陕西省汉中市陕飞二中高三数学二轮复习 专题四第三讲 空间向量与立体几何课件.ppt

第三讲空间向量与立体几何 1 平面的法向量的求法设n x y z 利用n与平面内的两个向量a b垂直 其数量积为零 列出两个三元一次方程 联立后取其一组非零解 2 向量法求空间角的方法 1 异面直线所成角的求法从两异面直线上分别取与之共线的两向量n1 n2 如图 cos 3 二面角的求法 如图 ab cd分别是二面角 l 的两个面内与l垂直的异面直线 则二面角 l 的平面角 满足cos 设n1 n2分别是二面角 l 的两个面 的法向量 在图 中二面角 l 的平面角 满足cos 在图 中二面角 l 的平面角 满足cos 1 2011 大纲全国卷 已知正方体abcd a1b1c1d1中 e为c1d1的中点 则异面直线ae与bc所成角的余弦值为 解析如图 在正方体abcd a1b1c1d1中建立直角坐标系 2 2011 大纲全国卷 已知点e f分别在正方体abcd a1b1c1d1的棱bb1 cc1上 且b1e 2eb cf 2fc1 则面aef与面abc所成的二面角的正切值等于 解析如图 建立空间直角坐标系 解析如图 以d为坐标原点 线段da的长为单位长 射线da为x轴的正半轴建立空间直角坐标系d xyz 从近两年高考试题来看 利用空间向量证明平行或垂直 求空间角是高考的热点内容 题型主要以解答题为主 难度中等偏上 此类问题主要考查空间坐标系的建立及空间向量坐标的运算能力及应用能力 运算能力要求较高 预测2012年仍会考查此热点问题 复习时注意掌握利用空间向量证明线面位置关系及求空间角的方法 并加以强化训练 如图所示 四棱锥p abcd的底面abcd是正方形 侧棱pd 底面abcd pd dc e是pc的中点 1 证明 pa 平面bde 2 在棱pb上是否存在点f 使pb 平面def 证明你的结论 向量法证明平行与垂直 用向量法证明平行或垂直时 要根据具体的条件建立恰当的坐标系 证明过程需仔细谨慎 避免运算错误 1 如图所示 在直三棱柱abc a1b1c1中 ac 3 bc 4 ab 5 aa1 4 点d是ab的中点 1 求证 ac bc1 2 求证 ac1 平面cdb1 2011 河北衡水中学期末 如图所示 在四棱锥p abcd中 底面abcd是矩形 pa 平面abcd pa ad 2 ab 1 bm pd于点m 1 求证 am pd 2 求直线cd与平面acm所成角的余弦值 用向量法求线线角和线面角 解题切点 建立坐标系 求出平面acm的法向量 利用向量法求直线cd与平面acm所成角的余弦值 解析 1 证明 pa 平面abcd ab 平面abcd pa ab ab ad ad pa a ad 平面pad pa 平面pad ab 平面pad pd 平面pad ab pd bm pd ab bm b ab 平面abm bm 平面abm pd 平面abm am 平面abm am pd 2 如图所示 建立直角坐标系 则a 0 0 0 c 1 2 0 d 0 2 0 在本例中 求异面直线bp与cm所成角的余弦值 用向量法求二面角 2 如图 以c为原点 以ca ca1 cb所在直线分别作为x轴 y轴 z轴 2 如图所示 已知三棱柱abc a1b1c1的侧棱垂直于底面 bac 90 ab aa1 2 ac 1 m n分别是a1b1 bc的中点 1 证明 mn 平面acc1a1 2 求二面角m an b的余弦值 2011 浙江 如图 在三棱锥p abc中 ab ac d为bc的中点 po 平面abc 垂足o落在线段ad上 已知bc 8 po 4 ao 3 od 2 1 证明 ap bc 2 在线段ap上是否存在点m 使得二面角a mc b为直二面角 若存在 求出am的长 若不存在 请说明理由 探索性问题 解析 1 证明如图 以o为原点 以射线od为y轴的正半轴 射线op为z轴的正半轴 建立空间直角坐标系o xyz 空间向量最适合于解决立体几何中的探索性问题 它无需进行复杂的运算 论证 推理 只需通过坐标运算进行判断 解题时 把要成立的结论当作条件 据此列出方程 组 把 是否存在 问题转化为 点的坐标是否有解 是否有规定范围的解 等 所以使问题的解决更简单 有效 应善于运用这种方法解题 3 如图 abcd是边长为3的正方形 de 平面abcd af de de 3af be与平面abcd所成角为60 1 求证 ac 平面bde 2 求二面角f be d的余弦值 3 设点m是线段bd上一个动点 试确定m的位置 使得am 平面bef 并证明你