高中数学《2.3.2 数学归纳法的应用》课件3 新人教A版选修22.ppt

数学归纳法应用举例 学习目标 掌握数学归纳法的基本思想 掌握数学归纳法的基本步骤 重点 数学归纳法的基本思想的理解 难点 利用数学归纳法证明 课时 一课时 证明某些与自然数有关的数学题 可用下列方法来证明它们的正确性 1 验证当n取第一个值n0 例如n0 1 时命题成立 2 假设当n k k n k n0 时命题成立 证明当n k 1时命题也成立 完成这两步 就可以断定这个命题对从n0开始的所有正整数n都成立 这种证明方法叫做数学归纳法 回顾 1 观察 归纳 猜想 证明2 证明恒等式问题3 证明不等式问题4 证平面几何问题5 证明整除性问题 数学归纳法的应用 例1 已知数列计算 根据计算的结果 猜想的表达式 并用数学归纳法进行证明 一 观察 归纳 猜想 证明 例2 是否存在常数a b 使得等式 对一切正整数n都成立 并证明你的结论 点拨 对这种类型的题目 一般先利用n的特殊值 探求出待定系数 然后用数学归纳法证明它对一切正整数n都成立 解 令n 1 2 并整理得 以下用数学归纳法证明 2 假设当n k时结论正确 即 则当n k 1时 故当n k 1时 结论也正确 根据 1 2 知 对一切正整数n 结论正确 1 当n 1时 由上面解法知结论正确 例3 比较2n与n2 n n 的大小 注 先猜想 再证明 解 当n 1时 2n 2 n2 1 2n n2当n 2时 2n 4 n2 4 2n n2当n 3时 2n 8 n2 9 2nn2猜想当n 5时 2n n2 二 证不等式问题 例3 求证 当n 5时 2n n2 证明 1 当n 5时 25 32 52 25 因此25 52 即n 5时 结论正确 2 假设当n k k 5 时 这个命题是正确的 那么由2k k2得 这就是说 当n k 1时 命题也是正确的 由 1 和 2 可以断定 这个命题对于所有大于或等于5的正整数n都正确 三 证几何问题 例 平面内有n条直线 其中任何两条不平行 任何三条不过同一点 证明交点的个数f n n n 1 2 说明 用数学归纳法证明几何问题 重难点是处理好当n k 1时利用假设结合几何知识证明命题成立 注 在上例的题设条件下还可以有如下二个结论 1 设这n条直线互相分割成f n 条线段或射线 则 f n n2 2 这n条直线把平面分成 n2 n 2 2个区域 例4 求证当n为正奇数时7n 1能被8整除 证明 1 n 1时 71 1 8能被8整除 2 假设n k k为正奇数 时7k 1能被8整除 设7k 1 8m m n 则当n k 2时 7k 2 1 72 7k 72 72 1 72 7k 1 48 49 8m 8 6 8 49m 6 49m 6 n 命题成立 由 1 2 可知当n为正奇数时7n 1能被8整除 四 证明整除性问题 巩固练习 1 证明 平面上n个圆最多把平面分成n2 n 2个区域 证明 1 一个圆将平面分成2个区域 而当n 1时 n2 n 2 2 因此结论当n 1时成立 2 假设当n k时 结论成立 即k个圆最多把平面分成k2 k 2个区域 在此基础上 为使区域最多 应使新增加的圆与前k个圆都交于两点 于是新增2k个交点 这2k个交点将新圆分成2k段弧 这2k段弧将所经过的区域一分为二 因此新增2k个区域 这样k 1个圆最多把平面分成 k2 k 2 2k k 1 2 k 1 2个区域 这就是说 当n k 1时 结论也正确 由 1 和 2 可以断定 结论对任何n n 都正确 练习2 求证 凸n边形的对角线的条数为 证明 1 当n 4时 四边形的对角线有2条 f 4 2 所以对于n 2 命题成立 2 设凸k边形的对角线的条数为 当n k 1时 k 1边形比k边形多了一个顶点 该顶点与原k边形中的 k 2 个顶点可连成 k 2 条对角线 而原来的一条边也变成对角线 故 k 1 边形比k边形增多了 k 1 条对角线 所以 即n k 1时 命题