浅谈如何提高数学例题教学的效率.doc

研究试题把握方向 探讨教法提高效率武汉二中数学组 刘官毅1. 研究高考试题把握教学方向1.1 20122013年试题特点2013年湖北高考数学试卷遵循了“总体平衡，局部微调”的命题原则，与2012年试卷相比，继续融入教学大纲的思想，汲取新课程标准化的理念，强调基础知识，注重知识与能力并举，突出考查了思维、运算、空间想象、实践等能力和创新意识。特别是热点知识，重点内容考查的方式，难易程度的设置没有明显变化，基本保持稳定。下面对2012年2013年两年湖北卷进行解读与总结，从中感悟命题指导思想，预测2014年的高考命题趋势。1.1.1 三角函数包含三角恒等变形，图象与性质和解三角形三个方面。12年是三角函数图象与性质的题。13年考查三角形中三角问题。解答题比较常规，属容易题。1.1.2 数列是一种特殊函数。其中等差数列和等比数列是两类基本数列模型，在高考中占有重要地位，是高考考查的热点。12年及13年湖北高考试卷均为第二题。主要考查数列求通项和求和问题。我们应注意数列题难度的变化。1.1.3 立体几何主要考查学生的逻辑思维能力和空间想象能力。解答题中主要考查空间线面位置关系的判断和证明，空间角与距离的计算。属每年必考内容，题型几乎没有变化，属中档题。1.1.4 概率与统计的概率部分包含离散型随机变量的分布列，期望与方差等基础知识的计算，统计部分包含抽样方法与总体分布估计，正态分布与线性回归方程等基础知识的理解。12年与13年各出了一道题，属中档题。1.1.5 解析几何的核心内容为圆锥曲线，属高考必考内容。解答题多属中档题或压轴题，一般以两问出现，第一问求轨迹方程，第二问根据方程研究曲线的性质。这类题的求解需较高的代数推理能力和运算技巧，12年13年各出了一道解析几何题。1.1.6 函数思想是相对重要的数学思想，高考设置的函数问题多是与其图象和性质相关的问题。导数知识是高中数学研究函数问题的重要工具，对单调性、极值和最值的考查是导数的核心内容，也是这两年来高考的热点，几乎处在压轴题的位置。1.2对2014年数学试题的猜测及复习策略1.2.1预计2014年试卷解答题第一题为三角题，主要考查三角恒等变形，三角函数图像和性质以及三角形中三角问题。在复习中，应强调对同角三角函数关系式诱导公式两角和差的三角函数倍角公式降幂升倍公式辅助角公式等公式的记忆，从变角、变名、变次、变结构等角度去探索思路，掌握三角函数的图象及性质以及相位变换，周期变换，振幅变换，会解斜三角形，应注意三角形中的应用题。1.2.2预计2014年试卷题第二题为数列问题。主要考查等差，等比数列的概念、性质、通项公式及前几项和公式等知识，要求学生掌握公式法分项求和法错位相减法裂项相消法等方法，会求数列前几项和；和会解以下几种形式的通项公式公式法利用累加法形如形如。1.2.3预计2014年试卷解答题第三题为立体几何问题。立体几何的主要内容是空间几何体，点、线、面之间的位置关系，空间向量与立体几何的关系，会证空间两元素平行或垂直，特别是用平面几何知识转化为线面垂直，证明两直线垂直；用转化为线线平行转化为面面平行证明线面平行；会用转化为线线垂直转化为面面垂直证明线面垂直；会求空间的直线所成角，直线与平面所成角，二面角及距离等问题，特别是用三垂线定理及逆定理定义法作二面角平面角并求之；会用直接法转移法等体积法求点面距。1.2.4预计2014年试卷解答题第四题为函数最优化问题或概率统计问题。对于函数问题特别是第二次函数，指数函数，对数函数及（k0），应从定义域，值域，单调性，奇偶性，周期性等五方面掌握函数的性质，会用图象观察法配方法换元法单调性法不等式法判别式法求函数的值域或最值。对于概率统计问题，考查的重点仍可能是离散型随机变量的分布列及数学期望。关于概率与统计，应掌握最基本的几个公式及几种常见题型的解法。1.2.5预计2014年试卷解答题第五题为解析几何问题。主要考查圆锥曲线的方程与几何性质，要求学生会用待定系数法代换化简法定义法转移法参数法设点法求轨迹方法，会通过方程研究曲线的性质，在解题过程中特别要注意计算问题。1.2.6预计2014年试卷解答题第六题为函数与导数问题。主要考查函数的单调性，奇偶性等问题，特别是用导数方法判断函数单调性，求出函数的极值，进而求最值。应强化函数思想的应用意识和数形结合数学思想方法的训练。2. 探讨教学方法提高教学效率数学问题探究是新课改理念倡导的一种重要数学活动。通过对数学问题的探究，可培养学生的观察、联想、类比、探究、计算、创新等方面的能力。数学教学过程通常都是以教师讲解例题，学生完成习题的形式来进行的，因此我们在平时教学活动要注重例课的教学。充分调动学生学习的积极主动性，为学生创设轻松愉快的学习环境，提高数学课堂教学的效率，从而提高学生各方面的能力。本人长期在一线教学，略有感受，现提供一种例题教学模式，供大家参考。2.1 注重例题选材备课时选择例题要恰当，选择例题时首先要针对学生的特点，尊重学生的个性，着眼于加强掌握基础知识，提高数学基本能力；其次要针对目前高考的特点，突出重点，把握难度。2.2 注重例题分析教师讲课时要深入浅出，语言要通俗易懂，多鼓励，少批评，使学生在学习过程中获得成功的喜悦，产生乐学、好学、喜欢数学的欲望。在例题分析时，先观察题目的特点，由概念、法则、定理、策略的接近产生联想；把已解决问题的思路运用到解决新问题的思路上，产生联想；通过抓住问题的有关部分的特征以及它们之间的某种关系产生联想；若正面解决问题有困难时，可从它的反面去联想；数学各分支之间有关联，也可横向联想。总之，我们可从解决问题的知识网络，和解决问题的基本方法或思想方法去联想确定解题思路，从而让学生领会到知识网络化，方法系统化的重要性。下面举例说明：例题：如图，已知四棱锥PABCD，底面ABCD为菱形，PA平面ABCD，ABC60，E、F分别是BC、PC的中点。（1）证明AEPD；（2）若H为PD上的动点，EH与平面PAD所成最大角的正切值为，求二面角EAFC的余弦值。分析：由底面ABCD为菱形且ABC60，可得菱形ABCD为特殊的菱形（由两个正拼成），由此联想到AEBC；由PA平面ABCD，联想到线面垂直的性质；由E、F分别为BC、PC的中点联想到中线，中位线的性质；由结论AEPD，联想到可用平面几何知识或线面垂直的性质或三垂线定理及其逆定理来解决；由结论（II）联想到需将线EH与平面PAD所成角具体化和作出二面角EAFC的平面角或用空间向量去解决。2.3 注重例题解答在例题探索思路确定的情况下，再来考虑书写解答过程。书写解答时，精力要集中，操作要规范，字迹要清秀，计算要准确，力求不涂改，同时注意书写优化过程。下面给出例题的解答过程：（1）由四边形ABCD为菱形，ABC60，可得ABC为正三角形。因为E为BC的中点，所在AEBC。又BC/AD，因此AEAD。因为PA平面ABCD，AE平面ABCD，所以PAAE。而PA平面PAD，AD平面PAD且PAADA，所以AE平面PAD，又PD平面PAD。所在AEPD。（2）设AB2，H为PD上任意一点，连接AH，EH。由（1）知AE平面PAD，则EHA为EH为平面PAD所成的角。在RtEAH中，所以当AH最短时，EHA最大，即当AHPD时，EHA最大。此时，因此又AD2，所以ADH45，所以PA2.解法一 因为PA平面ABCD，PA平面PAC，所以平面PAC平面ABCD。过E作EOAC于O，则EO平面PAC，过O作OSAF于S，连接ES，则ESO为二面角EAFC的平面角，在RtAOE中，,又F是PC的中点，在RtASO中，又，在RtESO中，,即所求二面角的余弦值为。解法二 由（1）知AE，AD，AP两两垂直，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，又E、F分别为BC、PC的中点，所以所以设平面AEF的一法向量为m=(x1, y1, z1)，则因此取z1=1，则m=(0, 2, 1).因为BDAC，BDPA，所以BD平面AFC，故为平面AFC的一法向量。又，所以因为二面角EAFC为锐角，所以所求二面角的余弦值为。2.4 注重例题评点所谓评点，就是对数学探索过程，书写解答过程进行反复深入的思考。我们可从所用基础知识和基本方法去思考，抓住解决问题中的重点，突出解题过程的难点，从中去发现数学的真谛，从而真正地“举一反三”提高解题效率，因此要学好数学就一定要学会评点，一定要养成评点的习惯，这是学好数学的根本。下面来评点例题：现在我们解决立体几何问题时可考虑传统方法和向量方法两种手段；对平面几何知识的应用要熟练；注意求最值方法的应用；求解题要按“作证求”三步来书写；要注意计算准确；要熟知证线的垂直的依据推广到证空间两元素平行或垂直的依据；要掌握求角、求距离的常用方法等等。以上若有不妥，请同仁们批评指正。附件1：三角函数(湖北高考题20102013)1(2010 文16)已知函数.(1)函数的图象可由函数的图象经过怎样变化得出？(2)求函数的最小值，并求使取得最小值的的集合.2(2010 理16)已知函数. (1)求函数的最小正周期； (2)求函数的最大值，并求使取得最大值的的集合.3(2011 文理16)设的内角A，B，C所对的边分别为，已知. (1)求的周长；(2)求的值.4(2012 文18)设函数的图象关于直线对称，其中为常数，且.(1)求函数的最小正周期；(2)若的图象经过点，求函数的值域.5(2012 理17)已知向量，设函数的图象关于直线对称，其中为常数，且.(1)求函数的最小正周期；(2)若的图象经过点，求函数在区间上的取值范围.6(2013 文18理17)在中，角A,B,C对应的边分别是.已知.(1)求角A的大小；(2)若的面积，求的值.附件2：三角函数(2013全国各地高考题)1. (天津，理15)已知函数(1)求的最小正周期； (2)求在区间上的最大值和最小值.2. (天津，文16)在中，内角所对的边分别为，已知 (1)求的值； (2)求的值.3. (广东，文16)已知函数.(1)求的值； (2)若，求4. (广东，理16)已知函数(1)求的值； (2)若，求5. (辽宁，文17理17)设向量(1)若求的值；(2)设函数，求的最大值.6(上海，文21)已知函数其中常数.(1)令，判断函数的奇偶性并说明理由；(2)令，将函数的图像向左平移个单位，再往上平移1个单位，得到函数的图象.对任意的求在区间上零点个数的所有可能值.7.(上海，理21)已知函数其中常数0;(1)若在上单调递增，求的取值范围；(2)令=2，将函数的图像向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数的图像，区间满足：在区间上至少含有30个零点，在所有满足上述条件的中，求的最小值.8. (山东，文18)设函数且的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为.(1)求的值； (2)求在区间上的最大值和最小值.9(山东，理17)设ABC的内角，A，B，C所对的边分别为，且.(1)求的值；(2)求的值.10. (湖南，理17)已知函数(1)若是第一象限角，且求的值;(2)求使成立的的取值集合.11(湖南，文16)已知函数.(1)求的值；(2)求使成立的的取值集合.12(北京，文15) 已知函数(1)求的最小正周期及最大值；(2)若，且，求的值.13(北京，理15)在ABC中，.(1)求的值；(2)求的值.14(陕西，文16理16)已知向量，设函数.(1)求的最小正周期；(2)求在上的最大值和最小值.15. (江苏，文理15)已知向量a=b=(1)若|a-b|=,求证ab；(2)c= (0,1),若a+b=c,求的值.16(江苏，文理18)如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径.一种是从A置沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为.在甲出发后，乙从A乘缆车到B，在B处停留后，再从B匀速步行到C，假设缆车匀速直线运动的速度为，山路AC长为，经测量，.(1)求索道AB的长；(2)问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？(3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？17. (安徽，文16)设函数(1)求的最小值，并求使取得最小值的的集合；(2)不画图，说明函数的图象可由的图象经过怎样的变化得到.18. (安徽，理16)已知函数的最小正周期为.(1)求的值；(2)讨论在区间上的单调性.19(新课标，理17)如图，在中，ABC90，BC1，P为ABC内一点BPC90.(1)若，求PA；(2)若APB150，求.20(新课标，理17)，ABC的内角A、B、C的对边分别为，已知.(1)求B； (2)若，求ABC面积的最大值.21(全国大纲，文18理18)设ABC的内角A、B、C的对边分别为.(1)求B； (2)若，求C.22(江西，理16)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为，已知 .(1)求角B的大小；(2)若，求的取值范围.23(江西，文17)在ABC中，角A，B，C的对边分别为，已知.(1)求证：成等差数列； (2)若，求的值.24(四川，文17)在ABC中，角A，B，C的对边分别为，且. (1)求的值； (2)若，求向量在方向上的投影.25(四川，理17)在ABC中，角A，B，C的对边分别为，且. (1)求的值