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采样时长与采样数据频谱泄露程度的研究,毕业设计
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课程 设计 题 目 采样时长与采样数据频谱泄露 程度的研究 学生 姓名 XXXX 学号 XXXXXXXXX 所在院 (系 ) 物理系 专业班 级 电信 XXX 班 指导教师 XXXXXXX 完成 地点 物理 系实验室 目录 nts第 页共 12 页 1 引言 . 2 1. 采样时长与采样数据频谱泄漏程度的研究的目 的和意义 . 2 2. 周期连续信号频谱分析的方法 . 3 2.1采样定理 . 3 2.2信号频谱的分析方法 . 3 2.2.1 已知变 化规律的周期连续信号频谱识别方法 . 4 2.2.2 未知变化规律的周期连续信号频谱识别方法 . 5 2.3 频谱分析的近似过程出现问题及解决办法 . 5 3. 频谱泄露产生的原因及解决方法 . 6 3.1 频谱泄露产生的原因 . 6 3.2 频谱泄露问题解决办法 . 6 4. 提 高周期连续信号频谱识别率的实例 . 7 5. 提高非周期连续信号频谱识别率的实例 . 9 5.1 对非连续周期信号进行频谱分析的依据 . 9 5.2 通过程序实例进行验证 . 9 6. 设计心得 . 10 参考文献 . 11 附录：研究频谱泄漏 MATHEMATICA 源程序清单 . 12 采样时长与采样数据频谱 泄 漏 nts第 页共 12 页 2 程度的研究 （陕西理工学院物理系电子信息科学与技术专业 XXX 班，陕西 汉中） 指导老师： XXXX 摘要 未知变化规律的周期连续信号 通常是通过对信号采样，然后分析采样信号 的频谱来获得连续信号的频谱，这种做法首先要满足采样定理 5。为了使实际信号在采样后能够不失真的再现，采样频率必须大于信号最高频率的两倍。其次，为获得连续信号的频谱，要对采样数据进行离散傅里叶变换（ DFT）来获得离散信号的频谱。 关键词 采样时长，频谱 分析 ，泄露程度 ， 采样定理 引言 近年来 ，由于电子 信息 技术的飞速发展， 信号的 概念已深入到人们生活和社会的各个方面 。 从人类社会的早期到现在文明的社会，就对信号进行着越来越深入的研究和应用。随着社会的发展，人类对信息的需求量也迅速增加，并在日常的生产、生活、和科研中加以利用。现实中的信号都是连续的，它的变化规律都包含在在频谱特性中，我们通过对信号观察测量（即采样）得到一组采样数据，并对采样数据进行频谱分析，得到被采样信号的频谱特性，我们只需要得到有用信号的频谱特性，就可通过相应的手段再现被采样 有用连续信号，实现对有用信息的传递和重复利用，这就是信息的数字化处理研究。 随着人们对信号研究的不断深入，发现 由于对信号研究在有限长时区宽度的进行，从而导致连续信号在时域上 出现 截断现象，是有用的信息的减少或丢失甚至不能永久传递和利用 ，在频域上就不可避免的出现了采样数据的频谱泄露现象 。 由于采样数据频谱泄漏是不可避免的，只能将采样数据频谱泄漏降到最低程度，以便更好的利用有用连续信号，这就要求我们寻找减轻连续信号频谱泄漏程度的最佳途径。 1. 采样时长与采样数据频谱泄漏程度的研究的目的和意义 随着信息数字化研 究的发展， 人们的生活越来越丰富，生活水平不断提高，对 信息 产品的要求也越来越高，促使信号的数字化研究也越加广泛和深入 。 对 信号的 应用已伸入到生活的各个领域，例如 ， 无线电的广泛应 用以及各种通信网络和家用电子设备等，在我们生活中发挥着不可替代的作用。 对信号研究的 重要 方法 之一就 是对有用 连续 信号进行 有限多次观察测量（即采样），并通过分析采样数据来把握被观察连续信号的特征和随时间变化的规律，连续信号的特征在频域上表现为频谱特性。对于变化规律未知的连续信号，我们无法直接获得其频谱，只能通过对连续信号等时间间隔的重复采样，获 得有限长采样数据，对采样数据进行 DFT（离散傅里叶变换），得出其频谱特性。在满足采样定理的前提下，当采样时长适当时，就可由采样数据频谱完全再现被采样连续信号。我们对 有用 连续 信号 研究 只能在 有限长时区宽度上进行采样完成，有限宽时区采样必然出现不同程度的采样数据频谱泄漏现象。因被采样连续周期信号的频谱是离散线状谱线，经截断后获得的采样数据谱线较之被采样连续周期信号的谱线将在谱线左右展宽，或采样数据的频谱较之原连续非周期信号的频谱向附近展宽，时域截断宽度越窄，频域中的频谱就扩展的越宽，通常称这种展宽为频谱泄漏，相nts第 页共 12 页 3 对 于连续信号频谱扩展的越宽，频谱泄漏越严重，而且这种频谱泄漏是不可避免的，只能尽可能降低采样数据频谱泄漏 程度， 因为时域观察时区宽度不可能无限宽。 所以对如何降低周期连续信号频谱 泄漏 程度的研究，就具有非常重要的意义 2。 我们将寻找一种对有用连续信号采样的最佳途径，将采样数据频谱泄漏降到最低程度，使对信号的研究和利用更有意义，对信号更好的加以利用，以造福于人类。下面我们具体研究产生频谱泄露现象的原因，首先先从采样定理说起，有采样过程分析其原因。 2. 周期连续信号频谱分析的方法 2.1 采 样定理 采样定理 ，又称香农采样定 理，奈奎斯特采样定理，是信息论，特别是通讯与信号处理学科中的一个重要基本结论。采样定理是指，如果信号带宽小于采样频率（即奈奎斯特频率的 2 倍），那么此时这些离散的采样点能够完全表示原信号。由此概念得采样是将一个信号（即时间或空间上的连续函数）转换成一个数值序列（即时间或空间上的离散函数）。 采样时有如下限制： （ 1）被采样信号必须是带限信号，即信号所含最高频率成份的频率有限； （ 2）采样频率至少大于被采样信号最高频率的两倍，实际洶取 45 倍。 采样定理指出，如果信号是带限的，并且采样频率高于信号带宽的一倍，那么 ，原来的连续信号可以从采样样本中完全重建出来。 其数学模型为： 其中的 f(t)为原始信号 ， Ts(t) 为理想的开关信号 （ 冲激采样信号） Ts(t) ， fs(t)为采样后得到的信号称为采样信号。由此可见，采样信号在时域的表示为无穷多冲激函数的线性组合，其权值为原始信号在对应采样时刻的定义值。 从信号处理的角度来看，此采样定理描述了两个过程：其一是采样，这一过程将连续时间信号转换为离散时间信号；其二是信号的重建，这一过程离散信号还 原成连续信号。 连续信号在时间（或空间）上以某种方式变化着，而采样过程则是在时间（或空间）上，以T 为单位间隔来测量连续信号的值，称为采样间隔。在实际中，如果信号是时间的函数，通常他们的采样间隔都很小，一般在毫秒、微秒的量级。采样过程产生一系列的数字，称为样本。样本代表了原来地信号。每一个样本都对应着测量这一样本的特定时间点，而采样间隔的倒数， 1/T 即为采样频率 fs，其单位为样本 /秒，即赫兹 (hertz)。 从采样定理中，我们可以得出以下结论： 如果已知信号的最高频率 f ，采样定理给出了保证完全重建信号的最 低采样频率。这一最低采样频率称为临界频率或奈奎斯特采样率，通常表示为 f 相反，如果已知采样频率，采样定理给出了保证完全重建信号所允许的最高信号频率。 2.2 信号频谱的分析方法 nts第 页共 12 页 4 对变化规律已知的周期连续信号，要识别其所含有的频率成分，即获得其频谱，可通过将周期连续信号作傅里叶级数展开。对非周期连续信号，可通过对非周期连续信号进行 FT（傅里叶变换）。要直观了解幅频特性及相频特性，也可将计算结果画成杆状图。 对变化规律未知的周期连续信号，无法用傅里叶级数展开的方法来获得信号的频谱，因为计算傅里叶级数展开系数的积 分无法完成。这时只能通过观察测量（即采样），并分析采样数据来获得连续周期信号的频谱。计算采样数据的频谱可用 DFT（离散傅里叶变换）的快速计算方法 FFT 来完成。当数据量较大或很大时，可以上机用 Mathematica 或 Matlab 编程调用软件内部函数来快速完成计算。而且要可视化采样数据的频谱时，也可调用Mathematica 或 Matlab 的内部函数快捷实现。 这次课程设计研究的目标是寻找降低频谱泄漏程度的途径、方法、原则。当采样数据的频谱泄漏很轻微，而且频率混叠可以避免时，采样数据频谱的一个周期将与被采样连续信 号的频谱是等价的，这种情况下，连续信号在采样时区上的变化规律完全由采样数据所描述，即由采样信号可完全恢复出被采样信号。下面对已知和未知变化规律的连续信号频谱计算方法分别做以介绍。 2.2.1 已知变化规律的周期连续信号频谱识别方法 通过上面分析我们已经知道，对于这类信号要获得其频谱，我们只需将此周期连续信号做傅里叶级数展开，即 (s) 设 f (t)为一个周期连续信号， T 为其周期， f1=1/T 是信号的基波频率， 11 2 f 为信号的基波角频率 ， 则 f(t)可以表示为 )()( nTtftf ， （ n=0,1,2 ） 。 对 f (t)进行 傅里叶级数展开 (式 2.2.1) (式 2.2.2) (式 2.2.3) (式 2.2.4) (式 2.2.5) 通过上面推导即可计算已知变化规律的周期连续信号的频谱和 振 ，从而画出相应信号f(t)的幅频特性杆状图。 对于周期连续信号 f(t)，若要计算其连续频谱，可对 f(t)取傅里叶变换 FTf(t)，其定义为： (式 2.2.6) 1101 111011110)(cos)(sin)cos()2sin()2cos()(kkkK kkkkkkktkAAtkbtkaAtfkbtfkaAtf 2 2 1c o s)(2 TTk dttktfTa 2 2 1s in)(2 TTk dttktfTb22 kkk baA )/arctan( kkk ab)()()( jFdtetftfFT tj nts第 页共 12 页 5 其中密度函数 F(jw)是一个复函数，它可写为 (式 2.2.7) 式中 )( jF 和 )( 分别是频谱函数 )( jF 的模和相位。 发现 )( jF 是由频率位置各不相同的一系列狄拉克 (-k1)带权叠加，对于这样的频谱函数是不能直接画幅频特性图的，可在各频率坐标 k1处以狄拉克 函数前面的权系数为高度画幅频杆状图来图示周期连续信号所含频率成份。 2.2.2 未 知变化规律的周期连续信号频谱 识别方法 未知变化规律的周期连续信号 通常是通过对信号采样，然后分析采样信号的频谱来获得连续信号的频谱，这种做法首先要满足采样定理。为了使实际信号在采样后能够不失真的再现，采样频率必须大于信号最高频率的两倍。 其次，为获得连续信号的频谱，要对采样数据进行离散傅里叶变换（ DFT）来获得离散信号的频谱。 我们假设周期连续信号采样得到的序列为 x(n)，设 x(n)为有限长序列，长度为 N，但它取自周期信号，我们可以认为在采样参数选择恰当时，对它进行周期延拓所得周期序列的最小周期与被采样信号的周期是一致的。通过采样定理的学 习我们得知采样信号的频谱是被采样信号频谱的周期延拓，所以我们只需要对一个采样周期进行研究便可得到信号的全部信息。现在我们取定采样序列 x(n)，长度为 N（称为一个主值区间）对它进行频谱分析即可。对 x(n)取 DFT，计算过程如下 ： 具体计算步骤如下： nttaa txnTxnx )()()(式 2.2.8) (式 2.2.9) 式中 )(txa是待采样得周期连续信号， T 是采样周期， )(nTxa是采样后的 有限长离散序列，与 )(nx 是等同的。 由上式可知有限长离散信号频谱的采样是由其连续频谱经过采样得到的。由此得 DTFT 是计算离散序列的频谱函数的，而 DFT 则是计算离散序列频谱的采样 的。在采样过程中由于采样频率 )/1( Tffss 或者采样长度 N 的不同，频谱分析的近似过程会出现一些问题，主要包含以下几方面。 2.3 频谱分析的近似过程出现问题及解决办法 kNjaD F Taa eXkXnxnTxtx 2)()()()()( )()( jja eXeX kNjeX 2)( )()()()( )( jXRjFjF je e nkNjNnknnjNnjnxnxD F TenxeXnxD T F TkX210210)()(nts第 页共 12 页 6 1、 混叠 （ 1） 混叠现象 对连续信号 x(t)进行数字处理前，要进行采样 采样序列的频谱是连续信号频谱的周期延拓，周期为 fs，如采样率过低，不满足采样定理， fs300 (* 画连续信号 -t/2到 t/2时段上的波形 *) =2(* 采样时长参数 , 越大 ,采样时间越长 *);t=fmin G_=Integrate-It,t,-t/2,t/2/Simplify(*用度积分法计算时域门信号的频谱 *); PrintG=,G; Xi_=FourierTransformxit,t,FourierParameters-1,-1/Simplify(* 用 Fourier积分变换法计算连续多频率信号的频谱函数 *); PrintXi=,Xi/.DiracDelta; Xa_=1/(2)IntegrateXi G-,-,/ComplexExpand/Simplify/Chop(* 用卷积法计算多频率时域截断信号的频谱 *); PrintXa=,Xa/Sort; =4;(* 采样频率选择参数 , 越大 ,采样频率越高 *) fs=*fh;Ts=1/fs;s=*h;sn2=IntegerPart0.5t/Ts;sn=2sn2+1; x=Tablexin Ts,n,-sn2,sn2(* 采样产生离散信号 *); PlotAbsXa2f,f,-1.5fs,1.5fs,PlotRange-All,PlotPoints-800,AspectRatio-1/4, ImageSize-600,150,AxesLabel-f(Hz),time-field truncation signal spectrum:|Xaf| Xd_=Ts Sumxk+1(-I k ,k,0,sn-1(*用求和法计算采样信号的连续频谱 *); PlotAbsXd2f,f,-1.5fs,1.5fs,AspectRatio-1
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