设计创意平板折叠桌的数学模型.doc

设计创意平板折叠桌的数学模型摘要在研究固定尺寸折叠桌的折叠机理的基础上，建立了折叠过程仿真模型，利用仿真模型画出了折叠过程中的状态图，在此基础上建立了优化平板长度和钢筋位置的优化模型，使得按优化后模型设计的折叠桌具有高稳定性、易加工和用料少的特性，最后对优化模型进行了推广，给出了能满足用户定制的设计模型，利用桌面为椭圆和扇形的折叠桌定制进行了仿真，从仿真结果看改模型能较好的满足用户的定制需求。 针对问题1，首先建立了动态模拟折叠过程的仿真模型，依托该模型绘制出了8种状态下折叠桌的图形如图4所示，并计算出了每根木条的开槽的起始位置和长度如表1所示；其次利用该模型算出的桌角边缘线的坐标如表3所示，并建立了边缘线对应的参数方程。针对问题2，通过对折叠桌稳固性的分析，利用力矩平衡原理，得出当桌子四个角所围成的支撑面对应的四边形恰好是桌面投影面的外接四边形时，桌子是最稳固的，具体情形如图6所示。利用该原则，建立了求解平板最优长度的数学模型，通过数值模拟发现所有木条开槽长度总和随钢筋位置下移而单调递减，因此判断当钢筋到达中间木条的最下端时，木条开槽的总和最小，即加工最方便，从而建立了计算钢筋位置的数学模型。并给出了相应的开槽长度。最后应用上述优化模型对桌高为70 cm、直径为80cm进行了验证，算得平板长度为：161.2452cm 钢筋位置为：40.9178cm 相应的开槽尺寸如表5所示，并绘制出了对应的8个状态下的折叠桌的示意图，具体情形如图7所示。针对问题3，将问题2所建模型中的圆形桌面方程替换成任意图形桌面方程，建立了所给的桌面尺寸、高度以及桌角边缘线与问题2相关参数对应的数学模型，将定制参数转换成可设计参数，如利用桌面图形的外接四边形和高来计算平板的长度，利用底角边缘的最高点和其它尺寸计算钢筋位置等。最后利用对称的椭圆桌面和不对称的扇形桌面，对定制模型进行测试，利用该模型算出了两种桌面的最优设计参数和动态仿真图。椭圆桌面仿真图如图9所示、扇形桌面仿真图如图10所示。在附录1中给出了扇形桌面18种状态的仿真图。从测试结果看，所给模型能较好的满足用户的定制需求。关键词：折叠桌，稳固性，力矩平衡，定制一、问题重述某公司生产一种可折叠的桌子，桌面呈圆形，桌腿随着铰链的活动可以平摊成一张平板。桌腿由若干根木条组成，分成两组，每组各用一根钢筋将木条连接，钢筋两端分别固定在桌腿各组最外侧的两根木条上，并且沿木条有空槽以保证滑动的自由度，桌子外形由直纹曲面构成，造型美观。问题1. 给定长方形平板尺寸为120 cm 50 cm 3 cm，每根木条宽2.5 cm，连接桌腿木条的钢筋固定在桌腿最外侧木条的中心位置，折叠后桌子的高度为53 cm。试建立模型描述此折叠桌的动态变化过程，在此基础上给出此折叠桌的设计加工参数（例如，桌腿木条开槽的长度等）和桌脚边缘线的数学描述。问题2. 折叠桌的设计应做到产品稳固性好、加工方便、用材最少。对于任意给定的折叠桌高度和圆形桌面直径的设计要求，讨论长方形平板材料和折叠桌的最优设计加工参数，例如，平板尺寸、钢筋位置、开槽长度等。对于桌高70 cm，桌面直径80 cm的情形，确定最优设计加工参数。问题3. 公司计划开发一种折叠桌设计软件，根据客户任意设定的折叠桌高度、桌面边缘线的形状大小和桌脚边缘线的大致形状，给出所需平板材料的形状尺寸和切实可行的最优设计加工参数，使得生产的折叠桌尽可能接近客户所期望的形状。你们团队的任务是帮助给出这一软件设计的数学模型，并根据所建立的模型给出几个你们自己设计的创意平板折叠桌。要求给出相应的设计加工参数，画出至少8张动态变化过程的示意图。二、问题分析创意平板折叠桌作为一项创新产品而出现，由于经济、环保、工艺等因素的制约，就需要我们合理的设计木板的长宽、槽长及位置、木条的宽度等参数，稳定性问题要求要有合理的设计木板的最大展开角度、钢筋的位置。这些参数的合理设计对于生产生活都是非常重要的。因此研究固定尺寸折叠桌的折叠机理的基础上，建立了折叠过程仿真模型，利用仿真模型画出了折叠过程中的状态图，在此基础上建立了优化平板长度和钢筋位置的优化模型，使得按优化后模型设计的折叠桌具有高稳定性、易加工和用料少的特性，最后对优化模型进行了推广，给出了能满足用户定制的设计模型，利用桌面为椭圆和扇形的折叠桌定制进行了仿真，从仿真结果看改模型能较好的满足用户的定制需求。 针对问题1，首先建立了动态模拟折叠过程的仿真模型，依托该模型绘制出了8种状态下折叠桌的图形如图4所示，并计算出了每根木条的开槽的起始位置和长度如表1所示；其次利用该模型算出的桌角边缘线的坐标如表3所示，并建立了边缘线对应的参数方程。针对问题2，通过对折叠桌稳固性的分析，利用力矩平衡原理，得出当桌子四个角所围成的支撑面对应的四边形恰好是桌面投影面的外接四边形时，桌子是最稳固的，具体情形如图6所示。利用该原则，建立了求解平板最优长度的数学模型，通过数值模拟发现所有木条开槽长度总和随钢筋位置下移而单调递减，因此判断当钢筋到达中间木条的最下端时，木条开槽的总和最小，即加工最方便，从而建立了计算钢筋位置的数学模型。并给出了相应的开槽长度。最后应用上述优化模型对桌高为70 cm、直径为80cm进行了验证，算得平板长度为：161.2452cm 钢筋位置为：40.9178cm 相应的开槽尺寸如表5所示，并绘制出了对应的8个状态下的折叠桌的示意图，具体情形如图7所示。针对问题3，将问题2所建模型中的圆形桌面方程替换成任意图形桌面方程，建立了所给的桌面尺寸、高度以及桌角边缘线与问题2相关参数对应的数学模型，将定制参数转换成可设计参数，如利用桌面图形的外接四边形和高来计算平板的长度，利用底角边缘的最高点和其它尺寸计算钢筋位置等。最后利用对称的椭圆桌面和不对称的扇形桌面，对定制模型进行测试，利用该模型算出了两种桌面的最优设计参数和动态仿真图。椭圆桌面仿真图如图9所示、扇形桌面仿真图如图10所示。在附录1中给出了扇形桌面18种状态的仿真图。从测试结果看，所给模型能较好的满足用户的定制需求。三、模型假设1、假设桌面的实际形状为圆。2、不考虑相互挤压的木条与连接桌腿木条的钢筋发生的形变。3、假设桌子最外侧前后两根木条上端点重合于圆上一点。4、假设木条材质的强度能够满足要求。5、木条厚度和宽度不影响稳固性四、符号说明a 最外侧木条上钢筋距x轴的距离b 第i根木条在xoy水平面上到x轴的距离c 第i根木条上钢筋与xoy水平面交点的距离C c的平方op 最外侧木条与z轴的最小夹角bp 最外侧木条与xoy水平面的夹角pp 第i根木条与y轴正方向的夹角P pp的余弦值x 每根木条距y轴最远侧的距离y x轴左侧第i根木条上端点的y坐标值y1 x轴右侧第i根木条上端点的y坐标值 y2 第i根木条下端点的y坐标值 z 第i根木条下端点的z坐标值五、模型的建立与求解5.1 问题1的建模与求解5.1.1问题1的分析问题一给定了长方形平板尺寸为120 cm 50 cm 3 cm，每根木条宽2.5 cm，连接桌腿木条的钢筋固定在桌腿最外侧木条的中心位置，折叠后桌子的高度为53 cm。该折叠桌(a)初始，(b)折叠中，(c)折叠后的状态如图1所示： (a) 折叠后 (b)折叠中 (c) 初始图1 给定尺寸时折叠桌的折叠后，折叠中及初始状态 由问题1已知条件分析，对本题附件中所给视频观察发现可知，由于每根木条的位置不同，长度不同，折叠的过程中不同位置的木条，其与桌面的倾角也是不同的，这就导致每根木条上的开槽长度也就不一样，但是题目中并没有与开槽位置与长度直接相关的变量，因此我们采用逆向思维，由倾角的角度反推桌腿木条开槽的长度，以寻求各参数之间的关系。为了方便分析，我们利用CAD画出该折叠桌的主视图，并对各部分进行标注并标出表示各参数的符号，如图2所示： 图2 圆面折叠桌主视图如图2所示，为了进一步分析出各个参数之间的关系，以桌面圆心作为坐标原点，水平向右方向为y轴正向，垂直于纸面向外方向作为x轴正向，竖直向下方向作为z轴正向，以此建立三维空间直角坐标系。5.1.2 问题1的求解在问题1中，长方形平板尺寸为120 cm 50 cm 3 cm，也就是说，木板的长为120cm，宽为50cm，厚度为3cm，而折叠后桌子的高度为53 cm，去掉木板水平展开时的高度3cm，所以认为实际木板折叠到极限位置时高为50cm，最外侧木条与水平面的夹角为：(1) 通过对本题附件中所给视频观察发现，在所建立的三维空间直角坐标系下木板折叠到极限位置时，随着x的变化，每根木条与水平面的夹角也在逐渐的变化，此时，各参数间的关系如公式（2）(2) 采用matlab进行仿真，因为每根木条宽为2.5cm，因此，在x的变化范围-25,25内，以2.5为步长，标示出x的位置，并根据公式（2）求出每根木条与水平面的夹角。对于开槽长度，我们通过分析得出，木条的开槽长度与木条所在位置有关，即x的绝对值越小（即越靠近中间），x=0时，开槽长度最大。我们根据木板展开为平板时钢筋的位置确定空槽的上限，根据折叠到极限位置时钢筋的位置确定空槽的下限，木板开槽的上限由最外侧木条上的钢筋位置决定，对于下限我们通过观察分析及程序仿真可知，随着木条长度的增长，空槽长度在递减，因此木条越短，空槽长度越长。当中间木条取到下端点时，为木板开槽的下限位置，空槽长度为m：m=b+c-a (3)其中a的值已知为30cm，利用matlab仿真得到折叠到极限状态时木条开槽参数，如表1所示： 表1 折叠到极限状态时木条开槽参数角度木条1木条2木条3木条4木条5木条6木条7木条8木条9木条1033.58上限010.90 15.00 17.85 20.00 21.65 22.91 23.85 24.49 24.87 下限3036.54 40.05 42.89 45.23 47.16 48.70 49.88 50.72 51.21 槽长06.54 10.05 12.89 15.23 17.16 18.70 19.88 20.72 21.21 在不同倾角的情况下的几组木条开槽的上下限，以及空槽长度如表2所示：表2 不同倾角的情况下的几组木条开槽参数0.7227上限010.90 15.00 17.85 20.00 21.65 22.91 23.85 24.49 24.87 下限3035.11 38.02 40.44 42.50 44.22 45.62 46.70 47.47 47.93 槽长05.11 8.02 10.44 12.50 14.22 15.62 16.70 17.47 17.93 0.8411上限010.90 15.00 17.85 20.00 21.65 22.91 23.85 24.49 24.87 下限3033.95 36.31 38.36 40.14 41.66 42.92 43.90 44.61 45.03 槽长03.95 6.31 8.36 10.14 11.66 12.92 13.90 14.61 15.03 0.948上限010.90 15.00 17.85 20.00 21.65 22.91 23.85 24.49 24.87 下限3032.98 34.85 36.53 38.04 39.36 40.47 41.36 42.00 42.38 槽长02.98 4.85 6.53 8.04 9.36 10.47 11.36 12.00 12.38 1.0472上限010.90 15.00 17.85 20.00 21.65 22.91 23.85 24.49 24.87 下限3032.17 33.59 34.91 36.15 37.26 38.22 39.00 39.57 39.92 槽长02.17 3.59 4.91 6.15 7.26 8.22 9.00 9.57 9.92 为了得出桌脚边缘曲线的数学描述，可以先求出木条下端点的坐标(X,Y,Z),的参数方程如公式（4）所示：X = x (4)并采用matlab拟合出折叠到极限位置时桌角边缘曲线，如图3所示： 图3 折叠到极限位置时(a)桌角边缘曲线拟合图 (b) 复原图形其中各木条下端点坐标数据如表3所示：表3 折叠到极限位置时木条下端点坐标角度木条1木条2木条3木条4木条5木条6木条7木条8木条9木条1033.58x-25-22.50 -20.00 -17.50 -15.00 -12.50 -10.00 -7.50 -5.00 -2.50 yNaN21.79 17.84 15.71 14.58 14.03 13.81 13.76 13.78 13.82 zNaN-47.88 -44.91 -42.09 -39.63 -37.59 -35.95 -34.72 -33.85 -33.34 同时我们列出了不同倾角下的木条下端点坐标，如表4所示：表4 不同倾角下的木条下端点坐标角度木条1木条2木条3木条4木条5木条6木条7木条8木条9木条1041.43x-25-22.50 -20.00 -17.50 -15.00 -12.50 -10.00 -7.50 -5.00 -2.50 y39.6929.04 24.47 21.57 19.72 18.58 17.90 17.51 17.31 17.21 z-45-45.63 -43.99 -41.98 -40.00 -38.23 -36.75 -35.59 -34.77 -34.28 48.22x-25-22.50 -20.00 -17.50 -15.00 -12.50 -10.00 -7.50 -5.00 -2.50 y44.7235.31 30.54 27.12 24.69 23.01 21.89 21.17 20.73 20.49 z-40-42.60 -42.23 -41.12 -39.72 -38.33 -37.07 -36.05 -35.30 -34.85 54.34x-25-22.50 -20.00 -17.50 -15.00 -12.50 -10.00 -7.50 -5.00 -2.50 y48.7340.85 36.24 32.55 29.68 27.53 25.98 24.92 24.24 23.86 z-35-38.91 -39.67 -39.50 -38.81 -37.90 -36.96 -36.14 -35.50 -35.11 60.03x-25-22.50 -20.00 -17.50 -15.00 -12.50 -10.00 -7.50 -5.00 -2.50 y51.9645.71 41.58 37.93 34.81 32.29 30.34 28.94 27.99 27.46 z-30-34.62 -36.31 -37.06 -37.16 -36.84 -36.33 -35.79 -35.33 -35.03 根据所建立的模型用matlab对此折叠桌的动态变化过程仿真结果如图4所示，其中第0种展开状态为初始即平板状态的示意，第8种状态为折叠到极限状态时的示意,第1到第7种展开状态为中间过渡状态。图4 折叠桌的动态变化过程图5.2问题2的建模与求解5.2.1问题2分析问题2中要求折叠桌设计要满足：产品稳固性好，加工方便，用材最少等条件，并且对于任意给定的折叠桌高度和圆形桌面直径，求出所需木板的钢筋位置、最小长宽尺寸、最佳最大展开倾角和最小开槽长度等参数，由题意可知，问题2的关键是根据已知条件确定出各个设计参数之间的关系。首先，该题要满足稳固性的要求，在实际问题中，假设桌子表面受到物体的承载能力，受力为F，由力矩的平衡性原理得，受力方向必须位于支撑面的垂直投影面内，首先我们以稳定性为约束条件，由结构力学的力矩平衡原理可知当重心所在垂线落在四个桌腿所构成的矩形范围内（即桌面边界内切于桌腿所构成的矩形在同一水平面上的投影）折叠桌一直能保证在稳定状态，则四个桌腿刚好能构成正方形为临界状态。力矩平衡原理：力矩可以使物体向不同的方向转动，如果这两个力矩的大小相等，杠杆将保持平衡。如果把物体向逆时针方向转动的力矩规定为正力矩，使物体向顺时针方向转动的力矩规定为负力矩，则有固定转动轴的物体的平衡条件是力矩的代数和为零。其力学原理如图5所示：图5 力矩平衡原理示意图根据以上分析可知，当四条桌腿所围成的四边形与桌面的投影图形相切时，稳定性最好，我们利用也就是折叠到极限状态时的情形，我们将问题1中，在折叠到极限状态时所得的三维图向xoy平面投影，如图5 所示， 图6 问题1所得的三维图向xoy平面投影然后，根据公式(2),由折叠桌的高度h和桌面半径b计算出木板的在用料最省时的长L和宽d，如公式(5)所示：（8） 最后，要求加工方便，也就是木条空槽的长度之和最短，由展开成平面状态下分析得:木条空槽的上限a1b，又因为木条折叠成最大角度时木条不能脱离钢筋的约束，则有木条空槽的下极限a2,木条空槽的长度为m,由每根木条空槽的长度我们可以求出折叠桌中所有空槽长度的总和sum,钢筋到x轴的距离为25到60时,即可得如下一组公式(6)(6)5.2.2问题2求解 对于问题2中所给定的桌高70 cm，桌面直径80 cm的情形，确定最优设计加工参数。利用matlab仿真得到钢筋到x轴的距离为25到60，步长为1时木条空槽长度的总和如下所示：336.6274 329.6709 323.1777 317.1123 311.4418 306.1356 301.1655 296.5054 292.1313 288.0212 284.1549 280.5139 277.0813 273.8414 270.7803 267.8847 265.1428 262.5438 260.0775 257.7349 255.5075 253.3877 251.3682 249.4426 247.6048 245.8493 244.1710 242.5652 241.0275 239.5538 238.1404 236.7839 235.4810 234.2287 233.0242 231.8650通过对以上数据的分析知道，当钢筋距离中间木条的下端点越近时，空槽长度总和sum越小，因此木条空槽下边界取在中间木条下端点附近时最佳，即理想情况下在折叠到极限位置时，钢筋应位于中间木条下端点处。由公式(2) 最外侧木条与垂直线z轴的夹角，以及桌子折叠到最大角度时钢筋到桌面边界的最远距离c，通过三角函数余弦定理，可得出折叠到最大角度时钢筋到x轴的距离a的一系列函数表达式如下： (7)可求出平板长度为：161.2452cm 钢筋位置为：40.9178cm即为钢筋的最佳位置。即对于任意给定的高度和直径都可以根据该方程组确定最优化的设计参数。在给定的桌高70 cm，桌面直径80 cm的情形下，根据建立的模型用matlab对此折叠桌的动态变化过程仿真结果如图7所示：图7 折叠桌的动态变化过程图5.2.3、模型的检验通过题目中给出的高度为70cm，直径为80cm的尺寸我们可以验证模型的计算结果如下表所示：表5.第i根木条的开槽长度1234567891009.1013.9918.0621.6024.7227.4829.9132.0333.881112131415161718192035.4536.7737.8338.6639.2439.5939.7039.5939.2438.665.3问题3建模与求解5.3.1问题3分析与建模问题3要求在客户任意设定的折叠桌高度、桌面边缘线的形状大小和桌脚边缘线的大致形状，求出所需平板材料的形状尺寸和切实可行的最优设计加工参数，使得生产的折叠桌尽可能接近客户所期望的形状。在此情形下，要达到最优设计，与问题2的求解原理相似，首先要满足稳固性要求，即桌面投影图形与四条腿投影所得四边形相内切时稳定性最好。具体分析，问题2（桌面为圆形）可看做问题3（桌面边缘线任意）的一种特殊情况，将特殊问题一般化，我们可以对问题2的数学模型适当调整，即可得到问题3所要求的。通过公式（2）所得的参数方程，我们可以得到每根木条的下端点的坐标值参数方程,如公式 (8)所示: （8） 据此，我们设计了桌面边缘线为左右对称的椭圆和左右不对称的扇形时的两种模型，桌面形状在稳固性最优时外接矩形和折叠桌立体图如图8所示： a)桌面边缘线为的椭圆（左右对称） (b) 桌面边缘线为的扇形（左右不对称）图8 桌面边缘线为椭圆和扇形示意图 通过问题1和问题2的数学模型和仿真结果的分析，对于任意给定的高度、桌面形状、桌脚边缘线，我们可以给出相应的参数方程，在实际生产中只需要简单地输入这些参数，机器就能自动的生产出耗材最少、工艺最简单、结果最为稳定的折叠桌结构，从而符合了实际生产生活的要求。我们得出的参数方程组如公式（9）所示：（9）通过这些参数，我们可以编写相应的程序来控制自动化的生产过程。（1）、自动化生产扇形桌面的程序如附录五所示：（2）、自动化生产椭圆形桌面的程序如附录七所示：（3）、由上述两例可知对于任意给定的桌面形状、桌角曲线、桌高都可以根据这些参数方程求出对应的最优化参数。5.3.2问题3所建立的模型的测试根据所建立的数学模型，采用matlab进行仿真，得到的桌面边缘线为椭圆(左右对称)时折叠桌展开过程动态图，如图9所示：图9 桌面边缘线为椭圆时折叠桌展开过程动态图桌面边缘线为扇形(左右不对称)时折叠桌展开过程动态图，如图10所示：图10桌面边缘线为扇形时折叠桌展开过程动态图以这两种情形为例，对于客户任意设定的折叠桌高度、桌面边缘线的形状大小和桌脚边缘线的大致形状，都可以利用此模型给出所需平板材料的形状尺寸和切实可行的最优设计加工参数，使得生产的折叠桌尽可能接近客户所期望的形状。六、结论从仿真和测试结果来看，所建立的设计软件模型能满足用户在一定范围内的定制需求，算法运行速度较快，且可以仿真整个折叠过程，给折叠桌的设计提供了一个较为合理的设计方案七、参考文献1盛昭瀚、曹忻.最优化方法基本教程，东南大学出版社，1993.2章绍辉.数学建模，科学出版社，2010.3刘仁云.数学建模方法与数学实验，2011.八 附 录附录1：附录2：matlab仿真源程序j=1;for ak=30:0.5:30figure(j);j=j+1; x=-25:2.5:25;y=sqrt(252-x.2);y1=-sqrt(252-x.2);z=zeros(1,21);y2,z1,yy,zz=mzuobiao(0.498,y,ak); %计算第i根木条下端点的相应坐标for i=1:21 %绘制桌面d=x(i),x(i);e=y(i),-y(i);f=z(i),z(i);plot3(d,e,f,linewidth,3,MarkerFaceColor,r)hold onendfor i=1:21 %绘制右边图形d=x(i),x(i);e=y(i),y2(i);f=z(i),z1(i);set(0,defaultfigurecolor,w)plot3(d,e,f,linewidth,3,MarkerFaceColor,r)hold onendplot3(x,y2,z1)plot3(x,yy,zz,k)for i=1:21 %绘制左边图形d=x(i),x(i);e=y1(i),-y2(i);f=z(i),z1(i);plot3(d,e,f, k ,linewidth,2) hold on endplot3(x,-y2,z1)plot3(x,y,z,x,y1,z,k)plot3(x,-yy,zz)axis equalrotate3d;end%（计算每条木条的下端点的坐标值及槽长）x=-25:2.5:25;a=30;b=abs(sqrt(625-x.2);%第i根木条在xoy水平面上到x轴的距离op=acos(10/60);%最外侧木条与z轴的最小夹角bp=pi/2-op;C=a.2+b.2-2*a.*b.*cos(bp);c=sqrt(C);P=(b.2+c.2-a.2)./(2.*b.*c);pp=acos(P);pp=acos(cos(pp);y=b-(60-b).*cos(pp);z=-(60-b).*sin(pp);cao=c+b-a;Plot3(x,y,z)%（计算各种倾角下各木条槽长总和）i=1;for a=25:60;%a为钢筋到x轴的距离x=-25:2.5:25;b=sqrt(625-x.2);%第i根木条在xoy水平面上到x轴的距离op=acos(50/60);%最外侧木条与z轴的最小夹角bp=pi/2-op;C=a.2+b.2-2*a.*b.*cos(bp);c=sqrt(C);P=(b.2+c.2-a.2)./(2.*b.*c);pp=acos(P);h(i,:)=pp*180/pi;y=b-(60-b).*cos(pp);z=-(60-b).*sin(pp);m(i,:)=(b+c-a);i=i+1;endfor i=1:36n(i)=sum(m(i,:);%n即为空槽长度总和sumEnd%（画出扇形图的程序）ak=30;x=-25:2.5:25;x1=-25:2.5:0;x2=2.5:2.5:25;y11=-x1-25;y12=x2-25;y1