【全程复习方略】（文理通用）高三数学一轮复习 2.9函数模型及其应用精品试题 (2)(1).doc

函数模型及其应用(45分钟100分)一、选择题(每小题5分,共40分)1.(2014宁波模拟)将甲桶中的a升水缓慢注入空桶乙中,t分钟后甲桶中剩余的水符合指数衰减曲线y=aent,假设5分钟后甲桶和乙桶的水量相等,若再过m分钟后甲桶中的水只有a8升,则m的值为()a.8b.10c.12d.15【解析】选b.由已知条件可得ae5n=a2,e5n=12.由aent=a8,得ent=18,所以t=15,m=15-5=10.2.(2014南昌模拟)如图,正方形abcd的顶点a0,22,b22,0,顶点c,d位于第一象限,直线l:x=t(0t2)将正方形abcd分成两部分,记位于直线l左侧阴影部分的面积为f(t),则函数s=f(t)的图象大致是()【解析】选c.f(t)增长的速度先快后慢,故选c.3.某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料,如图,为降低消耗,开源节流,现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用,当截取的矩形面积最大时,矩形两边长x,y应为()a.x=15,y=12b.x=12,y=15c.x=14,y=10d.x=10,y=14【思路点拨】利用三角形相似列出x与y的关系式,用y表示x.从而矩形面积可表示为关于y的函数.【解析】选a.由三角形相似得24-y24-8=x20,得x=54(24-y),由0x20得,8y24,所以s=xy=-54(y-12)2+180,所以当y=12时,s有最大值,此时x=15.4.(2014温州模拟)某商场宣传在“五一黄金周”期间对顾客购物实行一定的优惠,商场规定:如一次性购物不超过200元,不予以折扣;如一次性购物超过200元但不超过500元的,按标价给予九折优惠;如一次性购物超过500元,其中500元给予九折优惠,超过500元的部分给予八五折优惠.某人两次去购物,分别付款176元和432元,如果他只去一次购买同样的商品,则应付款()a.608元b.574.1元c.582.6元d.456.8元【解析】选c.设一次性购物总标价为x元,根据题意,应付款y=x(x200),0.9x(200500),付款176元时没有折扣.付款432元时标价为4320.9=480(元).故两次购物的标价为176+480=656(元).5000.9+(656-500)0.85=582.6(元).5.(2014北京模拟)在半径为r的半球内有一内接圆柱,则这个圆柱的体积的最大值是()a.239r3b.439r3c.233r3d.49r3【解析】选a.设圆柱的高为h,则圆柱的底面半径为r2-h2,圆柱的体积为v=(r2-h2)h=-h3+r2h(0hr),v=-3h2+r2=0,h=r3时v有最大值为v=239r3.6.(2014杭州模拟)一张正方形的纸片,剪去两个一样的小矩形得到一个“e”形图案,如图所示,设小矩形的长、宽分别为x,y,剪去部分的面积为20,若2x10,记y=f(x),则y=f(x)的图象是()【思路点拨】先根据已知构建函数y=f(x)解析式,再结合图象作出选择.【解析】选a.由题意知,xy=10,即y=10x,且2x10.【加固训练】一水池有两个进水口,一个出水口,每个水口的进、出水速度如图甲、乙所示.某天0点到6点,该水池的蓄水量如图丙所示.给出以下3个论断:0点到3点只进水不出水;3点到4点不进水只出水;4点到6点不进水也不出水.则一定正确的是()a.b.c.d.【解析】选a.由丙图知0点到3点蓄水量为6,故应两个进水口进水,不出水,故正确.由丙图知3点到4点间1小时蓄水量少1个单位,故1个进水1个出水,故错误.由丙图知4点到6点蓄水量不变,故可能不进水也不出水或两个进水一个出水,故错误.7.(2014郑州模拟)某种新药服用x小时后血液中的残留量为y毫克,如图所示为函数y=f(x)的图象,当血液中药物残留量不小于240毫克时,治疗有效.设某人上午8:00第一次服药,为保证疗效,则第二次服药最迟的时间应为()a.上午10:00b.中午12:00c.下午4:00d.下午6:00【解析】选c.当x0,4时,设y=k1x,把(4,320)代入,得k1=80,所以y=80x.当x4,20时,设y=k2x+b.把(4,320),(20,0)代入得4k2+b=320,20k2+b=0,解得k2=-20,b=400.所以y=400-20x.所以y=f(x)=80x,0x4,400-20x,4x20.由y240,得0x4,80x240或4x20,400-20x240.解得3x4或40).运煤的费用与运煤的路程、所运煤的质量都成正比,比例系数为k,k0,则地点选在点p,其运到中转站的费用为k(5xl+2xl+6xl+12xl)=25kxl;地点选在点q,其运到中转站的费用为k(10xl+xl+4xl+9xl)=24kxl;地点选在点r,其运到中转站的费用为k(15xl+2xl+2xl+6xl)=25kxl;地点选在点s,其运到中转站的费用为k(20xl+3xl+4xl+3xl)=30kxl.综上可知地点应选在q,煤运到中转站的费用最少.【误区警示】本题易因不能准确确定采煤点和中转站的路程关系而导致错误.二、填空题(每小题5分,共20分)9.某种病毒经30分钟繁殖为原来的2倍,且知病毒的繁殖规律为y=ekt(其中k为常数,t表示时间,单位:小时,y表示病毒个数),则k=,经过5小时,1个病毒能繁殖为个.【解析】由已知得2=ek2,所以k2=ln2,即k=2ln2,当t=5时,y=e(2ln2)5=eln210=210=1024.答案:2ln2102410.(2014衢州模拟)一高为h,满缸水量为v的鱼缸截面如图所示,其底部破了一个小洞,满缸水从洞中流出.若鱼缸水深为h时的水的体积为v1,则函数v1=f(h)的大致图象可能是图中的.【解析】当h=0时,v1=0可排除;由于鱼缸中间粗两头细,所以当h在h2附近时,体积变化较快;h小于h2时,体积增加越来越快;h大于h2时,体积增加越来越慢.答案:11.如图,书的一页的面积为600cm2,设计要求书面上方空出2cm的边,下、左、右方都空出1cm的边,为使中间文字部分的面积最大,这页书的长、宽应分别为.【思路点拨】设这页书的长为xcm,根据面积为600cm2将宽用x表示,再将中间文字部分的面积s用x表示,进而求函数最值.【解析】设这页书的长为xcm,宽为ycm,则xy=600,所以y=600x,则中间文字部分的长为:x-2-1=(x-3)cm,宽为:y-2=600x-2cm,所以其面积s=(x-3)600x-2=606-2x+900x.又x-30,600x-20,解得3x0且a1)图象的一部分.根据专家研究,当注意力指数p大于等于80时听课效果最佳.(1)试求p=f(t)的函数关系式.(2)老师在什么时段内安排核心内容能使得学生听课效果最佳?请说明理由.【解析】(1)t(0,14时,设p=f(t)=c(t-12)2+82(c0),将(14,81)代入得c=-14,t(0,14时,p=f(t)=-14(t-12)2+82;t14,40时,将(14,81)代入y=loga(t-5)+83,得a=13,所以p=f(t)=-14(t-12)2+82,t(0,14,log13(t-5)+83,t(14,40.(2)t(0,14时,由-14(t-12)2+8280,解得12-22t12+22,所以t12-22,14,t(14,40时,由log13(t-5)+8380,解得5t32,所以t(14,32,所以t12-22,32,即老师在t12-22,32时段内安排核心内容能使得学生听课效果最佳.15.(能力挑战题)某企业接到生产3000台某产品的a,b,c三种部件的订单,每台产品需要这三种部件的数量分别为2,2,1(单位:件).已知每个工人每天可生产a部件6件,或b部件3件,或c部件2件.该企业计划安排200名工人分成三组分别生产这三种部件,生产b部件的人数与生产a部件的人数成正比,比例系数为k(k为正整数).(1)设生产a部件的人数为x,分别写出完成a,b,c三种部件生产需要的时间.(2)假设这三种部件的生产同时开工,试确定正整数k的值,使完成订单任务的时间最短,并给出时间最短时具体的人数分组方案.【解析】(1)设完成a,b,c三种部件的生产任务需要的时间(单位:天)分别为t1(x),t2(x),t3(x),由题设有t1(x)=23 0006x=1 000x,t2(x)=2 000kx,t3(x)=1 500200-(1+k)x.其中x,kx,200-(1+k)x均为1到200之间的正整数.(2)完成订单任务的时间为f(x)=maxt1(x),t2(x),t3(x),其定义域为x0x2001+k,xn*.易知,t1(x),t2(x)为减函数,t3(x)为增函数.注意到t2(x)=2kt1(x),于是当k=2时,t1(x)=t2(x),此时f(x)=maxt1(x),t3(x)=max1 000x,1 500200-3x.由函数t1(x),t3(x)的单调性知,当1 000x=1 500200-3x时f(x)取得最小值,解得x=4009.由于44400945,而f(44)=t1(44)=25011,f(45)=t3(45)=30013,f(44)2时,t1(x)t2(x),由于k为正整数,故k3,此时1 500200-(1+k)x1 500200-(1+3)x=37550-x.记t(x)=37550-x,(x)=maxt1(x),t(x),易知t(x)是增函数,则f(x)=maxt1(x),t3(x)maxt1(x),t(x)=(x)=max1 000x,37550-x.由函数t1(x),t(x)的单调性知,当1 000x=37550-x时(x)取最小值,解得x=40011.由于364001125011, (37)=t(37)=3751325011,此时完成订单任务的最短时间大于25011