第3章 电路的一般分析方法.doc

第3章 电路的一般分析方法主要内容：1.电路图论初步及电路的独立方程数；2.电路的支路电流分析法；、；3. 网孔电流分析法；4. 节点电压分析法。学习要求：本章内容以基尔霍夫定律为基础，介绍支路电流法、回路电流法和节点电压法等电路一般分析方法。这些方法适用于所有线性电路问题的分析，在后面章节中都要用到。要求做到：1.理解电路图论的基本概念，掌握电路方程的建立方法以及电路独立方程的个数；2.深刻理解支路电流法、网孔法、节点法等基本电路分析方法的基本思想，能灵活运用这些方法进行电路分析，求取电路中的未知变量。本章重点：1. KCL 和 KVL 独立方程数的概念；2. 结点电压法；3. 回路电流法(网孔电流法)。本章难点：1. 独立回路的确定；2. 正确理解每一种方法的依据；3. 含独立电流源和受控电流源的电路的回路电流方程的列写；4. 含独立电压源和受控电压源的电路的结点电压方程的列写。计划课时：83.1 电路的图及其KCL与KVL独立方程数一、引言等效变换是一种重要的电路分析方法，但只对具有一定结构形式的简单电路行之有效。对于较复杂的电路，必须有一些更普遍、更一般的分析手段。电路的一般分析方法基本上基于以下思想：选择适当的电路变量并以它们作为求知量根据、以及电路元件的建立足够数量的电路方程联立求解，得到未知电路变量根据要求或分析目的，求取与未知电路变量相关的其它电路变量。可见，进行电路的一般分析方法关键在于建立一定数量的电路方程，并且这些电路方程必须互不相关，即这些方程中的任意一个都不能由其余电路方程推导得到。为解决独立电路方程的建立问题，本节首先介绍电路图论的初步知识，然后再讨论一个具有条支路、个节点电路中包含的KCL和KVL独立方程个数。二、电路图论初步图论是拓扑学的一个分支，是富有趣味和应用极为广泛的一门学科。图论的概念由瑞士数学家欧拉最早提出，欧拉在1736年发表的论文依据几何位置的解题方法中应用图的方法讨论了各尼斯堡七桥难题；1920世纪，图论主要研究一些游戏问题和古老的难题，如哈密顿图及四色问题。1847年，基尔霍夫首先用图论来分析电网络，如今在电工领域，图论被用于网络分析和综合、通讯网络与开关网络的设计、集成电路布局及故障诊断、计算机结构设计及编译技术等等。1.电路的图：用表示，是用于说明电路的连接特点或拓朴性质的图，是支路(线段)和节点的集合。(从下例可见，图中的支路和结点与电路的支路和结点一一对应)注意：支路是实体，节点是支路的汇集点；电路的图中允许有孤立节点存在；移去图中一条支路并不意味着移去相应节点，但移去节点则意味着移去连于该节点上的所有支路；当用不同结构或内容(如复合支路)定义支路时，电路的图将发生改变(节点与支路数量不同)。2.无向图与有向图：指定电路图图中各支路电流的参考方向并在图中予以标注，则得到电路的有向图；否则为电路的无向图。3.图中的路径、闭合路径及回路：从中某节点出发，沿着一些支路连续移动而到达另一节点，这样的一系列支路构成图中的一条路径。起始节点与终止节点重合的路径为闭合路径。在一条闭合路径中，若闭合路径所历节点均相异，则该闭合路径构成图的一个回路。注意：两个回路组合起来可以构成一个新回路。4.连通图、子图及其树、树支、连支：连通图：任意两个节点之间至少存在一条支路的图称连通图。(非连通图至少存在两个分离部分。)子图：若图中所有支路和结点都是图中的支路和结点，则称是图的子图。连通图的树：包含的全部节点但不含有回路的连通子图。(具备3个条件)注意：一个连通图一般具有多个不同的树。树支：既属于连通图又是属于树的支路称为树支。连支：只属于连通图而不属于树的支路称为连支。定理1：对于连通图，若具有条支路、个节点，则的任意一个树的树支数为，连支数为。5.连通图的基本回路：对于连通图的某一树，在上每增加一条连支便构成一个回路，这样的回路称为单连支回路或基本回路。(条件：(1)连通；(2)每个节点关联2条支路)定理2：对于连通图，若具有条支路、个节点，则包含的基本回路数等于连支数，共个基本回路，并且各基本回路相互独立。定理3：除所联接的节点外，各支路互不交叉的图称为平面图。平面图的基本回路数等于它的全部网孔数。结论：电路中结点、支路和基本回路关系为：支路数树枝数连支数结点数1基本回路数。例：图示为电路的图，画出三种可能的树及其对应的基本回路。82438643876587654321三、电路的独立方程数一个电路的电路方程可以根据、以及电路元件的来建立，对每一个回路可建立一个回路方程，对每一个节点可建立一个节点方程。对于所有回路方程，要使它们相互独立，必须保证这些回路是独立的。根据定理1易知，对于一个具有条支路、个节点的电路，其独立方程数等于。对于所有节点方程，根据在闭合曲面中的推广应用，可以知道其中任意一个节点方程都可从其余的节点方程中推导得出。因此，对于一个具有条支路、个节点的电路，其独立方程数等于。综上所述，对于一个具有条支路、个节点的电路，其独立方程数由个独立的节点方程和个独立的回路方程组成，共个独立方程。联合应用这些独立电路方程，最多可以求取个未知电路变量。3.2 电路的支路电流分析法一、支路电流法基本思想以各支路电流为未知变量，按、以及电路元件的列出个数与支路电流数量相同的相互独立的电路方程，即可求得各支路电流，再在各支路电流基础上按要求求取其它电路变量。二、支路电流法分析步骤1.以各支路电流为未知变量，选定标注其参考方向；2.任意选定个节点，按列出个独立的节点方程；3.选定个基本回路并规定标注其绕行方向，结合元件特性并按列出个独立的回路方程；4.联立求解以上个相互独立的电路方程，得到各支路电流。5.根据分析要求，以支路电流为基础求取其它电路变量。70V6V7Wb+I1I3I27W11Wa例1：求各支路电流及各电压源发出的功率。解： n1=1个KCL方程：结点a：I1I2+I3=0 b( n1)=2个KVL方程：7I111I2=70-6=6411I2+7I3= 6因，故解得：，。三、应用注意1.支路电流法适用于分析含受控源的电路；2.支路电流法要求每条支路的电压可用支路电流来表示，否则须另行处理。如：一条支路仅含电流源且不直接与任何电阻并联情况下，可以增加一个未知变量(电流源两端电压)，最后再补充一个电路方程(该支路电流等于电流源电流)。例2：列写支路电流方程.(电路中含有理想电流源）a70V7Wb+I1I3I27W1W216A例3：列写支路电流方程.(电路中含有受控源）5U+U_70V7Wba+I37W11W21+_I2I1注意：有受控源的电路，方程列写分两步：先将受控源看作独立源列方程；将控制量用未知量表示，并代入中所列的方程，消去中间变量。四、支路电流法特点从支路电流法分析思想可知，为求取各支路电流，必须列出个相互独立的电路方程。一个电路包含的支路数目越多，求取各支路电流所需的电路方程数目就越多，解方程组的难度就越大。因此支路电流分析法宜于利用计算机求解。人工计算时，对于支路数不太少的电路，可以应用支路电流法，但为进一步减少分析所需的电路方程数量，可采用网孔电流法和节点电压法。3.3 网孔电流法一、网孔电流及其特点对于一个含条支路、个节点的平面电路，从电路图论可知，其网孔数为，显然。因此如果假想有一种电流沿网孔流动，并以此为未知电路变量，则分析时只需列出个电路方程即可。所谓网孔电流是一种为了简化电路分析而人为引入的电路变量，是一种假想的沿着网孔连续流动的电流(实际上不存在而只有支路电流)。网孔电流具有以下特点：1.电路中实际上不存在网孔电流，网孔电流是一种假想电流；2.引入网孔电流旨在简化电路分析，减少分析所需的电路独立方程数；3.引入网孔电流后，电路中各支路电流可以用网孔电流来表示；4.一般指定网孔电流的参考方向与网孔的绕行方向一致；5.电路中各网孔电流在任意节点上自动满足。如：二、网孔电流分析法基本思想以网孔电流为未知变量，根据列出个网孔的方程，(由于网孔电流自动满足，故不必再列节点方程)，联立求得各网孔电流，最后根据网孔电流特点求取和支路电流及其它电路变量。三、网孔电流法分析步骤1.确定各网孔电流，指定其参考方向并以其参考方向作为网孔的绕行方向；2.按列写个网孔的方程(共个且相互独立)；3.联立求解得到各网孔电流；4.在所得网孔电流基础上，按分析要求再求取电路变量。例2用网孔电流法列写图示电路的电路方程。四、用观察法列写网孔电流电路方程1.用观察法列出的网孔电流电路方程一般形式：其中，为网孔的自(电)阻，为网孔与网孔之间的互(电)阻，为网孔的等效电源。2.网孔的自阻、等效电源以及不同网孔之间的互阻：网孔自阻：网孔与网孔之间的互阻：并且规定：若网孔电流与网孔电流在这些公共电阻上的流向相同，则互阻前取“+”，否则互阻前取“-”。注意:1) 在不含受控源的电路中，系数矩阵为对称阵；2) 当网孔电流均取顺（或逆）时针方向时，均为负。网孔的等效电源： 。五、几种特殊情况1.电路中含有电流源与电阻的并联组合：将其等效变换成电压源与电阻的串联组合后列电路方程。2.电路中含有受控电压源：列电路方程时，先用网孔电流将控制量表示出来，并暂时将受控电压源当作独立电压源，最后再将用网孔电流表示的受控源电压移至方程的左边。3.电路中含有电流源且无电阻直接与之并联：处理方法：选取网孔电流时只让一个回路电流通过电流源，该网孔电流仅由电流源电流决定；以电流源两端电压为变量，并且在每引入一个这样的变量的同时，增加一个网孔电流与电流源电流间的约束关系的方程。例3用网孔电流法求图示电路的电压U。解法1：（）解法2：（，）3.4 节点电压法一、节点电压1.节点电压的概念：在一个含条支路、个节点的电路中，任选一个节点作为参考节点，其它节点(称为独立节点)与参考节点之间的电压称为节点电压。可见共有个节点电压，并且一般规定各节点电压的极性为参考节点为“-”，非参考节点为“+”。2.节点电压的性质：对于任一节点电压，一般具有以下两个性质：1) 各支路电流可以用节点电压来表示；2) 节点电压总是自动满足。如：二、节点电压分析法思想由于节点电压自动满足，各支路电流又可以用节点电压来表示，因此如果以节点电压为未知变量列出除参考节点以外的其它个节点的方程，即可求得个节点电压，最后在此基础上可进一步求取电路其它变量。这就是节点电压分析方法的基本思想。三、节点电压法分析步骤1.选择参考节点，指定各节点的节点电压；2.用节点电压表示各支路电流，并根据列出各独立节点的方程(共个)；3.联立求解得到各节点电压，并在此基础上进一步求取其它电路变量。如在上图中，个非参考节点的方程为：在以上分析步骤中，其实个独立节点的方程可以用观察法列出。对于一个具有个节点的电路，用观察法列出其个独立节点的方程具有以下一般形式：其中，为节点的自导，是节点与节点之间的互导：是节点上的等效电流源，并且流入的电流为“+”，流出的为“-”。如上图电路中，用观察法列出个非参考节点的方程为：四、应用节点电压法分析时的几种特殊情况1.电路中含有受控电流源：该情况下建立电路方程时，先把控制量用节点电压表示，并暂时将受控电流源当作独立电流源处理即可。如：2.电路中具有某些电压源支路并且没有电阻直接与电压源串联(无伴电压源支路)：这种情况的处