【优化课堂】高中数学 第三章 3.3 3.3.4 简单线性规划问题的实际应用课件 新人教A版必修5.ppt

3 3 4简单线性规划问题的实际应用 1 从实际情境中抽象出简单的线性规划问题 建立数学模型 2 掌握线性规划问题的图解法 并能应用它解决一些简单的 实际问题 线性规划的理论和方法主要用于解决以下两类问题 一是在人力 物力 资金等资源一定的条件下 如何使用它们来完成最多的任务 二是给定一项任务 如何合理安排和规划 能以最少的人力 财力 物力 资金等资源来完成该项任务 线性规划解应用题的一般步骤 1 设出 x y z 约束条件 目标函数 2 列出 确定 3 画出 4 作目标函数表示的一族平行直线 使其中某条直线与 有交点 且使其截距最大或最小 可行域 5 判断 求出目标函数的 并回到原问题 中作答 最优解 最值 可行域 练习1 有5辆6吨的汽车 4辆4吨的汽车 要运送最多的货物 完成这项运输任务的线性目标函数为 x 1 练习2 已知变量x y满足y 2 x y 0 则x y的最小 值是 a 4c 2 b 3d 1 z 6x 4y c 1 简单线性规划在实际生产生活中主要解决哪些问题 答案 简单的线性规划在实际生产生活中应用非常广泛 主要解决的问题是 在资源的限制下 如何使用资源来完成最多的生产任务 或是给定一项任务 如何合理安排和规划 能以最少的资源来完成如常见的任务安排问题 配料问题 下料问题 布局问题 库存问题 通常解法是将实际问题转化为数学模型 归结为线性规划 使用图解法解决 2 应用线性规划的图解方法 应具备哪些条件 题型1 资源配置问题 例1 某工艺品加工厂准备生产具有收藏价值的奥运会标志 中国印 舞动的北京 和奥运会吉祥物 福娃 该厂所用的主要原料为a b两种贵重金属 已知生产一套奥运会标志需用原料a和原料b的量分别为4盒和3盒 生产一套奥运会吉祥物需用原料a和原料b的量分别为5盒和10盒 若奥运会标志每套可获利700元 奥运会吉祥物每套可获利1200元 该厂月初一次性购进原料a b的量分别为200盒和300盒 问该厂生产奥运会标志和奥运会吉祥物各多少套才能使该厂月利润最大 最大利润为多少 思维突破 将文字语言转化为数学式子建立线性规划模型 将点a 20 24 代入z 700 x 1200y 得zmax 700 20 1200 24 42800元答 当该厂生产奥运会标志和吉祥物分别为20 24套时 月利润最大 最大利润为42800元 解线性规划应用题时 先转化为简单的线性规划问题 再按如下步骤完成 作图 画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中的一条直线l 平移 将直线l平行移动 以确定最优解的对应点a的位置 求值 解有关方程组求出点a坐标 即最优解 代入目标函数 即可求出最值 变式与拓展 1 某糖果厂生产a b两种糖果 a种糖果每箱获利润40元 b种糖果每箱获利润50元 其生产过程分为混合 烹调 包装三道工序 下表为每箱糖果生产过程中所需平均时间 单位 分钟 每种糖果的生产过程中 混合的设备至多能用12小时 烹调的设备至多只能用机30小时 包装的设备只能用15小时 试求每种糖果各生产多少箱可获得最大利润 求目标函数z 40 x 50y的最大值 作出可行域 如图d28 其边界oa y 0 ab 3x y 900 0 bc 5x 4y 1800 0 cd x 2y 720 0 do x 0 图d28 题型2 降低资源消耗问题 例2 某工厂利用两种燃料生产三种不同的产品a b c 每消耗一吨燃料与产品a b c有下列关系 现知每吨燃料甲与燃料乙的价格之比为2 3 现需要三种产品a b c各50吨 63吨 65吨 问如何使用两种燃料 才能使该厂成本最低 思维突破 由于该厂成本与两种燃料使用量有关 而产品a b c又与这两种燃料有关 且这三种产品的产量也有限制 因此这是一道求线性目标函数在线性约束条件下的最小值问题 这类简单的线性规划问题一般都可以利用二元一次不等式组求在可行域上的最优解 自主解答 设该厂使用燃料甲x吨 燃料乙y吨 甲每吨 2t元 则乙每吨为3t元 则成本为z 2tx 3ty t 2x 3y 因此只需求2x 3y的最 小值即可 10 x 5y 50 又由题意 可得x y满足条件7x 9y 63 5x 13y 65 作出不等式组所表示的平面区域 如图d25 图d25 变式与拓展 2 医院用甲 乙两种原料为手术后的病人配营养餐 甲种原料每10g含5个单位蛋白质和10个单位铁质 售价3元 乙种原料每10g含7个单位蛋白质和4个单位铁质 售价2元 若病人每餐至少需要35个单位蛋白质和40个单位铁质 试问 应如何使用甲 乙原料 才能既满足营养 又使费用最省 图d29 题型3 整数解处理 例3 某公司每天至少要运送180t货物 公司有8辆载重为6t的a型卡车和4辆载重为10t的b型卡车 a型卡车每天可往返4次 b型卡车可往返3次 a型卡车每天花费320元 b型卡车每天花费504元 问如何调配车辆才能使公司每天花费最少 思维突破 设a型卡车x辆 b型卡车y辆 问题转化为线性规划问题 同时应注意到题中的x y只能取整数 自主解答 设a型卡车x辆 b型卡车y辆 则 0 x 8 0 y 4 24x 30y 180 0 x 8 即0 y 4 4x 5y 30 目标函数z 320 x 504y 作如图d26所示的可行域 图d26 做直线l 320 x 504y 0 在可行域中打上网格 找出 8 0 8 1 8 2 7 1 7 2 7 3 等整数点 作直线l 320 x 504y t与直线l 平行 可见当直线l过点 8 0 时 t最小 即zmin 8 320 2560 元 根据已知条件写出不等式组是做题的第一步 第二步画出可行域 第三步找出最优解 其中最困难的是第二步 整数解的线性规划问题 如果取最小值时不是整数点 则 考虑此点附近的整数点 例4 某沙漠地带 考察车每天行驶200千米 每辆考察车可以装载供行驶14天的汽油 现有5辆考察车 同时从驻地a出发 计划完成任务后 再沿原路返回驻地 为了让其中3辆车尽可能向更远的地方进行考察 然后再一起返回 甲 乙两车行至b处后 仅留足自己返回驻所必需的汽油 将多余的汽油供给另外3辆使用 问 其他3辆可以行进的最远路是多少千米 试解 设考察行至b处用了x天 从b处到最远处用了y天 则有2 3 x y 2x 14 5 即5x 3y 35 且x 0 y 0 同时从其余3辆车的载油量考虑 14 5 5 2 x 14 3 即x 4 5x 3y 35 下求z x y 于是问题转化为在约束条件x 4 y 0的最大值 作可行域 如图d27 则m 4 5 图d27 作直线l x y 0 向右平移过点m时 zmax 9 最远路程为200 4 5 1800 千米 易错点评 对线性的约束条件考虑不清不全 没考虑甲 乙两车供油后 自己还须返回这一条件 导致约束条件出错 1 线性规划的两类重要实际问题的解题思路 1 应准确建立数学模型 即根据题意找出约束条件 确定 线性目标函数 2 用图解法求得数学模型的解 即画出可行域 在可行域 内求得使目标函数取最值的解 3 还要根据实际意义将数学模型的解转化为实际问题的 解 即结合实际情况求得最优解 2 应用线性规划处