广东省实验中学高三数学第一次阶段考试试题 理（含解析）新人教A版.doc

广东省实验中学2015届高三第一次阶段考试数学（理）试题（解析版）【试卷综析】这套试题基本符合高考复习的特点,稳中有变,变中求新,适当调整了试卷难度,体现了稳中求进的精神.,重视学科基础知识和基本技能的考察,同时侧重考察了学生的学习方法和思维能力的考察,有相当一部分的题目灵活新颖,知识点综合与迁移.一选择题(5*8=40分)1设集合a(x，y)|1，b(x，y)|y3x，则ab的子集的个数是()a4 b3 c2 d1【知识点】交集及其运算；子集与真子集a1 【答案解析】a 解析：集合a(x，y)|1，1为椭圆和指数函数y3x图象，如图，可知其有两个不同交点，记为a1、a2，则ab的子集应为，a1，a2，a1，a2共四种，故选a【思路点拨】由题意集合a(x，y)|1，b(x，y)|y3x，画出a，b集合所表示的图象，看图象的交点，判断ab的子集的个数【题文】2 的值为（ ） a .-2 b .l c. d .1【知识点】对数的运算性质b7 【答案解析】a 解析：=2故选a【思路点拨】利用对数的运算法则进行计算即可先结合对数运算法则：loga（mn）=logam+logan，利用二倍角的正弦公式将两个对数式的和化成一个以2为底的对数的形式，再计算即得.【题文】3已知，则“”是“”的（ ） a充分不必要条件 b必要不充分条件 c充要条件 d既不充分也不必要条件【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断a2 【答案解析】a 解析：x，yr，当时，y=1x，xy=x（1x）=xx2=，充分性成立；当xy时，如x=y=0，x+y=01，必要性不成立；“”是“”的充分不必要条件故选：a【思路点拨】由，推出，判定充分性成立；由，不能得出，判定必要性不成立即可【题文】4已知函数，则有（ ）a函数的图像关于直线对称b函数的图像关关于点对称c函数的最小正周期为d函数在区间内单调递减【知识点】函数y=asin（x+）的图象变换c4 【答案解析】b 解析：=函数f（x）不是轴对称图形，a不正确；函数f（x）的最小正周期为，c不正确；函数在区间不单调，d不正确；函数f（x）的对称中心为（）kz，函数f（x）的图象关关于点对称正确，故选b【思路点拨】分析函数性质，要先利用公式化成正弦型、余弦型或正切型函数的标准形式，然后再研究性质【题文】5已知0abb0)的一个顶点，c1的长轴是圆c2：x2+y2=4的直径l1，l2是过点p且互相垂直的两条直线，其中l1交圆c2于a，b两点，l2交椭圆c1于另一点d（）求椭圆c1的方程；xoybl1l2pda（）求abd面积取最大值时直线l1的方程 【知识点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程h5 h8 【答案解析】（）（）y=x1 解析：（）由题意得： .2椭圆c的方程为： .4 （）设a(x1，y1)，b(x2，y2)，d(x0，y0)由题意知直线l1的斜率存在，不妨设其为k，则直线l1的方程为y=kx1 .5 又圆c2：x2+y2=4，故点o到直线l1的距离d=， 6 所以|ab|=2=27 又l1l2，故直线l2的方程为x+ky+k=0 由 消去y，整理得(4+k2)x2+8kx=0 故x0= 所以|pd|= .10 设abd的面积为s，则s=|ab|pd|=，所以s=， 12当且仅当k=时取等号 .13所以所求直线l1的方程为y=x1 .14【思路点拨】（1）由题意可得b=1，2a=4，即可得到椭圆的方程；（2）设a（x1，y1），b（x2，y2），d（x0，y0）由题意可知：直线l1的斜率存在，设为k，则直线l1的方程为y=kx1利用点到直线的距离公式和弦长公式即可得出圆心o到直线l1的距离和弦长|ab|，又l2l1，可得直线l2的方程为x+kx+k=0，与椭圆的方程联立即可得到点d的横坐标，即可得出|pd|，即可得到三角形abd的面积，利用基本不等式的性质即可得出其最大值，即得到k的值【题文】20.（14分）如图,实线部分的月牙形公园是由圆上的一段优弧和圆上的一段劣弧围成,圆和圆的半径都是，点在圆上，现要在公园内建一块顶点都在圆上的多边形活动场地.（1）如图甲，要建的活动场地为，求活动场地的最大面积；（2）如图乙，要建的活动场地为等腰梯形，求活动场地的最大面积；【知识点】在实际问题中建立三角函数模型b10 【答案解析】（）4(km2)（）场地面积取得最大值为（km2）解析：（）过作于， 由题意，在月牙形公园里，与圆只能相切或相离；左边的部分是一个大小不超过半圆的弓形，则有，当且仅当切圆于时，上面两个不等式中等号同时成立。 （4分）此时，场地面积的最大值为(km2) （5分）（）左边的部分是一个大小不超过半圆的弓形，以为直径向左边作半圆，此半圆包含弓形，半圆的内接等腰梯形的面积的最大值不小于弓形内接等腰梯形的面积的最大值，要求场地面积的最大值，只需考虑切圆于时的情形， （7分） 设，则有 （10分）令y=sin+sincos，则y=cos+coscos+sin（sin）=2cos2+cos1（11分）若y=0，又时，y0，时，y0，（14分）函数y=sin+sincos在处取到极大值也是最大值，故时，场地面积取得最大值为（km2） 【思路点拨】（）先过s作shrt于h，则有：srst=，由题意知：rst在月牙形公园里，rt与圆q只能相切或相离，rt左边的部分是一个大小不超过半圆的弓形，建立不等关系：rt4，sh2，当且仅当rt切圆q于p时（如下左图），上面两个不等式中等号同时成立从而得出场地面积的最大值即可；（）同（）的分析，要使得场地面积最大，ad左边的部分是一个大小不超过半圆的弓形，ad必须切圆q于p，再设bpa=，写出等腰梯形abcd面积的表达式，再利用导数求得其极大值也是最大值即可【题文】21（14分）已知，函数，其中 （）当时，求的最小值； （）在函数的图像上取点 ，记线段pnpn+1的斜率为kn ，对任意正整数n，试证明：（）； （）【知识点】利用导数研究函数的单调性b12 【答案解析】（）0；（）见解析 解析：（）时， ，求导可得 3分 所以，在单调递增，故的最小值是5分（）依题意， 6分（）由（）可知，若取，则当