高中数学 312空间向量的基本定理课件 新人教B版选修21.ppt

1 知识与技能通过本节学习理解向量共线的条件 共面向量定理和空间向量基本定理 能够判定空间向量是否共面 了解基向量 基底的概念 空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一个基底 2 过程与方法通过对空间向量基本定理的学习 让学生体验数学定理的产生 形成过程 体验定理所蕴含的数学思想 3 情感态度与价值观事物之间可以相互转化 渗透由特殊到一般的思想 通过对空间向量基本定理的运用 增强学生的应用意识 重点 共线向量定理 共面向量定理和空间向量分解定理 难点 空间向量分解定理 1 共线向量定理 1 在前面 我们学习了平面向量共线的充要条件 这个条件在空间也是成立的 即有 共线向量定理 对空间两个向量a b b 0 a b的充要条件是存在实数x 使a xb 2 对于空间任意两个向量a b b 0 共线向量定理可分解为以下两个命题 a b 存在唯一实数x使a xb 存在唯一实数x 使a xb a b 是共线向量的性质定理 是空间向量共线的判定定理 若要作此结论判定a b的基线平行 还需a 或b 上有一点不在b 或a 上 说明 在此定理中必须要有b 0这个条件 在a xb中 对于确定的x和b a xb表示空间与b平行的且长度为 xb 的所有向量 利用共线向量定理可以证明两线平行 或三点共线 2 共面向量基本定理 a 是指a的基线在平面 内或平行平面 共面向量是指这些向量的基线平行或在同一平面内 共面向量的基线可能相交 平行或异面 在证明充要条件问题时 要证明两个方面充分性和必要性 共面向量的充要条件给出了平面的向量表示 说明任意一个平面可以由两个不共线的平面向量表示出来 它既是判断三个向量是否共面的依据 又是已知共面条件的另一种形式 可以借此已知共面条件化为向量式 以便于我们对向量进行运算 利用共面向量定理可证明点线共面 线面平行等 三个向量共面 又称做三个向量线性相关 反之 如果三个向量不共面 则称做三个向量线性无关 可用此结论证明四点共面问题 三个非零向量a b c 其中无二者共线 则它们共面的充要条件是存在三个非零实数l m n 使la mb nc 0 3 空间向量基本定理 用空间三个不共面的已知向量组 a b c 可以线性表示出空间任意一个向量 而且表示的结果是唯一的 空间任意三个不共面的向量都可以作为空间向量的一个基底 由于0可看作是与任意一个非零向量共线 与任意两个非零向量共面 所以三个向量不共面 就隐含它们都不是0 要明确 一个基底是一个向量组 一个基向量是指基底中的某一个向量 二者是相关联的不同概念 1 共线向量定理对于空间两个向量a b b 0 a b的充要条件是存在实数x 使 2 共面向量定理如果两个向量a b不共线 则向量c与向量a b共面的充要条件是 存在惟一的一对实数x y 使 3 空间向量分解定理如果三个向量a b c不共面 那么对空间任一向量p 存在一个惟一的有序实数组x y z 使p 表达式xa yb zc 叫做a b c的 4 如果三个向量a b c是三个不共面的向量 则a b c的线性组合xa yb zc能生成所有的空间向量 a b c叫做空间的一个 记作 其中a b c都叫做 5 空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底 答案 1 a xb2 c xa yb3 xa yb zc线性表达式或线性组合 说明 判断向量a b共线的方法有两种 1 定义法即证明a b先证明a b所在基线平行或重合 2 利用 a xb a b 判断此种方法依据题目条件分为两类题型 a x1e1 y1e2 z1e3 b x2e1 y2e2 z2e3 其中e1 e2 e3不共面 令a b 即 x1 x2 e1 y1 y2 e2 z1 z2 e3 a b为立体图形中的有向线段 一般方法是选择一个 或多个 含有a b的空间封闭多边形建立向量等式 并将其化简求得关系式a b即可 说明 1 判断三个以上空间向量共面的一般方法 先选择其中两个向量 或依题意选择适当的一组基底 另外向量 或所有向量 用这两向量 基向量 表示成a xb yc形成即可完成 分析 本题是空间向量分解定理的应用 注意结合已知和所求 观察图形 联想相关的运算法则和公式等 就表示所需向量 再对照目标即基底 a b c 将不符合的向量化作新的所需向量 如此反复 直到所涉及向量都可用基底表示 说明 用基底表示空间向量 一般要用向量的加法 减法 数乘的运算法则 及加法的平行四边形法则 加法 减法的三角形法则 a a b db a b cc b c dd a c d 分析 要证明三点共线 需证明从同一点发出的两个向量共线 答案 a 已知a 3m 2n 4p 0 b x 1 m 8n 2yp 且m n p不共面 若a b 则x y 答案 138 解析 a b b a x 1 m 8n 2yp 3 m 2 n 4 p 辨析 利用向量共面的充要条件 也可考虑利用向量共面的定义来证明 一 选择题1 下列命题中正确的是 a 若a与b共线 b与c共线 则a与c共线b 向量a b c共面即它们所在的直线共面c 零向量没有确定的方向d 若a b 则存在惟一的实数 使a b 答案 c 解析 由零向量定义知选c 2 若e1 e2是同一个平面 内的两个向量 则 a 平面 内任一向量a 都有a e1 e2 r b 若存在实数 1 2 使 1e1 2e2 0 则 1 2 0c 若e1 e2不共线 则空间任一向量a 都有a e1 e2 r d 若e1 e2不共线 则平面 内任一向量a 都有a e1 e2 r 答案 d 解析 由共面向量定理知选d 答案 d 5 已知a b c不共面 且m 3a 2b c n x a b y b c 2 c a 若m n