《随堂优化训练》高中数学 第三章 3.3 3.3.2 简单的线性规划问题（1）配套课件 新人教A版必修5.ppt

3 3 2 简单的线性规划问题 一 的值 使z x 3y取到最大值或最小值 其中 为线 性目标函数 z x 3y x y 1时 目标函数z 2x y取最大值2 故是这个 2 满足线性约束条件的解 x y 叫做 由所有可行解组成的集合叫做 其中 使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做这个问题的 3 已知实数x满足 求2x y的最大值 这个问题就是 满足不等式组的解 x y 叫做 如 是一组可行解 由所有可行解组成的集合即不等式 组所表示的平面区域 如图1中阴影部分 是 易知 当 规划问题的 可行解 可行域 最优解 线性规划问题 解 可行 可行域 最优解 图1 a 重点 线性规划有关概念的理解 1 可行域是约束条件对应的二元一次不等式组表示的平面区域 或其内部的一些点 可以是封闭的多边形 也可以是一侧开放的无穷的的平面区域 2 在线性约束条件下 最优解不一定是唯一的 可能有一个或多个 当线性目标函数的直线与可行域的某条边平行时 最优解可能有无数个 在线性目标函数z x y中 目标函数z的最大值对应于截距的最小值 z的最小值对应于截距的最大值 难点 最优解的确定 最优解的确定常用两种方法 将目标函数的直线平行移动 通过可行域的顶点且使目标函数的直线截距最大或最小便是最优解 利用围成可行域的直线的斜率来判断 若围成可行域的直线l1 l2 ln的斜率分别为k1 k2 kn 且k1 k2 kn 而且目标函数的直线的斜率为k 则当ki k ki 1 1 i n 1 时 直线li与li 1的交点一般是最优解 线性目标函数的最值 最大值和最小值 思维突破 把z看成直线在y轴上的截距 先画出可行域 再求z的最值 作出不等式组所表示的可行域如图2 图2 正确作出可行域后 将目标函数变为直线方程的斜截式的形式 应注意该直线在y轴上的截距与目标函数z取值的关系 再注意该直线的斜率与可行域边界直线的斜率关系 以便准确找到最优解 x y的最小值 1 2 2010年天津 设变量x y满足约束条件 则目标函数z 4x 2y的最大值为 b a 12 b 10 c 8 d 2 解析 本题主要考查目标函数最值的求法 属于容易题 做出可行域 如图14 当目标函数过直线y 1与x y 3的交点 2 1 时z取得最大值10 图14 线性规划的逆向性问题 例2 已知实数x y满足z x y的最小值为 1 则实数m等于 如果目标函数 a 7 b 5 c 4 d 3 思维突破 画出x y满足的可行域 可得直线y 2x 1与直线x y m的交点使目标函数z x y取得最小值 故 答案 b 2 1 已知以x y为自变量的目标函数 kx y k 0 的可行域 如图3的阴影部分 含边界 若使 取最大值时的最优解 有无穷多个 则k的值为 a 图3 a 1 b 32 c 2 d 23 线性规划的间接应用 例3 设二元一次不等式组 所表示的平 面区域为m 使函数y ax a 0 a 1 的图象过区域m的a的 取值范围是 思维突破 本题考查线性规划与指数函数 如图4中的阴影部分为平面区域m 显然 只需研究过 1 9 3 8 两种情形 a1 9且a3 8即2 a 9 图4 答案 c 3 1 若实数x y满足 则z 3x 2y 的最小 值是 b a 0 b 1 c d 9 错因剖析 直线在y轴上的截距与目标函数z 3x 2y取值的关系上出错 直线ax by 0往右 或往左 平移时 z随之增大 或减小 只有当a 0时 才能成立 因为当a 0时 直 减小 故z ax by也随之增大 或减小 当a 0时 可利用换元将a变为大于0 图5 正解 作出约束条件表示的可行域 如图5中的阴影部分 则 a 10 4 b 3 6 令p 3x 2y 作直线l 3x 2y 0 当l右移过点b 3 6 时 pmin 21 当l继续右移过点a 10 4 时 pmax 38 又z p 故zmax 21 zmin 38 所表示的平面区域的面积