二次函数的图象和性质课件

二次函数的图像与性质 温故知新 向上 向下 0 0 0 0 y轴 y轴 当x0时 y随着x的增大而增大 当x0时 y随着x的增大而减小 x 0时 y最小 0 x 0时 y最大 0 抛物线y ax2 a 0 的形状是由 a 来确定的 一般说来 a 越大 抛物线的开口就越小 y x2 y x2 1 52125 函数y x2 1的图象与y x2的图象的位置有什么关系 函数y x2 1的图象可由y x2的图象沿y轴向上平移1个单位长度得到 操作与思考 函数y x2 1的图象与y x2的图象的形状相同吗 相同 y x2 y x2 2 2 1 2 12 函数y x2 2的图象可由y x2的图象沿y轴向下平移2个单位长度得到 函数y x2 2的图象与y x2的图象的位置有什么关系 操作与思考 函数y x2 1的图象与y x2的图象的形状相同吗 相同 函数y ax2 a 0 和函数y ax2 c a 0 的图象形状 只是位置不同 当c 0时 函数y ax2 c的图象可由y ax2的图象向平移个单位得到 当c 0时 函数y ax2 c的图象可由y ax2的图象向平移个单位得到 y x2 2 y x2 3 y x2 函数y x2 2的图象可由y x2的图象沿y轴向下平移2个单位长度得到 函数y x2 3的图象可由y x2的图象沿y轴向上平移3个单位长度得到 图象向上移还是向下移 移多少个单位长度 有什么规律吗 上加下减 相同 上 c 下 c 1 函数y 4x2 5的图象可由y 4x2的图象向平移个单位得到 y 4x2 11的图象可由y 4x2的图象向平移个单位得到 3 将抛物线y 4x2向上平移3个单位 所得的抛物线的函数式是 将抛物线y 5x2 1向下平移5个单位 所得的抛物线的函数式是 2 将函数y 3x2 4的图象向平移个单位可得y 3x2的图象 将y 2x2 7的图象向平移个单位得到可由y 2x2的图象 将y x2 7的图象向平移个单位可得到y x2 2的图象 上 5 下 11 下 4 上 7 上 9 y 4x2 3 y 5x2 4 小试牛刀 4 抛物线y 3x2 5的开口 对称轴是 顶点坐标是 在对称轴的左侧 y随x的增大而 在对称轴的右侧 y随x的增大而 当x 时 取得最值 这个值等于 6 二次函数y ax2 c a 0 的图象经过点A 1 1 B 2 5 则函数y ax2 c的表达式为 若点C 2 m D n 7 也在函数的图象上 则点C的坐标为点D的坐标为 5 抛物线y 7x2 3的开口 对称轴是 顶点坐标是 在对称轴的左侧 y随x的增大而 在对称轴的右侧 y随x的增大而 当x 时 取得最值 这个值等于 下 y轴 0 5 减小 增大 0 大 5 上 y轴 0 3 减小 增大 0 小 3 y 2x2 3 2 5 或 小试牛刀 及时小结 向上 向下 0 c 0 c y轴 y轴 当x0时 y随着x的增大而增大 当x0时 y随着x的增大而减小 x 0时 y最小 0 x 0时 y最大 0 抛物线y ax2 c a 0 的图象可由y ax2的图象通过上下平移得到 大显身手 1 已知二次函数y 3x2 4 点A x1 y1 B x2 y2 C x3 y3 D x4 y4 在其图象上 且x2 x1 x3 x4 则 x1 x2 x3 x4 y1 y4 y3 y2 A y1 y2 y3 y4 B y2 y1 y3 y4 C y3 y2 y4 y1 D y4 y2 y3 y1 B 2 已知二次函数y ax2 c 当x取x1 x2 x1 x2 x1 x2分别是A B两点的横坐标 时 函数值相等 则当x取x1 x2时 函数值为 A a cB a cC cD c D 大显身手 3 函数y ax2 a与y 在同一直角坐标系中的图象可能是 A 大显身手 大显身手 4 一位篮球运动员跳起投篮 球沿抛物线 运行 然后准确落入蓝筐内 已知蓝筐的中心离地面的距离为3 05m 1 球在空中运行的最大高度是多少米 2 如果运动员跳投时 球出手离地面的高度为2 25m 则他离篮筐中心的水平距离AB是多少 实际问题与二次函数 水柱形成形状 跳运时人在空中经过的路径 篮球在空中经过的路径 跳水运动员在空中经过的路径 何时获得最大利润 何时橙子总产量最大 养鸡场面积何时最大 同学们 今天就让我们一起去体会生活中的数学给我们带来的乐趣吧 题型一 最大利润问题 某商品现在的售价为每件60元 每星期可卖出300件 市场调查反映 每涨价1元 每星期少卖出10件 每降价1元 每星期可多卖出18件 已知商品的进价为每件40元 如何定价才能使利润最大 来到商场 请大家带着以下几个问题读题 1 题目中有几种调整价格的方法 2 题目涉及到哪些变量 哪一个量是自变量 哪些量随之发生了变化 某商品现在的售价为每件60元 每星期可卖出300件 市场调查反映 每涨价1元 每星期少卖出10件 每降价1元 每星期可多卖出18件 已知商品的进价为每件40元 如何定价才能使利润最大 来到商场 分析 调整价格包括涨价和降价两种情况 先来看涨价的情况 设每件涨价x元 则每星期售出商品的利润y也随之变化 我们先来确定y与x的函数关系式 涨价x元时则每星期少卖件 实际卖出件 销额为元 买进商品需付元因此 所得利润为元 10 x 300 10 x 60 x 300 10 x 40 300 10 x y 60 x 300 10 x 40 300 10 x 即 0 X 30 0 X 30 所以 当定价为65元时 利润最大 最大利润为6250元 在降价的情况下 最大利润是多少 请你参考 1 的过程得出答案 解 设降价x元时利润最大 则每星期可多卖18x件 实际卖出 300 18x 件 销售额为 60 x 300 18x 元 买进商品需付40 300 10 x 元 因此 得利润 答 定价为元时 利润最大 最大利润为6050元 由 1 2 的讨论及现在的销售情况 你知道应该如何定价能使利润最大了吗 0 x 20 1 列出二次函数的解析式 并根据自变量的实际意义 确定自变量的取值范围 2 在自变量的取值范围内 运用公式法或通过配方求出二次函数的最大值或最小值 解这类题目的一般步骤 1 在2006年青岛崂山北宅樱桃节前夕 某果品批发公司为指导今年的樱桃销售 对往年的市场销售情况进行了调查统计 得到如下数据 1 在如图的直角坐标系内 作出各组有序数对 x y 所对应的点 连接各点并观察所得的图形 判断y与x之间的函数关系 并求出y与x之间的函数关系式 2 若樱桃进价为13元 千克 试求销售利润P 元 与销售价x 元 千克 之间的函数关系式 并求出当x取何值时 P的值最大 解 1 正确描点 连线 由图象可知 y是x的一次函数 设y kx b 点 25 2000 24 2500 在图象上 解之得 y 500 x 14500 2 P x 13 y x 13 500 x 14500 500 x2 21000 x 188500 500 x 21 2 32000 P与x的函数关系式为P 500 x2 21000 x 188500 当销售价为21元 千克时 能获得最大利润 03河北 2 某高科技发展公司投资500万元 成功研制出一种市场需求量较大的高科技替代产品 并投入资金1500万元进行批量生产 已知生产每件产品的成本为40元 在销售过程中发现 当销售单价定为100元时 年销售量为20万件 销售单价每增加10元 年销售量将减少1万件 设销售单价为x元 年销售量为y万件 年获利 年获利 年销售额 生产成本 投资 z万元 1 试写出y与x之间的函数关系式 不必写出的取值范围 2 试写出z与x之间的函数关系式 不必写出的取值范围 3 计算销售单价为160元时的年获利 并说明同样的年获利 销售单价还可以定为多少元 相应的年销售量分别为多少万件 4 公司计划 在第一年按年获利最大确定的销售单价进行销售 第二年年获利不低于1130万元 请你借助函数的大致图象说明 第二年的销售单价x 元 应确定在什么范围内 解 1 依题意知 当销售单价定为x元时 年销售量减少 x 100 万件 y 20 x 100 x 30 即y与x之间的函数关系式是 y x 30 2 由题意 得 z 30 x 40 500 1500 x2 34x 3200 即z与x之间的函数关系式是 z x2 34x 3200 3 当x取160时 z 1602 34 160 3200 320 320 x2 34x 3200 整理 得x2 340 28800 0 由根与系数的关系 得160 x 340 x 180 即同样的年获利 销售单价还可以定为180元 当x 160时 y 160 30 14 当x 180时 y 180 30 12 即相应的年销售量分别为14万件和12万件 4 z x2 34x 3200 x 170 2 310 当x 170时 z取最大值 最大值为 310 也就是说 当销售单价定为170元时 年获利最大 并且到第一年底公司还差310万元就可以收回全部投资 第二年的销售单价定为x元时 则年获利为 z 30 x x 40 310 x2 34x 1510 当z 1130时 即1130 x2 34x 1510 整理 得x2 340 x 26400 0 解得x1 120 x2 220 函数z x2 34x 1510的图象大致如图所示 由图象可以看出 当120 x 220时 z 1130 所以第二年的销售单价应确定在不低于120元且不高于220元的范围内 例 某机械租赁公司有同一型号的机械设备40套 经过一段时间的经营发现 当每套机械设备的月租金为270元时 恰好全部租出 在此基础上 当每套设备的月租金每提高10元时 这种设备就少租出一套 且没租出的一套设备每月需支出费用 维护费 管理费等 20元 设每套设备的月租金为x 元 租赁公司出租该型号设备的月收益 收益 租金收入 支出费用 为y 元 1 用含x的代数式表示未出租的设备数 套 以及所有未出租设备 套 的支出费 2 求y与x之间的二次函数关系式 3 当月租金分别为300元和350元式 租赁公司的月收益分别是多少元 此时应该出租多少套机械设备 请你简要说明理由 4 请把 2 中所求出的二次函数配方成的形式 并据此说明 当x为何值时 租赁公司出租该型号设备的月收益最大 最大月收益是多少 解 1 未租出的设备为套 所有未出租设备支出的费用为 2x 540 元 2 3 当月租金为300元时 租赁公司的月收益为11040元 此时租出设备37套 当月租金为350元时 租赁公司的月收益为11040元 此时租出设备32套 因为出租37套和32套设备获得同样的收益 如果考虑减少设备的磨损 应该选择出租32套 如果考虑市场占有率 应该选择37套 4 当x 325时 y有最大值11102 5 但是当月租金为325元时 出租设备的套数为34 5套 而34 5不是整数 故出租设备应为34 套 或35 套 即当月租金为330元 租出34套 或月租金为320元 租出35套 时 租赁公司的月收益最大 最大月收益均为11100元 例 07河北 某超市销售某种品牌的纯牛奶 已知进价为每箱40元 生产厂家要求每箱的售价在40元 70元之间 市场调查发现 若每箱50元销售 平均每天可销售90箱 价格每降低1元 平均每天多销售3箱 价格每升高1元 平均每天少销售3箱 1 写出平均每天的销售量y 箱 与每箱售价x 元 之间的函数关系式 注明自变量x的取值范围 2 求出超市平均每天销售这种牛奶的利润W 元 与每箱牛奶的售价x 元 之间的二次函数关系式 每箱的利润 售价 进价 3 请把 2 中所求出的二次函数配方成的形式 并指出当x 40 70时 W的值 4 在坐标系中画出 2 中二次函数的图象 请你观察图象说明 当牛奶售价为多少时 平均每天的利润最大 最大利润为多少 解 1 y 240 3x 2 W 3x2 360 x 9600 40 x 70 3 W 3 x 60 2 1200 当x 40时 W 0 当x 70时 W 900 4 图象略 由图象可知 当售价为60元时 最大销售利润为1200元 来到操场 题型二 运动问题 一场篮球赛中 小明跳起投篮 已知球出手时离地面高米 与篮圈中心的水平距离为8米 当球出手后水平距离为4米时到达最大高度4米 设篮球运行的轨迹为抛物线 篮圈中心距离地面3米 问此球能否投中 3米 8米 4米 4米 如图 建立平面直角坐标系 点 4 4 是图中这段抛物线的顶点 因此可设这段抛物线对应的函数为 0 x 8 0 x 8 篮圈中心距离地面3米 此球不能投中 若假设出手的角度和力度都不变 则如何才能使此球命中 1 跳得高一点 2 向前平移一点 4 4 8 3 在出手角度和力度都不变的情况下 小明的出手高度为多少时能将篮球投入篮圈 0123456789 8 3 5 4 4 4 0123456789 在出手角度 力度及高度都不变的情况下 则小明朝着篮球架再向前平移多少米后跳起投篮也能将篮球投入篮圈 例 某跳水运动员进行10米跳台训练时 身体 看成一点 在空中的运动路线是一条抛物线如图所示 图中标出的数据为已知条件 在跳某个规范动作时 通常情况下 该运动员在空中的最高处距水面10m 入水处距池边的距离为4m 运动员在距水面高度为5m以前 必须完成规范的翻腾动作 并调整好入水姿势 否则就会出现失误 2 1 求这条抛物线对应的二次函数解析式 2 在某次试跳时 测得运动员在空中的运动路线是 1 中的抛物线且运动员在空中调整好入水姿势时 距池边的水平距离为3m 问此次跳水会不会失误 通过计算说明理由 解 1 在给定的直角坐标系下 设最高点为A 入水点位B 抛物线的关系式为 y ax2 bx c 由题意知 O B两点的坐标依次为 0 0 2 10 且顶点的纵坐标为 c 0 4a 2b c 10 解得 a b c 0 或 a b 2 c 0 抛物线对称轴在y轴右侧 0 又 抛物线开口向下 a 0 b 0 a b c 0 抛物线关系式为y x2 x 2 当运动员在空中距池边的水平距离为3m 即3 2 时 y 2 此时运动员距水面的高为10 因此此次跳水会出现失误 题型三 市场营销问题 例 05河北 某食品零售店为仪器厂代销一种面包 未售出的面包可退回厂家 以统计销售情况发现 当这种面包的单价定为7角时 每天卖出160个 在此基础上 这种面包的单价每提高1角时 该零售店每天就会少卖出20个 考虑了所有因素后该零售店每个面包的成本是5角 设这种面包的单价为x 角 零售店每天销售这种面包所获得的利润为y 角 用含x的代数式分别表示出每个面包的利润与卖出的面包个数 求y与x之间的函数关系式 当面包单价定为多少时 该零售店每天销售这种面包获得的利润最大 最大利润为多少 解 每个面包的利润为 x 5 角 卖出的面包个数为 300 20 x 或 160 x 7 20 2 即 3 当x 10时 y的最大值为500 当每个面包单价定为10角时 该零售店每天获得的利润最大 最大利润为500角 例 06河北 利达经销店为某工厂代销一种建筑材料 这里的代销是指厂家先免费提供货源 待货物售出后再进行结算 未售出的由厂家负责处理 当每吨售价为260元时 月销售量为45吨 该经销店为提高经营利润 准备采取降价的方式进行促销 经市场调查发现 当每吨售价每下降10元时 月销售量就会增加7 5吨 综合考虑各种因素 每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其它费用100元 设每吨材料售价为x 元 该经销店的月利润为y 元 1 当每吨售价是240元时 计算此时的月销售量 2 求出y与x的函数关系式 不要求写出x的取值范围 3 该经销店要获得最大月利润 售价应定为每吨多少元 4 小静说 当月利润最大时 月销售额也最大 你认为对吗 请说明理由 解 1 60 吨 2 化简得 3 利达经销店要获得最大月利润 材料的售价应定为每吨21元 4 我认为 小静说的不对 理由 方法一 当月利润最大时 x为210元 而对于月销售额来说 当x为160元时 月销售额W最大 当x为210元时 月销售额W不是最大 小静说的不对 方法二 当月利润最大时 x为210元 此时 月销售额为17325元 而当x为200元时 月销售额为18000元 17325 18000 当月利润最大时 月销售额W不是最大 小静说的不对 题型四 二次函数建模问题 例 图14 1是某段河床横断面的示意图 查阅该河段的水文资料 得到下表中的数据 1 请你以上表中的各对数据 x y 作为点的坐标 尝试在图14 2所示的坐标系中