中学数学竞赛讲座及练习(第43讲)根与.doc

第四十三讲 根与系数的关系及应用如果一元二次方程ax2bxc=0(a0)的两根为x1，x2，那么 反过来，如果x1，x2满足x1+x2=p，x1x2=q，则x1，x2是一元二次方程x2-px+q=0的两个根一元二次方程的韦达定理，揭示了根与系数的一种必然联系利用这个关系，我们可以解决诸如已知一根求另一根、求根的代数式的值、构造方程、证明等式和不等式等问题，它是中学数学中的一个有用的工具1已知一个根，求另一个根 利用韦达定理，我们可以通过方程的一个根，求出另一个根例1 方程(1998x)2-19971999x-1=0的大根为a，方程x21998x-1999=0的小根为b，求a-b的值解 先求出a，b由观察知，1是方程(1998x)2-19971999x-1=0的根，于是由韦达又从观察知，1也是方程x21998x-1999=0的根，此方程的另一根为-1999，从而b=-1999所以a-b=1-(-1999)=2000例2 设a是给定的非零实数，解方程 解 由观察易知，x1=a是方程的根又原方程等价于 2求根的代数式的值在求根的代数式的值的问题中，要灵活运用乘法公式和代数式的恒等变形技巧例3 已知二次方程x2-3x1=0的两根为，求：(3)33；(4)3-3解 由韦达定理知+=3，=1(3)33=(+)(2-+2)=(+)(+)2-3=3(9-3)=18；(4)3-3=(-)(2+2) =(-)(+)2- 例4 设方程4x2-2x-3=0的两个根是和，求422的值解 因为是方程4x2-2x-3=0的根，所以42-2-30，即42=2342+2=2+3+2=2(+)+3=4例5 已知，分别是方程x2x-1=0的两个根，求25+53的值解 由于，分别是方程x2x-1=0的根，所以2+-1=0，2+-1=0，即 2=1-，2=1-5=(2)2=(1-)2=(2-2+1)=(1-2+1)=-32+2=-3(1-)+2=5-3，3=2=(1-)=-2 =-(1-)=2-1所以25+53=2(5-3)+5(2-1) =10(+)-11=-21说明 此解法的关键在于利用，是方程的根，从而可以把它们的幂指数降次，最后都降到一次，这种方法很重要例6 设一元二次方程ax2bxc=0的两个实根的和为s1，平方和为s2，立方和为s3，求as3bs2cs1的值解 设x1，x2是方程的两个实根，于是 所以 as3bs2cs1=0说明 本题最“自然”的解法是分别用a，b，c来表示s1，s2，s3，然后再求as3bs2cs1的值当然这样做运算量很大，且容易出错下面我们再介绍一种更为“本质”的解法另解 因为x1，x2是方程的两个实根，所以同理将上面两式相加便得as3bs2cs103与两根之比有关的问题例7 如果方程ax2bxc=0(a0)的根之比等于常数k，则系数a，b，c必满足：kb2=(k1)2ac证 设方程的两根为x1，x2，且x1=kx2，由韦达定理由此两式消去x2得即kb2(k1)2ac例8 已知x1，x2是一元二次方程4x2-(3m-5)x-6m20解 首先，=(3m-5)296m20，方程有两个实数根由韦达定理知从上面两式中消去k，便得即 m2-6m+5=0，所以 m1=1，m2=54求作新的二次方程例9 已知方程2x2-9x8=0，求作一个二次方程，使它的一个根为原方程两根和的倒数，另一根为原方程两根差的平方解 设x1，x2为方程2x2-9x8=0的两根，则设所求方程为x2+px+q=0，它的两根为x1，x2，据题意有故所以，求作的方程是36x2-161x34=0例10 设x2-pxq=0的两实数根为，(1)求以3，3为两根的一元二次方程；(2)若以3，3为根的一元二次方程仍是x2-pxq=0，求所有这样的一元二次方程解 (1)由韦达定理知+=p，=q，所以3+3=(+)(+)2-3=p(p2-3q)，33=()3=q3所以，以3，3为两根的一元二次方程为x2-p(p2-3q)x+q3=0(2)由(1)及题设知由得q=0，1若q=0，代入，得p=0，1；若q=-1，代入，以，符合要求的方程为 x2=0，x2-x=0，x2+x=0，x2-1=05证明等式和不等式利用韦达定理可以证明一些等式和不等式，这常常还要用判别式来配合例11 已知实数x，y，z满足x=6-y，z2=xy-9，求证：x=y证 因为xy=6，xy=z29，所以x，y是二次方程t2-6t+(z2+9)=0的两个实根，于是这方程的判别式=36-4(z2+9)=-4z20，即z20因z为实数，显然应有z20要此两式同时成立，只有z=0，从而=0，故上述关于t的二次方程有等根，即x=y例12 若a，b，c都是实数，且abc=0，abc=1，证 由abc=0及abc=1可知，a，b，c中有一个正数、两个负数，不妨设a是正数，由题意得于是根据韦达定理知，b，c是方程的两个根又b，c是实数，因此上述方程的判别式因为a0，所以a3-40，a34， 例13 知x1，x2是方程4ax2-4ax+a+4=0的两个实根解 (1)显然a0，由=16a2-16a(a+4)0，得a0由韦达定理知所以所以a=9，这与a0矛盾故不存在a，使(2)利用韦达定理所以(a+4)|16，即a+4=1，2，4，8，16结合a0，得a=-2，-3，-5，-6，-8，-12，-20练习八1选择：(1)若x0是一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的根，则判别式=b2-4ac与平方式M=(2ax0+b)2的关系是 (A)M (B)=M(C)=M (D)不确定(2)方程x2+px+1997=0恰有两个正整数根x1，x2，则 (A)-4(B)8(C)6 (D)0为 (A)3(B)-11(C)3或-11(D)112填空：(1)如果方程x2+px+q=0的一根为另一根的2倍，那么，p，q满足的关系式是_(2)已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0没有实数根，甲由于看错了二次项系数，误求得两根为2和4，乙由于看错了某一项系数的符号，1993+5a2+9a4=_(4)已知a是方程x2-5x+1=0的一个根，那么a4+