量子力学习题集1.doc

量子力学复习总结1.自由粒子可以看成是由平面波叠加而成的波包。 错2.若两个厄米算符不对易，它们可以有共同本征态。对3.量子体系的守恒量必须要有确定值。 错4.厄米算符的平均值和本征值一定为实数。 对5.电子自旋在空间的投影只能取两个值，导致碱金属谱线出现双线分裂现象。 错6.量子力学中的态叠加原理就是几率的叠加。 错7.描述量子态的波函数必定是单值，连续，有限的。 错8.若算符A,B为厄米算符,则A,B也是厄米算符。 错9.量子力学中，一切可观测力学量都是厄米算符。 对10.电子自旋的本质是电子本身在作高速自转。 错11.请给出德布罗意假设，并阐述其物理意义。，该公式首次将微观粒子波动性和粒子性的联系在一个公式中表示。12. 自由粒子位于坐标位置，请分别写出其在动量空间和坐标空间波函数的表示，和坐标算符在动量表象中的形式。其在坐标表象中可以表示为；其在动量表象中可以表示为。13. 波函数和（a为实数）描述的是体系的同一状态吗？为什么？是. 根据波函数的统计诠释,只有几率密度有物理上的实质作用.14. 动量的分量的本征态为什么。由本征方程，得，归一化后得15.为氢原子中电子的波函数，其中分别是什么量子数，其取值范围各是多少？n为主量子数，取值范围1，2，3，.； 为轨道角动量量子数，取值范围0，1，2，3，n-1; m为轨道方向量子数（磁量子数），取值范围-，-+1，0，-1,; 为自旋方向量子数，取值范围-，代表电子自旋取向。16.设，的本征方程为,即是的本征值为的本征方程，证明和也是的本征值分别为和的本征函数。17. 试阐述玻色子和费米子的区别。(1)玻色子体系的波函数对于两个粒子交换对称，而费米子体系的波函数波对于两个粒子交换反对称；(2）玻色子的自旋为的整数倍，而费米子的自旋为的半奇数倍；(3)玻色子遵循波色-爱因斯坦统计，费米子遵循费米-狄拉克统计。18. 一维谐振子的动量平均值和坐标平均值分别为多少，为什么？对于()的共同本征态，坐标平均值为0，因为由谐振子波函数的正交性关系可得 动量平均值为0，因为由谐振子波函数的正交性关系可得 19.请分别给出具有确定动量的自由粒子在坐标表象和动量表象的波函数。答： 坐标表象中为;动量表象中为。20.为氢原子中电子的波函数，其中分别是什么量子数，其取值范围各是多少？答: n为主量子数，取值范围0,1，2，3，；21.为一算符，且有，求算符的本征值?设为算符的本征态，为其对应的本征值，则有 ，上面两式可得 ；得到 ，则即为所求本征值。22.物理中的守恒现象是与对称性高度相关的，试阐述能量守恒，动量守恒及角动量守恒所对应的对称性。 如体系具有时间平移不变性，即对应能量守恒； 如体系具有空间平移不变性，即对应动量守恒； 如体系具有空间旋转不变性， 即对应角动量守恒。23. 设一维自由粒子的初态，求。由于初态是一个动量的本征态，具有确定的动量，因而具有确定的能量 定态，因此。24. 平面转子的哈密顿算符为，为转动惯量，求能量本征值和本征函数。 能量本征方程表为， 为能量本征值，由于角动量z分量对易，因此平面转子的哈密顿量与角动量分量有共同的本征函数及本征态即为 相应的能量本征值为。25、升降算符，试证 26、和的平均值为 27、，和为任意算符，请证明雅克比恒等式 成立。28、为动量算符，为角动量算符，则有 成立。 证明：同理， 所以29、粒子在无限深势阱中运动，求粒子的能量和波函数。在势阱内(0xa) ,定态薛定谔方程为 则方程的一般解为 式中,A和d是待定常数.因势壁无限高,从物理上讲,粒子不可能透过势壁而出现在势阱之外,故势阱外波函数为零, 由波函数的连续条件,要求y(0)=0,即Asind=0,得d=0.再由y(a)=0,得所以即 注意n=0给出的波函数,无物理意义,而n取负整数给出的函数与n取正整数给出的波函数相差一负号,由波函数的统计诠释,二者表示粒子的同一状态,n只取正整数即可.这样, 粒子的能量为对应的波函数为利用归一化条件,得取,得归一化波函数为2014121086420 30、一粒子处于态, 求角动量的平方及其Z分量的可能值和平均值.的可能值为和,相应的几率分别为和,因此的平均值为 的可能值为和0, 相应的几率分别为和,因此的平均值为 31、设氢原子的状态为，求：（1）轨道角动量z分量和自旋角动量的平均值（Sz= ） (2) 求总磁矩的z分量的平均值 （1） （2） 32、一质量为m的粒子在一维势阱中运动，求粒子的能级和相应归一化波函数。如果把x的定义与延拓到，则问题化为通常的一维谐振子。此时由于，即势能具有空间反射性。根据定理，如果是方程的解，则也是方程的解，且有 (1) 现在，由于在区域因此在区域(包括)。因此，根据波函数在处的连续性，。在处，由式(1)得 (2) 式(2)只有在n为奇数时，从而才成立。因此，本题只有奇宇称解： (3) 相应的能量： (4) 33、氢原子基态波函数为其中为玻尔半径，求。因为，因此，首先需求，。 ， 因为x是