FT与G的关系代入 5 3平面桁架 桁架是由一些细长杆在其两端连接 利用焊接或铆接等方法 而成的几何形状不变的结构 它在桥梁 起重机与屋架等工程对象中得到广泛的应用 如果桁架所有杆件的轴线与其受到的载荷均在一个平面内 称此类桁架为平面桁架 否则称为空间桁架 本节的研究对象为平面桁架 1 平面桁架的静力学模型 在载荷作用下计算桁架的内力是研究桁架的主要目的之一 1 构成桁架的细长杆均假定由光滑的圆柱铰连接 杆的轴线通过圆柱铰的中心 称这些中心点为节点 2 桁架上的载荷均作用于节点上 杆的自重不计 如果需考虑的话 将其分配到两个节点上 构成桁架的杆件均为 二力杆 2 简单平面桁架的构成 平面桁架先由三根杆与三个节点构成一个三角形 以后每增加一个节点增加两个杆件 从而得到几何形状不变的结构 简单平面桁架 将构件数与节点数分别记为n与m 根据上述的规则 它们有如下的关系 对于简单平面桁架 每个节点受到的是一个平面汇交力系 存在两个平衡方程 因此 共有独立的平衡方程2m个 由上式可知 它可以求解n 3个未知数 如果支承桁架的约束力的个数为3 平面桁架的n个杆件内力可解 故简单平面桁架问题是静定的 显然 如果在简单平面桁架上再增加杆件或支承约束力超过3 则使该静力学问题由静定变为静不定 3 桁架的内力计算 桁架都是二力杆 其内力一定沿杆的轴线方向 因此 内力为拉力或压力 统一设拉为正 压为负 内力计算的节点法 利用各个节点的平衡方程计算杆的内力 内力计算的截面法 将桁架部分杆切断 利用桁架子系统的平衡方程计算杆的内力 例5 4 图a所示一桁架 F 5kN b 1 5m 求杆1 2与6的内力 先建立参考基 如图 计算支座的约束反力 以桁架整体为对象 设定固定支座A与滑动支座B约束力的正向如图所示 计算杆1的内力 以节点A为对象 其受力图如图b所示 杆1的长度为 计算杆2的内力 在I I处将桁架分为两个子系统 将左子系统为对象 其受力图如图c所示 杆2的长度为 对点A的力臂 计算杆6的内力 以节点C为对象 其受力图如图d 4 零杆问题的讨论 桁架中内力为零的杆件称为零杆 如上例的杆6 零杆的判断对桁架内力的计算具有积极的意义 利用节点法不难得到判断零杆的结论 一节点上有三根杆件 如果节点上无外力的作用 其中两根共线 则另一杆为零杆 见图a 一节点上只有两根不共线杆件 如果节点上无外力的作用 则两杆件均为零杆 见图b 一节点上只有两根不共线杆件 如果作用在节点上的外力沿其中一杆 则另一杆为零杆 见图c 上例中已知杆6为零杆 考虑节点D 由结论 1 可知杆9为零杆 同理可推知 杆11与12也为零杆 第六章 摩擦与摩擦力 6 1摩擦与摩擦力 两个相互接触的物体存在相对运动的趋势或发生相对运动时 接触面之间由于并非绝对光滑 而在接触面的公切线上存在阻碍两物体相对运动的力 这种力称为摩擦力 摩擦力的物理本质很复杂 与材料性质 表面情况 相对运动性态以及环境等有关 摩擦学 摩擦力的分类 滑动摩擦力滚动摩擦力 6 2滑动摩擦力 两物体接触面的凹凸不平是引起滑动摩擦的主要原因 G 今有一物块承受重力 在铅垂方向必有约束反力与之平衡 如果施以水平力 可能出现什么情况 也一定会出现约束反力 摩擦力 水平力作用下可能的现象是 上述第一种情况称为静滑动摩擦力 静摩擦力 第二种情况称为极限摩擦力第三种情况称为动滑动摩擦力 动摩擦力 1 滑动摩擦力的计算 干摩擦与粘性摩擦 由大量实验 库仑给出一近似公式 对于运动物体 同样由实验得到近似公式 可见极限摩擦力与维持平衡的静摩擦力的关系为 以上讨论的是干摩擦力 库仑摩擦力 工程中往往加润滑剂 此时极限摩擦力将减小 动摩擦力与物体相对运动的速度有关 称为粘性摩擦力 我们主要研究干摩擦 负号表示什么 2 摩擦角 G 假设物体处于干摩擦状态 且摩擦力达到极限摩擦力 此时正约束力与极限摩擦力的合力与接触面的法线有一夹角称为摩擦角 m 显然 存在如下关系 在物体处于静止时 设非理想约束力为 与接触面法向的夹角记为ff 主动力的合力 与约束力平衡 此时 结论 从静力学平衡的角度 此时主动力的合力 大小相等 方向相反 与 因此 只要主动力 位于 物体就不可能运动 这种现象称为摩擦自锁 G 内 例6 1 重为400N的重物放在斜面上 物体与斜面的静摩擦因数 斜面的倾角