《高考调研》高三数学第一轮复习 第十二章《概率和统计》课件125 选修2.ppt

1 期望的概念及性质 1 若离散型随机变量 的概率分布为p xi pi i 1 2 的数学期望e 2 若 a b 其中a b是常数e a b 3 若 b n p 则e x1p1 x2p2 xnpn ae b np 2 方差的概念 1 方差 把d x1 e 2 p1 x2 e 2 p2 xn e 2 pn 叫做随机变量 的 标准差是 2 若 b n p 那么d 3 方差的性质 1 c为常数 d c 2 a b为常数 则d a b 3 e 2 e 2 方差 np 1 p 0 a2d d 1 2010 新课标全国卷 某种种子每粒发芽的概率都为0 9 现播种了1000粒 对于没有发芽的种子 每粒需再补种2粒 补种的种子数记为x 则x的数学期望为 a 100b 200c 300d 400答案b解析记 不发芽的种子数为 则 b 1000 0 1 所以e 1000 0 1 100 而x 2 故ex e 2 2e 200 故选b 2 2010 济南 已知5件产品中有3件正品 2件次品 从中随机抽取2件进行检验 设其中有 件正品 则随机变量 的期望为 a 1 2b 2c 1d 1 4答案a 3 2011 东北四市联考 在相同条件下对自行车运动员甲 乙两人进行了6次测试 测得他们的最大速度 单位 m s 的数据如下 试问 选 填甲或乙 参加某项重大比赛更合适 答案乙 点评均值 方差是统计学的两个基本概念 高考常以小题形式出现 牢记并熟练运用公式是解题的关键 4 2010 湖北卷 理 某射手射击所得球数 的分布列如下 已知 的期望e 8 9 则y的值为 答案0 4 5 09 广东 已知离散型随机变量x的分布列如下表 若ex 0 dx 1 则a b 题型一期望 方差例1 2010 重庆卷 理 在甲 乙等6个单位参加的一次 唱读讲传 演出活动中 每个单位的节目集中安排在一起 若采用抽签的方式随机确定各单位的演出顺序 序号为1 2 6 求 1 甲 乙两单位的演出序号至少有一个为奇数的概率 2 甲 乙两单位之间的演出单位个数 的分布列与期望 探究1求离散型随机变量的期望 一般分为两个步骤 1 列出离散型随机变量的分布列 2 利用公式e x1p1 x2p2 xnpn 求出期望 思考题1 2011 郑州 从某批产品中 有放回地抽取产品2次 每次随机抽取1件 假设事件a 取出的2件产品中至多有1件是二等品 的概率p a 0 96 求从该批产品中任取1件是二等品的概率p 若该批产品共100件 从中一次性任意抽取2件 用 表示取出的2件产品中的二等品的件数 求 的分布列及期望 解析 记a0表示事件 取出的2件产品中无二等品 a1表示事件 取出的2件产品中恰有1件是二等品 则a0 a1互斥 且a a0 a1 故p a p a0 a1 p a0 p a1 1 p 2 c21p 1 p 1 p2 由题意 知1 p2 0 96 又p 0 故p 0 2 例2每人在一轮投篮练习中最多可投篮4次 现规定一旦命中即停止该轮练习 否则一直试投到4次为止 已知一选手的投篮命中率为0 7 求一轮练习中该选手的实际投篮次数 的分布列 并求出 的期望e 与方差d 保留3位有效数字 解析 的取值为1 2 3 4 若 1 表示第一次即投中 故p 1 0 7 若 2 表示第一次未投中 第二次投中 故p 2 1 0 7 0 7 0 21 若 3 表示第一 二次未投中 第三次投中 故p 3 1 0 7 2 0 7 若 4 表示前三次未投中 故p 4 1 0 7 3 0 027 因此 的分布列为 e 1 0 7 2 0 21 3 0 063 4 0 027 1 417 d 1 1 417 2 0 7 2 1 417 2 0 21 3 1 417 2 0 063 4 1 417 2 0 027 0 513 探究2理解题意的关键是 投篮规则的确定 重点突出 一旦命中即停止该轮练习 只要前三次未中必投第4次 第4次中与不中即停止 思考题2一次数学测验由25道选择题构成 每一个选择题有4个选项 其中有且仅有一个选项正确 每个选择正确答案得4分 不作出选择或选错的不得分 满分100分 某学生选对任一题的概率为0 8 求此学生在这一次测验中的成绩的期望与方差 解析 选项的题数 满足二项分布即 b 25 0 8 e 25 0 8 20d 25 0 8 0 2 4 此学生的成绩为随机变量设为 则 4 e 4e 80d 16d 64 此学生成绩的期望为80 方差为64 题型二期望 方差的性质 探究3 是随机变量 则 f 一般仍是随机变量 在求 的期望和方差时 熟练应用期望和方差的性质 可以避免再求 的分布列带来的繁琐运算 3 设x为该生选对试题个数 y为成绩 则x b 50 0 7 y 3x ex 50 0 7 35 dx 50 0 7 0 3 10 5 故ey e 3x 3ex 105 dy d 3x 9dx 94 5 题型三期望 方差的应用例4因冰雪灾害 某柑橘基地果林严重受损 为此有关专家提出两种拯救果树的方案 每种方案都需分两年实施 若实施方案一 预计第一年可以使柑橘产量恢复到灾前的1 0倍 0 9倍 0 8倍的概率分别是0 3 0 3 0 4 第二年可以使柑橘产量为第一年产量的1 25倍 1 0倍的概率分别是0 5 0 5 若实施方案二 预计第一年可以使柑橘产量达到灾前的1 2倍 1 0倍 0 8倍的概率分别是0 2 0 3 0 5 第二年可以使柑橘产量为第一年产量的1 2倍 1 0倍的概率分别是0 4 0 6 实施每种方案第一年与第二年相互独立 令 i i 1 2 表示方案i实施两年后柑橘产量达到灾前产量的倍数 1 写出 1 2的分布列 2 实施哪种方案 两年后柑橘产量超过灾前产量的概率更大 3 不管哪种方案 如果实施两年后柑橘产量达不到 恰好达到 超过灾前产量 预计利润分别为10万元 15万元 20万元 问实施哪种方案的平均利润更大 解析 1 1的所有取值为0 8 0 9 1 0 1 125 1 25 2的所有取值为0 8 0 96 1 0 1 2 1 44 1 2的分布列分别为 2 令a b分别表示实施方案一 方案二两年后柑橘产量超过灾前产量这一事件 p a 0 15 0 15 0 3 p b 0 24 0 08 0 32 可见 实施方案二两年后柑橘产量超过灾前产量的概率更大 3 令 i表示方案i的预计利润 则 所以e 1 14 75 e 2 14 1可见 方案一的预计利润更大 探究4从近年来全国各地有关概率的高考试题来看 命题的背景通常与实际生活密切相关 因此考生在复习过程中应适当关心身边所发生的一些事件 这些事件极有可能成为高考概率问题的命题背景 思考题4某鲜花店每天以每束2 5元的价格购入新鲜玫瑰花 并以每束5元的价格销售 店主根据以往的销售统计得到每天能以此价格售出的玫瑰花数 的分布列如下表所示 若某天所购入的玫瑰花未售完 则当天未售出的玫瑰花将以每束1 5元的价格降价处理完毕 1 若某天店主购入玫瑰花40束 试求该天从玫瑰花销售中所获利润的期望 2 每天玫瑰花的进货量x 30 x 50 单位 束 为多少时 店主有望从玫瑰花销售中获取最大利润 则当30 x 50时 e 递增 所以当x 50时 e 的最大值为90 即店主有望从玫瑰花销售中获取最大利润90元 1 离散型随机变量的数学期望与方差是对随机变量的简明的描写 期望表示在随机试验中随机变量取得的平均值 方差表示随机变量所取的值相对于它的期望值的集中与离散程度 即取值的稳定性 把握离散型随机变量的数学期望与方差的含义 是处理有关应用题的重要环节 2 期望与方差的常用性质 掌握下述有关性质 会给解题带来方便 1 e a b ae b e e e d a b a2d 2 若 b n p 则e np d np 1 p 答案a 2 某人从家乘车到单位 途中有3个交通岗亭 假设在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的 且概率都是0 4 则此人上班途中遇红灯的次数的期望为 a 0 4b 1 2c 0 43d 0 6答案b解析 途中遇红灯的次数x服从二项分布 即x b 3 0 4 ex 3 0 4 1 2 答案c 4 09 浙江 在1 2 3 9这9个自然数中 任取3个数 1 求这3个数中恰有1个是偶数的概率 2 记 为这3个数中两数相邻的组数 例如 若取出的数为1 2 3 则有两组相邻的数1 2和2 3 此时 的值是2 求随机变量 的分布列及其数学期望e 5 2010 湖南卷 理 下图是某城市通过抽样得到的居民某年的月均用水量 单位 吨 的频率分布直方图 1 求直方图中x的值 2 若将频率视为概率 从这个城市随机抽取3位居民 看作有放回的抽样 求月均用水量在3至4吨的居民数x的分布列和数学期望 解析 1 依题意及