高考数学一轮复习 7.5 直线、平面垂直的判定及其性质精品课件 理 新人教A版.ppt

第五节直线 平面垂直的判定及其性质 1 以立体几何的定义 公理和定理为出发点 认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理 2 能运用公理 定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题 1 直线与平面垂直 1 判定直线和平面垂直的方法 定义法 利用判定定理 一条直线和一个平面内的两条直线都垂直 则该直线和此平面垂直 相交 2 直线和平面垂直的性质 直线垂直于平面 则垂直于平面内直线 垂直于同一直线的两平面2 斜线和平面所成的角斜线和所成的锐角 任意 平行 它在平面内的射影 3 平面与平面垂直 1 平面与平面垂直的判定方法 定义法 利用判定定理 一个平面过另一个平面的 则这两个平面垂直 2 平面与平面垂直的性质两平面垂直 则一个平面内垂直于的直线垂直于另一个平面 一条垂线 交线 4 二面角的平面角从二面角的棱上一点 在两个半平面内分别作与棱的射线 则两射线所成的角叫做二面角的平面角 垂直 1 设l m n均为直线 其中m n在平面 内 则 l 是 l m且l n 的 a 充分不必要条件b 必要不充分条件c 充要条件d 既不充分也不必要条件 解析 当l 时 l m且l n 但当l m l n时 若m n不是相交直线 则得不到l 答案 a 2 已知两条直线m n 两个平面 给出下面四个命题 m n m n m n m n m n m n m n m n 其中正确命题的序号是 a b c d 解析 由线面垂直的性质知 正确 由面面平行的定义知 m n可能平行 也可能异面 所以 错误 对于 中n 也可能n 正确 答案 d 3 设平面 且 l 直线a 直线b 且a不与l垂直 b不与l垂直 则a与b a 可能垂直 不可能平行b 可能平行 不可能垂直c 可能垂直 也可能平行d 不可能垂直 也不可能平行 解析 当a l b l时 a b 假设a b 如右图 过a上一点作c l 则c b c b b l 与已知矛盾 答案 b 4 三棱锥p abc的顶点p在底面的射影为o 若pa pb pc 则点o为 abc的 心 若pa pb pc两两垂直 则o为 abc的 心 解析 当pa pb pc时 oa ob oc o为外心 当pa pb pc两两垂直时 ao bc bo ac co ab o为垂心 答案 外垂 5 m n是空间两条不同的直线 是两个不同的平面 下面四个命题中 真命题的序号是 m n m n m n m n m n m n m m n n 答案 热点之一直线与平面垂直的判定与性质证明直线和平面垂直的常用方法有1 利用判定定理 2 利用平行线垂直于平面的传递性 a b a b 3 利用面面平行的性质 a a 4 利用面面垂直的性质 当直线和平面垂直时 该直线垂直于平面内的任一直线 常用来证明线线垂直 思路探究 要证bd 平面pac 只需在平面pac内寻求两相交直线与bd垂直 而pa显然与bd垂直 故只需证bd ac 课堂记录 设ac与bd交于点e pa 平面abcd bd 平面abcd pa bd abd 30 bac 60 aeb 90 即bd ac 又pa ac a bd 平面pac 即时训练如右图所示 p为 abc所在平面外一点 pa 平面abc abc 90 ae pb于e af pc于f 求证 1 bc 平面pab 2 ae 平面pbc 3 pc ef 证明 1 pa 平面abc bc 平面abc pa bc ab bc ab pa a bc 平面pab 2 bc 平面pab ae 平面pab bc ae pb ae bc pb b ae 平面pbc 3 ae 平面pbc pc 平面pbc ae pc af pc ae af a pc 平面aef 而ef 平面aef pc ef 热点之二平面与平面垂直的判定与性质1 判定面面垂直的方法 1 面面垂直的定义 作两平面构成二面角的平面角 计算其为90 2 面面垂直的判定定理 a a 2 关于三种垂直关系的转化可结合下图记忆 注意 在求平面垂直时 一般要用性质定理 在一个平面内作交线的垂线 使之转化为线面垂直 然后进一步转化为线线垂直 要熟练掌握 线线垂直 线面垂直 面面垂直 间的转化条件和转化运用 这种转化方法是本章内容的显著特征 掌握转化思想方法是解决这类问题的关键 例2 2010 苏北四市调研 如右图 在三棱柱abc a1b1c1中 ab bc bc bc1 ab bc1 e f g分别为线段ac1 a1c1 bb1的中点 求证 1 平面abc 平面abc1 2 fg 平面ab1c1 思路探究 1 由面面垂直判定定理易证 2 先证fg ac1 再证明bc b1c1 b1c1 be b1c1 平面abc1可得fg b1c1 则结论得证 课堂记录 1 ab bc bc bc1 ab bc1 b bc 平面abc1 又 bc 平面abc 平面abc 平面abc1 2 在 aa1c1中 e f分别为ac1 a1c1的中点 ef bg 且ef bg 连接be 四边形befg为平行四边形 fg eb ab bc1 e为ac1的中点 be ac1 则fg ac1 bc ab bc bc1 b1c1 bc b1c1 ab b1c1 bc1 又ab bc1 b b1c1 平面abc1 be 平面abc1 b1c1 be 则b1c1 fg ac1 b1c1 c1 fg 平面ab1c1 即时训练 2010 湛江模拟 如右图 已知三棱锥a bpc中 ap pc ac bc m为ab中点 d为pb中点 且 pmb为正三角形 1 求证 dm 平面apc 2 求证 平面abc 平面apc 证明 1 m为ab中点 d为pb中点 md ap 又 md 平面apc dm 平面apc 2 pmb为正三角形 且d为pb中点 md pb 又由 1 知md ap ap pb 又已知ap pc pb pc p ap 平面pbc ap bc 又 ac bc ap ac a bc 平面apc bc 面abc 平面abc 平面pac 热点之三线面角与二面角的求法高考中对直线与平面所成的角及二面角的考查是热点之一 有时在客观题中考查 更多的是在解答题中考查 求这两种空间角的步骤 根据线面角的定义或二面角的平面角的定义 作 找 出该角 再解三角形求出该角 步骤是作 找 认 指 求 在客观题中 也可用射影法 例3 在三棱锥p abc中 pc ac bc两两垂直 bc pc 1 ac 2 e f g分别是ab ac ap的中点 1 证明 平面gfe 平面pcb 2 求二面角b ap c的正切值 思路探究 1 利用三角形中位线性质 线 线 线 面 面 面 2 利用定义作出二面角b ap c的平面角 课堂记录 1 证明 g e f分别为ap ab ac的中点 gf pc ef bc 又gf 平面pbc ef 平面pbc pc 平面pbc bc 平面pbc gf 平面pbc ef 平面pbc 又gf ef f 平面gfe 平面pcb 2 解 过c作ch ap交ap于点h 连接bh pc ac bc两两垂直 bc 平面apc bc ap 又ch bc c ap 平面bhc ap bh chb就是二面角b ap c的平面角 即时训练已知三棱柱abc a1b1c1的侧棱与底面边长都相等 a1在底面abc内的射影为 abc的中心 则ab1与底面abc所成角的正弦值等于 答案 b 高考本节内容主要考查线面 面面垂直的判定和性质 其中线面的垂直是考查的重点 难度以中等为主 高考多以解答题出现 且有多问 从能力上看 主要考查学生将空间问题转化为平面几何问题的能力 所以 bac 90 又pa 平面abcde ab cd 所以cd pa cd ac 又pa ac 平面pac 且pa ac a 所以cd 平面pac 又cd 平面pcd 所以平面pcd 平面pac 1 2010 山东高考 在空间 下列命题正确的是 a 平行直线的平行投影重合b 平行于同一直线的两个平面平行c 垂直于同一平面的两个平面平行d 垂直于同一平面的两条直线平行 解析 a项 平行直线的平行投影也可以是两条平行线 b项 平行于同一直线的两个平面可平行 可相交 c项 垂直于同一平面的两个平面可平行 可相交 d项 正确 答案 d 解 1 证明 连结ec 在rt pae和rt cde中