广东省湛江一中高三数学上学期8月月考试卷 文（含解析）.doc

广东省湛江一中2015届高三上学期8月月 考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）若集合a=0，1，2，4，b=1，2，3，则ab=（）a0，1，2，3，4b0，4c1，2d32（5分）已知复数z=，则z的实部为（）a1b2c2d13（5分）已知角的终边经过点（4，3），则cos=（）abcd4（5分）下列函数中，既是偶函数又在区间（，0）上单调递增的是（）af（x）=bf（x）=x2+1cf（x）=x3df（x）=2x5（5分）sin300=（）abcd6（5分）下列有关命题的说法错误的是（）a命题“若x23x+2=0则x=1”的逆否命题为：“若x1，则x23x+20”b“x=1”是“x23x+2=0”的充分不必要条件c若pq为假命题，则p、q均为假命题d对于命题p：xr，使得x2+x+10则p：xr，均有x2+x+107（5分）函数f（x）=12xx3在区间3，3上的最小值是（）a9b16c12d118（5分）函数f（x）=的单调递减区间是（）ae，+）b1，+）c（0，ed（0，1）9（5分）函数y=xcosx的部分图象是（）abcd10（5分）定义在r上的函数f（x）满足：f（x）f（x）恒成立，若x1x2，则f（x2）与ef（x1）的大小关系为（）af（x2）ef（x1）bf（x2）ef（x1）cf（x2）=ef（x1）df（x2）与ef（x1）的大小关系不确定二、填空题(一）必做题：本大题共3小题，每小题5分，满分15分11（5分）曲线y=x32x+4在点（1，3）处的切线方程12（5分）已知函数f（x）=x2+blnx在区间，+）上是减函数，则b的取值范围是13（5分）如图所示是函数y=2sin（x+）（|，0）的一段图象，则=(二)选做题（考生只能做第14题，2题全答的，只计算第14题的得分）【几何证明选讲选做题】14（5分）如图，ac为o的直径，obac，弦bn交ac于点m若oc=，om=1，则mn的长为【坐标系与参数方程选讲选做题】15若点p（x，y）在曲线（为参数，r）上，则的取值范围是三、解答题：本大题共6小题，共80分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16（12分）已知（，），sin=（1）求cos（+）的值；（2）求sin（+2）的值17（12分）某中学2015届高三年级从甲、乙两个班级各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图，其中甲班学生的平均分是85，乙班学生成绩的中位数是83（1）求x和y的值；（2）计算甲班7位学生成绩的方差s2；（3）从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，求甲班至少有一名学生的概率18（14分）设f（x）=loga（1+x）+loga（3x）（a0，a1），且f（1）=2（1）求a的值及f（x）的定义域（2）求f（x）在区间0，上的值域19（14分）将函数y=3sin（2x+），|的图象向左平移个得到偶函数y=f（x）的图象（1）求y=f（x）解析式；（2）求y=f（x）的最大值及单调增区间20（14分）已知函数f（x）=lnx+ax23x，且在x=1时函数f（x）取得极值（）求a的值及f（x）的极值；（）若g（x）=x22x1（x0），证明：当x1时，g（x）的图象恒在f（x）的上方21（14分）已知函数f（x）=x2x+2alnx（1）求f（x）的单调区间；（2）0a时，判断方程：f（x）=（a+1）x根的个数并说明理由；（3）f（x）有两个极值点x1，x2且x1x2，证明：f（x2）广东省湛江一中2015届高三上学期8月月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）若集合a=0，1，2，4，b=1，2，3，则ab=（）a0，1，2，3，4b0，4c1，2d3考点：交集及其运算 专题：集合分析：直接利用交集的运算得答案解答：解：a=0，1，2，4，b=1，2，3，ab=0，1，2，41，2，3=1，2故选：c点评：本题考查交集及其运算，是基础题2（5分）已知复数z=，则z的实部为（）a1b2c2d1考点：复数代数形式的乘除运算 专题：数系的扩充和复数分析：利用复数的运算法则、实部的定义即可得出解答：解：复数z=1+2i，则z的实部为1故选：d点评：本题考查了复数的运算法则、实部的定义，属于基础题3（5分）已知角的终边经过点（4，3），则cos=（）abcd考点：任意角的三角函数的定义 专题：三角函数的求值分析：由条件直接利用任意角的三角函数的定义求得cos的值解答：解：角的终边经过点（4，3），x=4，y=3，r=5cos=，故选：d点评：本题主要考查任意角的三角函数的定义，两点间的距离公式的应用，属于基础题4（5分）下列函数中，既是偶函数又在区间（，0）上单调递增的是（）af（x）=bf（x）=x2+1cf（x）=x3df（x）=2x考点：函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明 专题：函数的性质及应用分析：利用函数函数的奇偶性和单调性即可判断出解答：解：只有函数f（x）=，f（x）=x2+1是偶函数，而函数f（x）=x3是奇函数，f（x）=2x不具有奇偶性而函数f（x）=，f（x）=x2+1中，只有函数f（x）=在区间（，0）上单调递增的综上可知：只有a正确故选：a点评：本题考查了函数函数的奇偶性和单调性，属于基础题5（5分）sin300=（）abcd考点：诱导公式的作用 专题：计算题分析：直接根据诱导公式转化求解计算即可解答：解：sin300=sin（60+360）=sin（60）=sin 60=故选a点评：本题考查诱导公式的应用：求值此类题一般依照“负角化正角，大角化小角”的顺序进行角的转化6（5分）下列有关命题的说法错误的是（）a命题“若x23x+2=0则x=1”的逆否命题为：“若x1，则x23x+20”b“x=1”是“x23x+2=0”的充分不必要条件c若pq为假命题，则p、q均为假命题d对于命题p：xr，使得x2+x+10则p：xr，均有x2+x+10考点：命题的真假判断与应用；四种命题间的逆否关系；必要条件、充分条件与充要条件的判断 专题：综合题分析：根据四种命题的定义，我们可以判断a的真假；根据充要条件的定义，我们可以判断b的真假；根据复合命题的真值表，我们可以判断c的真假；根据特称命题的否定方法，我们可以判断d的真假，进而得到答案解答：解：命题“若x23x+2=0则x=1”的逆否命题为：“若x1，则x23x+20”故a为真命题；“x=1”是“x23x+2=0”的充分不必要条件故b为真命题；若pq为假命题，则p、q存在至少一个假命题，但p、q不一定均为假命题，故c为假命题；命题p：xr，使得x2+x+10则非p：xr，均有x2+x+10，故d为真命题；故选c点评：本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，四种命题间的逆否关系，充要条件，是对简单逻辑综合的考查，属于简单题型7（5分）函数f（x）=12xx3在区间3，3上的最小值是（）a9b16c12d11考点：利用导数求闭区间上函数的最值 专题：导数的概念及应用分析：由已知得f（x）=123x2，由f（x）=0，得x=2，或x=2，由此利用导数性质能求出函数f（x）=12xx3在区间3，3上的最小值解答：解：f（x）=12xx3，f（x）=123x2，由f（x）=0，得x=2，或x=2，f（3）=9，f（2）=16，f（2）=16，f（3）=9，函数f（x）=12xx3在区间3，3上的最小值是：f（2）=16故选：b点评：本题考查函数在闭区间上最小值的求法，是中档题，解题时要注意导数性质的合理运用8（ 5分）函数f（x）=的单调递减区间是（）ae，+）b1，+）c（0，ed（0，1）考点：利用导数研究函数的单调性 专题：导数的概念及应用分析：在定义域内解不等式f（x）0即可解答：解：函数f（x）的定义域为（0，+）f（x）=，令f（x）=0解得xe，函数f（x）的单调减区间为e，+）故选：a点评：本题考查了利用导数求函数的单调区间问题，要注意考虑函数的定义域9（5分）函数y=xcosx的部分图象是（）abcd考点：函数的图象；奇偶函数图象的对称性；余弦函数的图象 专题：数形结合分析：由函数的表达式可以看出，函数是一个奇函数，因只用这一个特征不能确定那一个选项，故可以再引入特殊值来进行鉴别解答：解：设y=f（x），则f（x）=xcosx=f（x），f（x）为奇函数；又时f（x）0，此时图象应在x轴的下方故应选d点评：本题考查函数的图象，选择图象的依据是根据函数的性质与函数本身的局部特征10（5分）定义在r上的函数f（x）满足：f（x）f（x）恒成立，若x1x2，则f（x2）与ef（x1）的大小关系为（）af（x2）ef（x1）bf（x2）ef（x1）cf（x2）=ef（x1）df（x2）与ef（x1）的大小关系不确定考点：指数函数的单调性与特殊点；利用导数研究函数的单调性 专题：导数的综合应用分析：构造函数g（x）=，利用导数研究函数的单调性即可得到结论解答：解：构造函数g（x）=，则，函数g（x）单调递增，若x1x2，g（x1）g（x2），即，f（x2）ef（x1），故选：a点评：本题主要考查函数值的大小比较，根据条件构造函数，利用导数研究函数的单调性是解决本题的关键二、填空题(一）必做题：本大题共3小题，每小题5分，满分15分11（5分）曲线y=x32x+4在点（1，3）处的切线方程xy+2=0考点：利用导数研究曲线上某点切线方程 专题：计算题；导数的概念及应用分析：先求导函数，然后将点的坐标代入，求出切线斜率，即可求得曲线y=x32x+4在点（1，3）处的切线方程解答：解：y=x32x+4的导数为：y=3x22，将点（1，3）的坐标代入，即可得斜率为：k=1，曲线y=x32x+4在点（1，3）处的切线方程为y3=x1，即xy+2=0故答案为：xy+2=0点评：本题考查了导数的几何意义，它把函数的导数与曲线的切线联系在一起，使导数成为函数知识与解析几何知识交汇的一个重要载体，属于基础题12（5分）已知函数f（x）=x2+blnx在区间，+）上是减函数，则b的取值范围是（，2考点：函数单调性的性质 专题：函数的性质及应用；导数的概念及应用分析：由f（x）=x+=，当b0时，在区间，+）上f（x）0恒成立，此时函数f（x）=x2+blnx在区间，+）上是减函数，满足条件；当b0时，在区间，+）上f（x）0恒成立，由函数f（x）=x2+blnx在区间，+）上是减函数，可得：，最后综合讨论结果，可得满足条件的b的取值范围解答：解：函数f（x）=x2+blnx，f（x）=x+=，当b0时，在区间，+）上f（x）0恒成立，此时函数f（x）=x2+blnx在区间，+）上是减函数，满足条件；当b0时，在区间，+）上f（x）0恒成立，由函数f（x）=x2+blnx在区间，+）上是减函数，可得：，即0b2，综上所述b2，即b的取值范围是（，2，故答案为：（，2点评：本题考查的知识点是函数单调性的性质，是导数法研究函数单调性的简单应用，难度不大，属于基础题13（5分）如图所示是函数y=2sin（x+）（|，0）的一段图象，则=2=考点：由y=asin（x+）的部分图象确定其解析式 专题：三角函数的图像与性质分析：由图象得到函数周期，利用周期公式求得；由五点作图的第一点求得的值解答：解：由图可知，t=；由五点作图第一点知，2=0，得=故答案为：2，点评：本题考查了由y=asin（x+）的部分图象求解函数解析式，关键是掌握由五点作图的某一点求，是基础题(二)选做题（考生只能做第14题，2题全答的，只计算第14题的得分）【几何证明选讲选做题】14（5分）如图，ac为o的直径，obac，弦bn交ac于点m若oc=，om=1，则mn的长为1考点：与圆有关的比例线段 专题：2015届高考数学专题分析：本题重点考查与圆有关的比例线段问题，重点应用相交弦定理，勾股定理等知识解答：解：已知ac为o的直径，obac，弦bn交ac于点m若oc=，om=1，则ob=，在obm中利用勾股定理：bm2=ob2+om2 解得：bm=2进一步求得：cm=1+，am=1利用相交弦定理：bmmn=cmam即2mn=（+1）（1）解得：mn=1点评：本题应用到与原有关的比例线段知识，解题时应用到相交弦定理和勾股定理【坐标系与参数方程选讲选做题】15若点p（x，y）在曲线（为参数，r）上，则的取值范围是考点：参数方程化成普通方程；直线与圆的位置关系 专题：坐标系和参数方程分析：由（为参数，r）可得：k=因此k可以看作p（2，0）与圆：x2+y2=1上的点的连线的直线的斜率的取值范围利用点到直线的距离公式即可得出解答：解：由（为参数，r）可得：k=因此k可以看作p（2，0）与圆：x2+y2=1上的点的连线的直线的斜率的取值范围设过点p的直线方程为：y=k（x2），化为kxy2k=0，1，解得解得的取值范围是故答案为：点评：本题考查了圆的参数方程、斜率计算公式、直线与圆的位置关系，考查了推理能力和计算能力，属于中档题三、解答题：本大题共6小题，共80分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16（12分）已知（，），sin=（1）求cos（+）的值；（2）求sin（+2）的值考点：两角和与差的正弦函数；两角和与差的余弦函数 专题：三角函数的图像与性质分析：（1）先利用的范围和sin的值，求得cos再利用余弦的两角和公式求得答案（2）利用二倍角公式分别求得sin2和cos2的值，进而利用两角和与差的正弦函数求得sin（+2）的值解答：解：（，），sin=，cos=，（1）cos（+）=coscossinsin=（）=（2）sin2=2sincos=，cos2=2cos21=，sin（+2）=sincos2+cossin2=+=点评：本题主要考查了两角和与差的正弦函数和余弦函数公式的应用考查了学生基础公式的记忆和运算能力17（12分）某中学2015届高三年级从甲、乙两个班级各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图，其中甲班学生的平均分是85，乙班学生成绩的中位数是83（1）求x和y的值；（2）计算甲班7位学生成绩的方差s2；（3）从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，求甲班至少有一名学生的概率考点：古典概型及其概率计算公式；茎叶图；极差、方差与标准差 专题：概率与统计分析：（1）利用平均数求出x的值，中位数求出y的值，解答即可（2）根据所给的茎叶图，得出甲班7位学生成绩，做出这7次成绩的平均数，把7次成绩和平均数代入方差的计算公式，求出这组数据的方差（3）设甲班至少有一名学生为事件a，其对立事件为从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，甲班没有一名学生；先计算出从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生的所有抽取方法总数，和没有甲班一名学生的方法数目，先求出从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，甲班没有一名学生的概率，进而结合对立事件的概率性质求得答案解答：解：（1）甲班学生的平均分是85，x=5，乙班学生成绩的中位数是83，y=3；（2）甲班7位学生成绩的方差为s2=40；（3）甲班成绩在90分以上的学生有两名，分别记为a，b，乙班成绩在90分以上的学生有三名，分别记为c，d，e，从这五名学生任意抽取两名学生共有10种情况：（a，b），（a，c），（a，d），（a，e），（b，c），（b，d），（b，e），（c，d），（c，e），（d，e）其中甲班至少有一名学生共有7种情况：（a，b），（a，c），（a，d），（a，e），（b，c），（b，d），（b，e）记“从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，甲班至少有一名学生”为事件m，则答：从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，甲校至少有一名学生的概率为点评：本小题主要考查茎叶图、样本均值、样本方差、概率等知识，考查或然与必然的数学思想方法，以及数据处理能力、运算求解能力和应用意识18（14分）设f（x）=loga（1+x）+loga（3x）（a0，a1），且f（1）=2（1）求a的值及f（x）的定义域（2）求f（x）在区间0，上的值域考点：对数函数的值域与最值；函数的定义域及其求法；函数的值域；对数函数的定义域 专题：函数的性质及应用分析：（1）由f（1）=2求得a的值，由对数的真数大于0求得f（x）的定义域；（2）判定f（x）在（1，3）上的增减性，求出f（x）在0，上的最值，即得值域解答：解：（1）f（x）=loga（1+x）+loga（3x），f（1）=loga2+loga2=loga4=2，a=2；又，x（1，3），f（x）的定义域为（1，3）（2）f（x）=log2（1+x）+log2（3x）=log2（1+x）（3x）=log2（x1）2+4，当x（1，1时，f（x）是增函数；当x（1，3）时，f（x）是减函数，f（x）在0，上的最大值是f（1）=log24=2；又f（0）=log23，f（）=log2=2+log215，f（0）f（）；f（x）在0，上的最小值是f（0）=log23；f（x）在区间0，上的值域是log23，2点评：本题考查了求函数的定义域和值域的问题，利用对数函数的真数大于0可求得定义域，利用函数的单调性可求得值域19（14分）将函数y=3sin（2x+），|的图象向左平移个得到偶函数y=f（x）的图象（1）求y=f（x）解析式；（2）求y=f（x）的最大值及单调增区间考点：函数y=asin（x+）的图象变换；正弦函数的图象 专题：三角函数的图像与性质分析：（1）由条件利用函数y=asin（x+）的图象变换规律、诱导公式求得f（x）=3cos2x（2）（2）由f（x）的解析式，可得它的最大值，令2k2x2k，kz，求得x的范围，可得函数的增区间解答：解：（1）将函数y=3sin（2x+），|的图象向左平移个得到函数y=3sin2（x+）+）的图象，故偶函数y=f（x）=3sin（2x+），+=k+，kz，=，f（x）=3sin（2x+）=3cos2x（2）由f（x）=3cos2x，可得它的最大值为3，令2k2x2k，kz，求得 kxk，故函数f（x）的增区间为k，k，kz点评：本题主要考查诱导公式的应用，函数y=asin（x+）的图象变换规律，余弦函数的单调性，属于基础题20（14分）已知函数f（x）=lnx+ax23x，且在x=1时函数f（x）取得极值（）求a的值及f（x）的极值；（）若g（x）=x22x1（x0），证明：当x1时，g（x）的图象恒在f（x）的上方考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的极值 专题：综合题；导数的综合应用分析：（i）先求函数的定义域，然后根据在x=1时函数f（x）取得极值求出a的值，最后根据f（x）0可求出函数的减区间，f（x）0可求出函数的增区间；（ii）设f（x）=f（x）g（x），利用导数研究函数f（x）的最大值，从而可判定f（x）的符号，即可证得g（x）的图象恒在f（x）图象的上方解答：解：（i）由题可知，函数的定义域为x|x0，f（x）=+2ax3=，x=1处函数f（x）取得极值f（1）=0，即2a3+1=0，解得a=1即f（x）=当x（0，）时，f（x）0，当x（，1）时，f（x）0，当x（1，+）时，f（x）0函数f（x）的单调增区间为（0，），（1，+），函数f（x）的单调减区间为（，1）（ii）证明：设f（x）=f（x）g（x）=lnxx+1，f（x）=当x（0，1）时，f（x）0，当x（1，+）时，f（x）0f（x）f（1）=0即f（x）g（x）恒成立，从而g（x）的图象恒在f（x）图象的上方点评：本题主要考查了函数的单调性和恒成立问题以及不等式的证明，同时考查了计算能力，属于中档题21（14分）已知函数f（x）=x2x+2alnx（1）求f（x）的单调区间；（2）0a时，判断方程：f（x）=（a+1）x根的个数并说明理由；（3）f（x）有两个极值点x1，x2且x1x2，证明：f（x2）考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值 专题：导数的概念及应用；导数的综合应用分析：（1）函数f（x）=x2x+2alnx的定义域为（0，+），且f（x）=x1+=，当=18a0，即a时，f（x）0恒成立，当=18a0，且0a，x（0，）（，+）时，f（x）0，x（，）时，f（x）0，当a0，x（，+）时，f（x）0，x（0，）时，f（x）0，进而根据函数单调性与导函数符号的关系，可得到f（x）的