【导学教程】高考数学专题复习 专题八第1讲 函数与方程思想课件 .ppt

专题八数学思想方法 第1讲函数与方程思想 真题感悟 自主学习导引 答案 10 答案c 函数与方程的思想可渗透到高考试题的各个方面 多以函数 不等式 解析几何等为主 应用这些思想方法解题时可起到事半功倍的效果 考题分析 函数与方程是中学数学的重要概念 它们之间有着密切的联系 函数与方程的思想是中学数学的基本思想 考察时主要依据题意 构造恰当的函数 或建立相应的方程来解决问题 这是历年高考的重点和热点 1 函数的思想用运动和变化的观点 集合与对应的思想分析和研究具体问题中的数量关系 建立函数关系或构造函数 运用函数的图象和性质去分析问题 转化问题使问题获得解决 函数思想是对函数概念的本质认识 方法突破 2 方程的思想在解决问题时 用事先设定的未知数沟通问题中所涉及的各量间的等量关系 建立方程或方程组 求出未知数及各量的值 或者用方程的性质去分析 转化问题 使问题获得解决 3 函数的思想与方程的思想的关系在中学数学中 很多函数的问题需要用方程的知识和方法来支持 很多方程的问题需要用函数的知识和方法去解 对于函数y f x 当y 0时 就转化为方程f x 0 也可以把函数y f x 看作二元方程y f x 0 函数与方程可相互转化 4 函数与方程的思想在解题中的应用 1 函数与不等式的相互转化 对函数y f x 当y 0时 就化为不等式f x 0 借助于函数的图象和性质可解决有关问题 而研究函数的性质也离不开不等式 2 数列的通项与前n项和是自变量为正整数的函数 用函数的观点去处理数列问题十分重要 3 解析几何中的许多问题 需要通过解二元方程组才能解决 这都涉及二次方程与二次函数的有关理论 4 立体几何中有关线段 角 面积 体积的计算 经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决 建立空间直角坐标系后 立体几何与函数的关系更加密切 高频考点突破 考点一 函数与方程思想在求最值或参数中的应用 例1 2012 宜宾一模 圆心在抛物线x2 2y上 且与直线2x 2y 3 0相切的圆中 面积最小的圆的方程为 审题导引 要使圆的面积最小 则需圆的半径最小 设出圆心坐标 利用与直线相切求出半径的表达式并求其最小值 可得圆的方程 规律总结 函数与方程思想方法解决范围问题的技巧 1 此类题型在高考题中占较大的比重 且考查的知识范围广 通常是某一个条件等式或某一个公式中含有未知量 列出函数 不等式或方程 组 求解即可 2 在解决此类型的问题时 一般会用到代数式的变形 消元 换元 解方程 解不等式等基础知识和基本方法 3 此类问题通常可以转化为函数的值域问题 方程的解的问题或不等式的解集问题 变式训练 1 已知a b c r a b c 0 a bc 1 0 求a的取值范围 考点二 构造函数解决函数 不等式 方程问题 例2 2012 大纲全国卷 设函数f x ax cosx x 0 1 讨论f x 的单调性 2 设f x 1 sinx 求a的取值范围 审题导引 1 根据a的范围讨论f x 的单调性 2 构造适当的函数 根据不等式求a的范围 规律总结 函数与方程的思想在解决不等式问题中的应用在解决不等式恒成立问题时 一种最重要的思想方法就是构造适当的函数 利用函数的图象和性质解决问题 同时要注意在一个含多个变量的数学问题中 需要确定合适的变量和参数 从而揭示函数关系 使问题更明朗化 一般地 已知存在范围的量为变量 而待求范围的量为参数 变式训练 2 设f x g x 分别是定义在r上的奇函数和偶函数 当x 0时 f x g x f x g x 0 且g 3 0 则不等式f x g x 0的解集是 解析设f x f x g x 由于f x g x 分别是定义在r上的奇函数和偶函数 得f x f x g x f x g x f x 即f x 为奇函数 又当x 0时 f x f x g x f x g x 0 所以x 0时 f x 为增函数 因为奇函数在对称区间上的单调性相同 所以x 0时 f x 也是增函数 因为f 3 f 3 g 3 0 f 3 所以f x 0的解集是 3 0 3 如图 答案 3 0 3 考点三 运用函数与方程思想 解决数列问题 例3 设等差数列 an 的前n项和为sn 已知 a2 1 3 2009 a2 1 1 a2008 1 3 2009 a2008 1 1 则下列结论正确的是a s2009 2009 a2008 a2b s2009 2009 a2008 a2c s2009 2008 a2008 a2d s2009 2008 a2008 a2 审题导引 答案 a 规律总结 函数的思想方法在数列问题中的应用由于数列是一类特殊的函数 因此数列问题常借助于函数知识来处理 根据数列的有关公式列出方程 不等式 这是常见题型 进而转化为函数问题解决 变式训练 答案109 名师押题高考 押题依据 本题把方程的有解问题转化为求三角函数的值域问题 解题时需灵活构造函数 考查函数与方程思想的同时 考查了学生分析问题 解决问题的能力 押题2 某港口o要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上 在小艇出发时 轮船位于港口o北偏西30 且与该港口相距20海里的a处 并正以30海里 小时的航行速度沿正东方向匀速行驶 假设该小艇沿直线方向以v海里 小时的航行速度匀速行驶 经过t小时与轮船相遇 1 若希望相遇时小艇的航行距离最小 则小艇航行速度的大小应为多少 2 假设小艇的最高航行速度只能达到30海里 小时