平面向量教案.doc

第五章 平面向量第一教时教材：向量目的：要求学生掌握向量的意义、表示方法以及有关概念，并能作一个向量与已知向量相等，根据图形判定向量是否平行、共线、相等。过程：A B一、 开场白：课本P93（略）实例：老鼠由A向西北逃窜，猫在B处向东追去， 问：猫能否追到老鼠？（画图）结论：猫的速度再快也没用，因为方向错了。二、 提出课题：平面向量1 意义：既有大小又有方向的量叫向量。例：力、速度、加速度、冲量等注意：1数量与向量的区别： 数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小； 向量有方向，大小，双重性，不能比较大小。 A(起点) B（终点）a 2从19世纪末到20世纪初，向量就成为一套优良通性的数学体系，用以研究空间性质。2 向量的表示方法： 1几何表示法：点射线 有向线段具有一定方向的线段 有向线段的三要素：起点、方向、长度AB北 记作（注意起讫） 2字母表示法：可表示为（印刷时用黑体字） P95 例 用1cm表示5n mail（海里）3 模的概念：向量的大小长度称为向量的模。 记作：| 模是可以比较大小的4 两个特殊的向量： 1零向量长度（模）为0的向量，记作。的方向是任意的。 注意与0的区别 2单位向量长度（模）为1个单位长度的向量叫做单位向量。例：温度有零上零下之分，“温度”是否向量？答：不是。因为零上零下也只是大小之分。 例：与是否同一向量？ 答：不是同一向量。 例：有几个单位向量？单位向量的大小是否相等？单位向量是否都相等？ 答：有无数个单位向量，单位向量大小相等，单位向量不一定相等。三、 向量间的关系：1 平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。abc 记作： 规定：与任一向量平行2 相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。 记作：= 规定：= 任两相等的非零向量都可用一有向线段表示，与起点无关。3 共线向量：任一组平行向量都可移到同一条直线上 ， 所以平行向量也叫共线向量。C O B A = = =例：（P95）略变式一：与向量长度相等的向量有多少个？（11个）变式二：是否存在与向量长度相等、方向相反的向量？（存在）变式三：与向量共线的向量有哪些？（）四、 小结：五、 作业：P96 练习 习题5.1第二教时教材：向量的加法目的：要求学生掌握向量加法的意义，并能运用三角形法则和平行四边形法则作几个向量的和向量。能表述向量加法的交换律和结合律，并运用它进行向量计算。过程：六、 复习：向量的定义以及有关概念强调：1向量是既有大小又有方向的量。长度相等、方向相同的向量相等。 2正因为如此，我们研究的向量是与起点无关的自由向量，即任何向量可以在不改变它的方向和大小的前提下，移到任何位置。七、 提出课题：向量是否能进行运算？A B C5 某人从A到B，再从B按原方向到C， 则两次的位移和：C A B6 若上题改为从A到B，再从B按反方向到C，A BC 则两次的位移和：7 某车从A到B，再从B改变方向到C，A BC 则两次的位移和：8 船速为，水速为， 则两速度和：提出课题：向量的加法 三、1定义：求两个向量的和的运算，叫做向量的加法。 注意：；两个向量的和仍旧是向量（简称和向量）aaaCCCBBBAAA 2三角形法则：a+bbabba+ba+b 强调： 1“向量平移”（自由向量）：使前一个向量的终点为后一个向量的起点 2可以推广到n个向量连加 3 4不共线向量都可以采用这种法则三角形法则OABaaabbb 3例一、已知向量、，求作向量+ 作法：在平面内取一点， 作 则4加法的交换律和平行四边形法则 上题中+的结果与+是否相同 验证结果相同 从而得到：1向量加法的平行四边形法则 2向量加法的交换律：+=+ABCDaca+b+cba+bb+c9 向量加法的结合律：(+) +=+ (+)证：如图：使, , 则(+) += + (+) =(+) +=+ (+)从而，多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行。四、例二（P9899）略五、小结：1向量加法的几何法则 2交换律和结合律 3注意：|+| | + |不一定成立，因为共线向量不然。六、作业：P99100 练习 P102 习题5.2 13第三教时教材：向量的减法目的：要求学生掌握向量减法的意义与几何运算，并清楚向量减法与加法的关系。过程：八、 复习：向量加法的法则：三角形法则与平行四边形法则A B D C 向量加法的运算定律：例：在四边形中，解：九、 提出课题：向量的减法1 用“相反向量”定义向量的减法 1“相反向量”的定义：与a长度相同、方向相反的向量。记作 -a 2规定：零向量的相反向量仍是零向量。-(-a) = a 任一向量与它的相反向量的和是零向量。a + (-a) = 0 如果a、b互为相反向量，则a = -b, b = -a, a + b = 0 3向量减法的定义：向量a加上的b相反向量，叫做a与b的差。 即：a - b = a + (-b) 求两个向量差的运算叫做向量的减法。2 用加法的逆运算定义向量的减法： 向量的减法是向量加法的逆运算：OabBaba-b 若b + x = a，则x叫做a与b的差，记作a - b3 求作差向量：已知向量a、b，求作向量 (a-b) + b = a + (-b) + b = a + 0 = a 作法：在平面内取一点O， 作= a, = b 则= a - b 即a - b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量。 注意：1表示a - b。强调：差向量“箭头”指向被减数 2用“相反向量”定义法作差向量，a - b = a + (-b) 显然，此法作图较繁，但最后作图可统一。OABaBb-bbBa+ (-b)aba-bAABBBOa-baabbOAOBa-ba-bBAO-b4 abc a - b = a + (-b) a - b十、 例题：例一、（P101 例三）已知向量a、b、c、d，求作向量a-b、c-d。 解：在平面上取一点O，作= a, = b, = c, = d, ABCbadcDO 作, , 则= a-b, = c-dA B D C例二、平行四边形中，用表示向量， 解：由平行四边形法则得： = a + b, = = a-b变式一：当a, b满足什么条件时，a+b与a-b垂直？（|a| = |b|）变式二：当a, b满足什么条件时，|a+b| = |a-b|？（a, b互相垂直）变式三：a+b与a-b可能是相当向量吗？（不可能， 对角线方向不同）十一、 小结：向量减法的定义、作图法|十二、 作业： P102 练习 P103 习题5.2 48第四教时教材：向量、向量的加法、向量的减法综合练习教学与测试64、65、66课目的：通过练习要求学生明确掌握向量的概念、几何表示、共线向量的概念，掌握向量的加法与减法的意义与几何运算。过程：十三、 复习：1向量的概念：定义、表示法、模、零向量、单位向量、平行向量、 相等向量、共线向量 2向量的加法与减法：定义、三角形法则、平行四边形法则、运算定律十四、 1处理教学与测试P135136 第64课 （略）2 处理教学与测试P137138 第65课例一、 设a表示“向东走3km”，b表示“向北走3km”， B a+b bO a A 则a + b表示向东北走km 解：= + (km)例二、 试用向量方法证明：对角线互相平分的四边形是平行四边形。A B D CO 证：由向量加法法则： = +, = + 由已知：=, = = 即AB与CD平行且相等 A BO P C E F ABCD为平行四边形例三、 在正六边形中，若= a, = b，试用 向量a、b将、表示出来。 解：设正六边形中心为P 则a + b + a a + b + a + b 由对称性：= b + b + a3 处理教学与测试P139140 第66课 （略）十五、 有时间可处理“备用题”：例一、化简 解：= = 0A B D C30上游下游例二、在静水中划船的速度是每分钟40，水流的速度是每分钟20，如果船从岸边出发，径直沿垂直与水流的航线到达对岸，那么船行进的方向应该指向何处？ 解：如图：船航行的方向是 与河岸垂直方向成30夹角， 即指向河的上游。 十六、 作业：上述三课中的练习部分（选）第五教时教材：实数与向量的积目的：要求学生掌握实数与向量的积的定义、运算律，理解向量共线的充要条件。过程：一、复习：向量的加法、减法的定义、运算法则。二、1引入新课：已知非零向量 作出+和(-)+(-)+(-)BAOCPQMN=+=3=(-)+(-)+(-)=-3 讨论：13与方向相同且|3|=3| 2-3与方向相反且|-3|=3|2从而提出课题：实数与向量的积 实数与向量的积，记作：定义：实数与向量的积是一个向量，记作： 1|=|20时与方向相同；时 两边向量的方向都与同向当0且1时在平面内任取一点O，作 则+ +由作法知：有OAB=OA1B1 |=| OABOA1B1 AOB= A1OB1 因此，O，B，B1在同一直线上，|=| 与方向也相同AOBB1A1(+)=+ 当0(内分) (外分) 0 (-1) ( 外分)0 (-10内分 0，(a)b =|a|b|cosq， (ab) =|a|b|cosq， a(b) =|a|b|cosq， 若 0，(a)b =|a|b|cos(p-q) = -|a|b|(-cosq) =|a|b|cosq， (ab) =|a|b|cosq， a(b) =|a|b|cos(p-q) = -|a|b|(-cosq) =|a|b|cosq。12 (a + b)c = ac + bcqq1q2abABOA1B1Cc 在平面内取一点O，作= a, = b，= c， a + b （即）在c方向上的投影 等于a、b在c方向上的投影和， 即：|a + b| cosq = |a| cosq1 + |b| cosq2 | c | |a + b| cosq =|c| |a| cosq1 + |c| |b| cosq2 c(a + b) = ca + cb 即：(a + b)c = ac + bc13 例题：P118119 例二、例三、例四 （从略）二十五、 应用例题：（教学与测试第27课P156 例二、例三）例一、 已知a、b都是非零向量，且a + 3b与7a - 5b垂直， a - 4b与7a - 2b垂直，求a与b的夹角。 解：由(a + 3b)(7a - 5b) = 0 7a2 + 16ab -15b2 = 0 (a - 4b)(7a - 2b) = 0 7a2 - 30ab + 8b2 = 0 两式相减：2ab = b2 代入或得：a2 = b2 设a、b的夹角为q，则cosq = q = 60例二、求证：平行四边形两条对角线平方和等于四条边的平方和。A B D C 解：如图： ABCD中：，= |2= 而= |2= |2 + |2 = 2= 二十六、 小结：运算律二十七、 作业： P119 习题5.6 7、8 A B D C 教学与测试P152 练习第十三教时教材：平面向量的数量积的坐标表示目的：要求学生掌握平面向量数量积的坐标表示，掌握向量垂直的坐标表示的充要条件。过程：二十八、 复习：1平面向量的坐标表示及加、减、实数与向量的乘积的坐标表示2平面向量数量积的运算3两平面向量垂直的充要条件4两向量共线的坐标表示：二十九、 课题：平面两向量数量积的坐标表示14 设a = (x1, y1)，b = (x2, y2)，x轴上单位向量i，y轴上单位向量j， 则：ii = 1，jj = 1，ij = ji = 015 推导坐标公式： a = x1i + y1j, b = x2i + y2j ab = (x1i + y1j )(x2i + y2j) = x1x2i2 + x1y1ij + x2y1ij + y1y2j2 = x1x2 + y1y2从而获得公式：ab = x1x2 + y1y2例一、 设a = (5, -7)，b = (-6, -4)，求ab 解：ab = 5(-6) + (-7)(-4) = -30 + 28 = -216 长度、角度、垂直的坐标表示 1a = (x, y) |a|2 = x2 + y2 |a| = 2若A = (x1, y1)，B = (x2, y2)，则= 3 cosq = 4ab ab = 0 即x1x2 + y1y2 = 0（注意与向量共线的坐标表示原则）17 例二、已知A(1, 2)，B(2, 3)，C(-2, 5)，求证：ABC是直角三角形。 证：=(2-1, 3-2) = (1, 1), = (-2-1, 5-2) = (-3, 3) =1(-3) + 13 = 0 ABC是直角三角形 三、补充例题：处理教学与测试P153 第73课例三、已知a = (3, -1)，b = (1, 2)，求满足xa = 9与xb = -4的向量x。 解：设x = (t, s)， 由xa = 9 3t - s = 9 t = 2 由xa = 9 3t - s = 9 s = -3 x = (2, -3)AOB例四、如图，以原点和A(5, 2)为顶点作等腰直角OAB，使B = 90， 求点B和向量的坐标。 解：设B点坐标(x, y)，则= (x, y)，