《运筹学》线性规划课件

运筹学OperationsResearch Chapter1线性规划LinearProgramming 1 1LP的数学模型MathematicalModelofLP1 2图解法GraphicalMethod1 3标准型StandardformofLP1 4基本概念BasicConcepts1 5单纯形法SimplexMethod 1 1数学模型MathematicalModel 2020年2月27日星期四 1 1线性规划的数学模型MathematicalModelofLP 线性规划 LinearProgramming 缩写为LP 通常研究资源的最优利用 设备最佳运行等问题 例如 当任务或目标确定后 如何统筹兼顾 合理安排 用最少的资源 如资金 设备 原标材料 人工 时间等 去完成确定的任务或目标 企业在一定的资源条件限制下 如何组织安排生产获得最好的经济效益 如产品量最多 利润最大 2020年2月27日星期四 例1 1 生产计划问题 某企业在计划期内计划生产甲 乙两种产品 按工艺资料规定 需要A B两种原材料的数量 获利情况 以及两种材料数量限制见表1 1 企业决策者应如何安排生产计划 使企业在计划期内总的利润收入最大 1 1线性规划的数学模型MathematicalModelofLP 1 1 1应用模型举例 表1 1 2020年2月27日星期四 解 设x1 x2分别为甲 乙产品的产量 数学模型为 1 1线性规划的数学模型MathematicalModelofLP 2020年2月27日星期四 线性规划的数学模型由 决策变量Decisionvariables目标函数Objectivefunction及约束条件Constraints构成 称为三个要素 其特征是 1 解决问题的目标函数是多个决策变量的线性函数 通常是求最大值或最小值 2 解决问题的约束条件是一组多个决策变量的线性不等式或等式 怎样辨别一个模型是线性规划模型 1 1线性规划的数学模型MathematicalModelofLP 2020年2月27日星期四 1 1线性规划的数学模型MathematicalModelofLP 例1 2 2020年2月27日星期四 2020年2月27日星期四 例1 3 某商场决定 营业员每周连续工作5天后连续休息2天 轮流休息 根据统计 商场每天需要的营业员如表1 2所示 表1 2营业员需要量统计表 商场人力资源部应如何安排每天的上班人数 使商场总的营业员最少 1 1线性规划的数学模型MathematicalModelofLP 2020年2月27日星期四 解 设xj j 1 2 7 为休息2天后星期一到星期日开始上班的营业员 则这个问题的线性规划模型为 1 1线性规划的数学模型MathematicalModelofLP 2020年2月27日星期四 最优解 Z 617 人 1 1线性规划的数学模型MathematicalModelofLP 2020年2月27日星期四 例1 4 合理用料问题 某汽车需要用甲 乙 丙三种规格的轴各一根 这些轴的规格分别是1 5 1 0 7 m 这些轴需要用同一种圆钢来做 圆钢长度为4m 现在要制造1000辆汽车 最少要用多少圆钢来生产这些轴 解 这是一个条材下料问题 设切口宽度为零 设一根圆钢切割成甲 乙 丙三种轴的根数分别为y1 y2 y3 则切割方式可用不等式1 5y1 y2 0 7y3 4表示 求这个不等式关于y1 y2 y3的非负整数解 象这样的非负整数解共有10组 也就是有10种下料方式 如表1 3所示 表1 3下料方案 1 1线性规划的数学模型MathematicalModelofLP 2020年2月27日星期四 设xj j 1 2 10 为第j种下料方案所用圆钢的根数 则用料最少数学模型为 求下料方案时应注意 余料不能超过最短毛坯的长度 最好将毛坯长度按降的次序排列 即先切割长度最长的毛坯 再切割次长的 最后切割最短的 不能遗漏了方案 如果方案较多 用计算机编程排方案 去掉余料较长的方案 进行初选 1 1线性规划的数学模型MathematicalModelofLP 2020年2月27日星期四 Z 812 5 1 1线性规划的数学模型MathematicalModelofLP 2020年2月27日星期四 例1 5 配料问题 某钢铁公司生产一种合金 要求的成分规格是 锡不少于28 锌不多于15 铅恰好10 镍要界于35 55 之间 不允许有其他成分 钢铁公司拟从五种不同级别的矿石中进行冶炼 每种矿物的成分含量和价格如表1 4所示 矿石杂质在治炼过程中废弃 现要求每吨合金成本最低的矿物数量 假设矿石在冶炼过程中 合金含量没有发生变化 表1 4矿石的金属含量 1 1线性规划的数学模型MathematicalModelofLP 2020年2月27日星期四 解 设xj j 1 2 5 是第j种矿石数量 得到下列线性规划模型 注意 矿石在实际冶炼时金属含量会发生变化 建模时应将这种变化考虑进去 有可能是非线性关系 配料问题也称配方问题 营养问题或混合问题 在许多行业生产中都能遇到 1 1线性规划的数学模型MathematicalModelofLP 2020年2月27日星期四 最优解 Z 347 5 1 1线性规划的数学模型MathematicalModelofLP 2020年2月27日星期四 1 1线性规划的数学模型MathematicalModelofLP 例1 6 投资问题 某投资公司拟将5000万元的资金用于国债 地方国债及基金三种类型证券投资 每类各有两种 每种证券的评级 到期年限及每年税后收益率见表1 5所示 表1 5证券投资方案 决策者希望 国债投资额不少于1000万 平均到期年限不超过5年 平均评级不超过2 问每种证券各投资多少使总收益最大 2020年2月27日星期四 1 1线性规划的数学模型MathematicalModelofLP 解设xj j 1 2 6 为第j种证券的投资额 目标函数是税后总收益为 资金约束 国债投资额约束 平均评级约束 平均到期年限约束 2020年2月27日星期四 整理后得到线性规划模型 1 1线性规划的数学模型MathematicalModelofLP 2020年2月27日星期四 例1 7 均衡配套生产问题 某产品由2件甲 3件乙零件组装而成 两种零件必须经过设备A B上加工 每件甲零件在A B上的加工时间分别为5分钟和9分钟 每件乙零件在A B上的加工时间分别为4分钟和10分钟 现有2台设备A和3台设备B 每天可供加工时间为8小时 为了保持两种设备均衡负荷生产 要求一种设备每天的加工总时间不超过另一种设备总时间1小时 怎样安排设备的加工时间使每天产品的产量最大 解 设x1 x2为每天加工甲 乙两种零件的件数 则产品的产量是 设备A B每天加工工时的约束为 要求一种设备每台每天的加工时间不超过另一种设备1小时的约束为 1 1线性规划的数学模型MathematicalModelofLP 2020年2月27日星期四 目标函数线性化 产品的产量y等价于 整理得到线性规划模型 约束线性化 将绝对值约束写成两个不等式 1 1线性规划的数学模型MathematicalModelofLP 2020年2月27日星期四 1 1 2线性规划的一般模型一般地 假设线性规划数学模型中 有m个约束 有n个决策变量xj j 1 2 n 目标函数的变量系数用cj表示 cj称为价值系数 约束条件的变量系数用aij表示 aij称为工艺系数 约束条件右端的常数用bi表示 bi称为资源限量 则线性规划数学模型的一般表达式可写成 为了书写方便 上式也可写成 1 1线性规划的数学模型MathematicalModelofLP 2020年2月27日星期四 在实际中一般xj 0 但有时xj 0或xj无符号限制 1 1线性规划的数学模型MathematicalModelofLP 2020年2月27日星期四 1 什么是线性规划 掌握线性规划在管理中的几个应用例子2 线性规划数学模型的组成及其特征3 线性规划数学模型的一般表达式 1 1线性规划的数学模型MathematicalModelofLP 下一节 图解法 1 2图解法GraphicalMethod 2020年2月27日星期四 图解法的步骤 1 求可行解集合 分别求出满足每个约束包括变量非负要求的区域 其交集就是可行解集合 或称为可行域 2 绘制目标函数图形 先过原点作一条矢量指向点 c1 c2 矢量的方向就是目标函数增加的方向 称为梯度方向 再作一条与矢量垂直的直线 这条直线就是目标函数图形 3 求最优解 依据目标函数求最大或最小移动目标函数直线 直线与可行域相交的点对应的坐标就是最优解 一般地 将目标函数直线放在可行域中求最大值时直线沿着矢量方向移动求最小值时沿着矢量的反方向移动 1 2图解法TheGraphicalMethod 2020年2月27日星期四 x1 x2 O 10 20 30 40 10 20 30 40 300 400 15 10 最优解X 15 10 最优值Z 8500 例1 7 1 2图解法TheGraphicalMethod 2020年2月27日星期四 2 4 6 x1 x2 2 4 6 最优解X 3 1 最优值Z 5 3 1 minZ x1 2x2 例1 8 1 2 1 2图解法TheGraphicalMethod 2020年2月27日星期四 2 4 6 x1 x2 2 4 6 X 2 3 1 X 1 1 3 5 5 minZ 5x1 5x2 例1 9 有无穷多个最优解即具有多重解 通解为 0 1 当 0 5时 x1 x2 0 5 1 3 0 5 3 1 2 2 1 2图解法TheGraphicalMethod 2020年2月27日星期四 2 4 6 x1 x2 2 4 6 1 2 无界解 无最优解 maxZ x1 2x2 例1 10 1 2图解法TheGraphicalMethod 2020年2月27日星期四 x1 x2 O 10 20 30 40 10 20 30 40 50 50 无可行解即无最优解 maxZ 10 x1 4x2 例1 11 1 2图解法TheGraphicalMethod 2020年2月27日星期四 由以上例题可知 线性规划的解有4种形式 1 有唯一最优解 例1 7例1 8 2 有多重解 例1 9 3 有无界解 例1 10 4 无可行解 例1 11 1 2情形为有最优解3 4情形为无最优解 1 2图解法TheGraphicalMethod 2020年2月27日星期四 1 通过图解法了解线性规划有几种解的形式2 作图的关键有三点 1 可行解区域要画正确 2 目标函数增加的方向不能画错 3 目标函数的直线怎样平行移动 作业 教材习题1 7 1 2图解法TheGraphicalMethod 下一节 线性规划的标准型 1 3线性规划的标准型StandardformofLP 2020年2月27日星期四 在用单纯法求解线性规划问题时 为了讨论问题方便 需将线性规划模型化为统一的标准形式 1 3线性规划的标准型StandardformofLP 线性规划问题的标准型为 1 目标函数求最大值 或求最小值 2 约束条件都为等式方程3 变量xj非负4 常数bi非负 2020年2月27日星期四 max 或min Z c1x1 c2x2 cnxn 1 3线性规划的标准型StandardformofLP 注 本教材默认目标函数是max 2020年2月27日星期四 或写成下列形式 或用矩阵形式 1 3线性规划的标准型StandardformofLP 2020年2月27日星期四 通常X记为 称 为约束方程的系数矩阵 m是约束方程的个数 n是决策变量的个数 一般情况m n 且r m 其中 1 3线性规划的标准型StandardformofLP 2020年2月27日星期四 例1 12 将下列线性规划化为标准型 解 因为x3无符号要求 即x3取正值也可取负值 标准型中要求变量非负 所以令 1 3线性规划的标准型StandardformofLP 2020年2月27日星期四 3 第二个约束条件是 号 在 号左端减去剩余变量 Surplusvariable x5 x5 0 也称松驰变量 1 3线性规划的标准型StandardformofLP 2 第一个约束条件是 号 在 左端加入松驰变量 slackvariable x4 x4 0 化为等式 4 第三个约束条件是 号且常数项为负数 因此在 左边加入松驰变量x6 x6 0 同时两边乘以 1 5 目标函数是最小值 为了化为求最大值 令Z Z 得到maxZ Z 即当Z达到最小值时Z 达到最大值 反之亦然 2020年2月27日星期四 综合起来得到下列标准型 1 3线性规划的标准型StandardformofLP 2020年2月27日星期四 当某个变量xj 0时 令x j xj 当某个约束是绝对值不等式时 将绝对值不等式化为两个不等式 再化为等式 例如约束 将其化为两个不等式 再加入松驰变量化为等式 1 3线性规划的标准型StandardformofLP 2020年2月27日星期四 例1 13 将下例线性规划化为标准型 解 此题关键是将目标函数中的绝对值去掉 令 则有 1 3线性规划的标准型StandardformofLP 2020年2月27日星期四 得到线性规划的标准形式 1 3线性规划的标准型StandardformofLP 对于a x b a b均大于零 的有界变量化为标准形式有两种方法 一种方法是增加两个约束x a及x b另一种方法是令x x a 则a x b等价于0 x b a 增加一个约束x b a并且将原问题所有x用x x a替换 2020年2月27日星期四 1 如何化标准形式 可以对照四条标准逐一判断 标准形式是人为定义的 目标函数可以是求最小值 2 用WinQSB软件求解时 不必化成标准型 图解法时不必化为标准型 3 单纯形法求解时一定要化为标准型 作业 教材习题1 8 1 3线性规划的标准型StandardformofLP 下一节 基本概念 1 4线性规划的有关概念BasicConceptsofLP 2020年2月27日星期四 设线性规划的标准型maxZ CX 1 1 AX b 1 2 X 0 1 3 式中A是m n矩阵 m n并且r A m 显然A中至少有一个m m子矩阵B 使得r B m 1 4基本概念BasicConcepts 基 basis A中m m子矩阵B并且有r B m 则称B是线性规划的一个基 或基矩阵basismatrix 当m n时 基矩阵唯一 当m n时 基矩阵就可能有多个 但数目不超过 2020年2月27日星期四 例1 14 线性规划 求所有基矩阵 解 约束方程的系数矩阵为2 5矩阵 容易看出r A 2 2阶子矩阵有C52 10个 其中第1列与第3列构成的2阶矩阵不是一个基 基矩阵只有9个 即 1 4基本概念BasicConcepts 2020年2月27日星期四 由线性代数知 基矩阵B必为非奇异矩阵并且 B 0 当矩阵B的行列式等式零即 B 0时就不是基 当确定某一矩阵为基矩阵时 则基矩阵对应的列向量称为基向量 basisvector 其余列向量称为非基向量 基向量对应的变量称为基变量 basisvariable 非基向量对应的变量称为非基变量 在上例中B2的基向量是A中的第一列和第四列 其余列向量是非基向量 x1 x4是基变量 x2 x3 x5是非基变量 基变量 非基变量是针对某一确定基而言的 不同的基对应的基变量和非基变量也不同 1 4基本概念BasicConcepts 2020年2月27日星期四 可行解 feasiblesolution 满足式 1 2 及 1 3 的解X x1 x2 xn T称为可行解 基本可行解 basisfeasiblesolution 若基本解是可行解则称为是基本可行解 也称基可行解 例如 与X 0 0 0 3 2 都是例1 14的可行解 基本解 basissolution 对某一确定的基B 令非基变量等于零 利用式 1 解出基变量 则这组解称为基 的基本解 最优解 optimalsolution 满足式 1 1 的可行解称为最优解 即是使得目标函数达到最大值的可行解就是最优解 例如可行解是例1 14的最优解 非可行解 Infeasiblesolution 无界解 unboundsolution 1 4基本概念BasicConcepts 2020年2月27日星期四 显然 只要基本解中的基变量的解满足式 1 的非负要求 那么这个基本解就是基本可行解 在例1 14中 对 来说 x1 x2是基变量 x3 x4 x5是非基变量 令x3 x4 x5 0 则式 1 为 对B2来说 x1 x4 为基变量 令非基变量x2 x3 x5为零 由式 1 2 得到 x4 4 因 B1 由克莱姆法则知 x1 x2有唯一解x1 2 5 x2 1则基本解为 1 4基本概念BasicConcepts 2020年2月27日星期四 由于是基本解 从而它是基本可行解 在中x1 0 因此不是可行解 也就不是基本可行解 反之 可行解不一定是基本可行解例如满足式 1 2 1 3 但不是任何基矩阵的基本解 基本解为 1 4基本概念BasicConcepts 2020年2月27日星期四 线性规划解的性质 线性规划解的概念线性规划问题的几何意义 单纯形法原理 2020年2月27日星期四 线性规划解的性质 标准型可行解 满足AX b X 0的解X称为线性规划问题的可行解 最优解 使Z CX达到最大值的可行解称为最优解 2020年2月27日星期四 基 若B是矩阵A中m m阶非奇异子矩阵 B 0 则B是线性规划问题的一个基 不妨设 线性规划问题解的概念 j 1 2 m 基向量 j 1 2 m 基变量 j m 1 n 非基变量 2020年2月27日星期四 求解 线性规划问题解的概念 2020年2月27日星期四 线性规划问题解的概念 T 基变量令可求出 基解 称上面求出的X解为基解 基可行解 非负的基解X称为基可行解可行基 对应基可行解的基称为可行基基本最优解最优解是基本解称为基本最优解 最优基基本最优解对应的基称为最优基 2020年2月27日星期四 基本最优解 最优解 基本可行解 基本解 可行解的关系如下所示 基本最优解 基本可行解 可行解 最优解 基本解 1 4基本概念BasicConcepts 2020年2月27日星期四 线性规划问题解的概念 线性规划解的关系图 最优解 2020年2月27日星期四 线性规划问题解的概念 例 求基解 基可行解 最优解 2020年2月27日星期四 线性规划问题解的概念 解 最优解 2020年2月27日星期四 线性规划问题的几何意义 线性规划问题的几何意义 基本概念凸集 2020年2月27日星期四 线性规划问题的几何意义 顶点 若K是凸集 X K 若X不能用不同的两点的线性组合表示为 则X为顶点 2020年2月27日星期四 凸组合 2020年2月27日星期四 基本定理 定理1 1 若线性规划问题存在可行域 可行域非空 则其可行域是凸集 2020年2月27日星期四 几点结论 定理1 2刻划了可行解集的极点与基本可行解的对应关系 极点是基本可行解 反之 基本可行解一定是极点 但它们并非一一对应 有可能两个或几个基本可行解对应于同一极点 退化基本可行解时 定理1 3描述了最优解在可行解集中的位置 若最优解唯一 则最优解只能在某一极点上达到 若具有多重最优解 则最优解是某些极点的凸组合 从而最优解是可行解集的极点或界点 不可能是可行解集的内点 2020年2月27日星期四 若线性规划的可行解集非空且有界 则一定有最优解 若可行解集无界 则线性规划可能有最优解 也可能没有最优解 定理1 2及1 3还给了我们一个启示 寻求最优解不是在无限个可行解中去找 而是在有限个基本可行解中去寻求 下一节将介绍一种有效地寻找最优解的方法 几点结论 2020年2月27日星期四 图解法 可行域为凸集目标函数不同时等值线的斜率不同最优解在顶点产生 2020年2月27日星期四 图解法 可行域为凸集目标函数不同时等值线的斜率不同最优解在顶点产生 2020年2月27日星期四 1 线性规划常用的概念 可行解 基本解 基本可行解 最优解 基本最优解 基 可行基 最优基 凸集 极点 凸点 凸组合 2 线性规划的三个基本定理 作业 教材习题1 9 1 4基本概念BasicConcepts 下一节 单纯形法 1 5单纯形法SimplexMethod 2020年2月27日星期四 单纯形计算方法 SimplexMethod 是先求出一个初始基可行解并判断它是否最优 若不是最优 再换一个基可行解并判断 直到得出最优解或无最优解 它是一种逐步逼近最优解的迭代方法 1 5单纯形法SimplexMethod 1 5 1普通单纯形法 单纯形法的基本思路 从可行域中某一个顶点开始 判断此顶点是否是最优解 如不是 则再找另一个使得其目标函数值更优的顶点 称之为迭代 再判断此点是否是最优解 直到找到一个顶点为其最优解 就是使得其目标函数值最优的解 或者能判断出线性规划问题无最优解为止 当系数矩阵A中可以观察得到一个可行基时 通常是一个单位矩阵或m个线性无关的单位向量组成的矩阵 可以通过解线性方程组求得基本可行解 2020年2月27日星期四 试以下例来讨论如何用单纯形法求解 标准型为 约束方程式的系数矩阵 基向量 非基向量 第一步 先把问题标准化 2020年2月27日星期四 从 1 12 可以看到x3 x4 x5的系数列向量 是线性独立的 这些向量构成一个基 令非基变量为0 解出基变量得基可行解 2020年2月27日星期四 对应于B的变量x3 x4 x5为基变量 从 1 12 式中可以得到 将 1 13 式代入目标函数 1 11 式得到 当令非基变量x1 x2 0 便得到z 0 这时得到一个基可行解X 0 不是最优解 2020年2月27日星期四 由 1 14 可以看出 非基变量x1 x2的系数都是正数 因此将非基变量变为基变量 目标函数的值就可能增大 所以只要在目标函数的表达式中还存在有正系数的非基变量 这表示目标函数值还有增加的可能 就需要将非基变量与基变量对换 2020年2月27日星期四 思路 一般选择正系数最大的那个非基变量x2为换入变量 将它换入到基变量中去 同时还要确定基变量中有一个要换出来成为非基变量 2020年2月27日星期四 步骤 将x2定为换入变量后 必须从x3 x4 x5中确定一个换出变量 并保证其余的都是非负的 当x1 0 由 1 13 式得到 2020年2月27日星期四 为了求得以x2 x3 x4为基变量的一个基可行解和进一步分析问题 将x2和x5的位置互换 得 2020年2月27日星期四 再将 1 17 式代入目标函数 1 11 式得 令非基变量x1 x5 0 得z 9 得另一个基可行解X 1 X 1 0 3 2 16 0 T 系数为正 2020年2月27日星期四 代入目标函数 令非基变量x3 x5 0 得z 13 得另一个基可行解X 2 2 3 0 8 0 T X 1 不一定是最优解 继续迭代 x1为换入变量 令x5 0 可知 x3为换出变量 将x1和x3的位置互换 2020年2月27日星期四 X 2 不一定是最优解 继续迭代x5为换入变量 令x3 0 可知 x4为换出变量 将x5和x4的位置互换 代入目标函数 2020年2月27日星期四 令非基变量x3 x4 0 得z 14 得最优解X 3 X 3 4 2 0 0 4 T 2020年2月27日星期四 举例 2020年2月27日星期四 举例 X1为换入变量 X4为换出变量 2020年2月27日星期四 举例 X2为换入变量 X3为换出变量 2020年2月27日星期四 1 构造初始可行基 求初始基可行解 2 最优性检验 判断是否最优解 3 基变换 从一个基可行解转换到相邻的目标函数值更大的基可行解4 重复2 3直到计算结束 单纯形法迭代原理 2020年2月27日星期四 确定初始可行基 1 直接观察 2020年2月27日星期四 2 化标准型 约束条件是 的不等式 得方程组 初始基可行解的确定 2020年2月27日星期四 以B作为可行基 将 1 22 每个等式移项得 初始基可行解的确定 2020年2月27日星期四 初始基可行解的确定 2020年2月27日星期四 从一个基可行解转换为相邻的基可行解 定义 两个基可行解称为相邻的 如果他们之间变换且仅变换一个基变量 设P1 P2 Pm是一组线性独立的向量组 它们对应的基可行解是X 0 将它代入约束方程组 1 21 得 其它的向量Pj都可以用基P1 P2 Pm线性表示 有 2020年2月27日星期四 2020年2月27日星期四 或 2020年2月27日星期四 其中 2020年2月27日星期四 2020年2月27日星期四 2020年2月27日星期四 最优性检验 2020年2月27日星期四 最优性检验与解的判别 1 最优解的判别定理 检验数 2020年2月27日星期四 最优性检验与解的判别 2 无穷多最优解的判别定理 2020年2月27日星期四 3 无界解判别定理 2020年2月27日星期四 单纯形法全过程的计算 可以用列表的方法计算更为简洁 这种表格称为单纯形表 表1 6 计算步骤 1 求初始基可行解 列出初始单纯形表 求出检验数 其中基变量的检验数必为零 2 判断 a 若 j j n 得到最解 注 j 且对某个非基变量的检验数 j 0 则线性规划具有无穷多最优解 b 某个 k 0且aik i 1 2 m 则线性规划具有无界解 见例1 18 c 若存在 k 0且aik i 1 m 不全非正 则进行换基 1 5单纯形法SimplexMethod 2020年2月27日星期四 第 个比值最小 选最小比值对应行的基变量为出基变量 若有相同最小比值 则任选一个 aLk为主元素 c 求新的基可行解 用初等行变换方法将aLk化为 k列其它元素化为零 包括检验数行 得到新的可行基及基本可行解 再判断是否得到最优解 b 选出基变量 求最小比值 1 5单纯形法SimplexMethod 3 换基 a 选进基变量设 k max j j 0 xk为进基变量 2020年2月27日星期四 例1 16 用单纯形法求解 解 将数学模型化为标准形式 不难看出x4 x5可作为初始基变量 单纯法计算结果如表1 7所示 1 5单纯形法SimplexMethod 2020年2月27日星期四 表1 7 1 3 1 5 0 1 20 3 0 17 1 3 75 1 3 0 9 0 2 M 20 25 60 1 0 17 3 1 3 1 25 0 1 28 9 1 9 2 3 35 3 0 0 98 9 1 9 7 3 最优解X 25 35 3 0 0 0 T 最优值Z 145 3 1 5单纯形法SimplexMethod 2020年2月27日星期四 例1 17 用单纯形法求解 解 这是一个极小化的线性规划问题 可以将其化为极大化问题求解 也可以直接求解 这时判断标准是 j 0 j 1 n 时得到最优解 容易观察到 系数矩阵中有一个3阶单位矩阵 x3 x4 x5为基变量 目标函数中含有基变量x4 由第二个约束得到x4 6 x1 x2 并代入目标函数消去x4得 1 5单纯形法SimplexMethod 2020年2月27日星期四 表中 j 0 j 1 2 5所以最优解为X 0 5 0 1 11 最优值Z 2x1 2x2 x4 2 5 1 11极小值问题 注意判断标准 选进基变量时 应选 j 0的变量xj进基 1 5单纯形法SimplexMethod 表1 8 2020年2月27日星期四 例1 18 求解线性规划 解 化为标准型 1 5单纯形法SimplexMethod 2020年2月27日星期四 初始单纯形表为 2 1 0 x2进基 而a12 0 a22 0 没有比值 从而线性规划的最优解无界 由模型可以看出 当固定x1使x2 且满足约束条件 还可以用图解法看出具有无界解 1 5单纯形法SimplexMethod 2020年2月27日星期四 例1 19 求解线性规划 解 化为标准型后用单纯形法计算如下表所示 1 5单纯形法SimplexMethod 2020年2月27日星期四 表 3 中 j全部非正 则最优解为 表 3 表明 非基变量x3的检验数 3 0 x3若增加 目标函数值不变 即当x3进基时Z仍等于20 使x3进基x5出基继续迭代 得到表 4 的另一基本最优解 X 1 X 2 是线性规划的两个最优解 它的凸组合 仍是最优解 从而原线性规划有多重最优解 1 5单纯形法SimplexMethod 2020年2月27日星期四 唯一最优解的判断 最优表中所有非基变量的检验数非零 则线性规划具有唯一最优解 多重最优解的判断 最优表中存在非基变量的检验数为零 则线则性规划具有多重最优解 无界解的判断 某个 k 0且aik i 1 2 m 则线性规划具有无界解退化基本可行解的判断 存在某个基变量为零的基本可行解 1 5单纯形法SimplexMethod 2020年2月27日星期四 在实际问题中有些模型并不含有单位矩阵 为了得到一组基向量和初基可行解 在约束条件的等式左端加一组虚拟变量 得到一组基变量 这种人为加的变量称为人工变量 构成的可行基称为人工基 用大M法或两阶段法求解 这种用人工变量作桥梁的求解方法称为人工变量法 例1 20 用大M法解下列线性规划 1 大M单纯形法 1 5 2大M和两阶段单纯形法 1 5单纯形法SimplexMethod 2020年2月27日星期四 解 首先将数学模型化为标准形式 式中x4 x5为松弛变量 x5可作为一个基变量 第一 三约束中分别加入人工变量x6 x7 目标函数中加入 Mx6 Mx7一项 得到人工变量单纯形法数学模型 用前面介绍的单纯形法求解 见下表 1 5单纯形法SimplexMethod 2020年2月27日星期四 2 初始表中的检验数有两种算法 第一种算法是利用第一 三约束将x6 x7的表达式代入目标涵数消去x6和x7 得到用非基变量表达的目标函数 其系数就是检验数 第二种算法是利用公式计算 如 最优解X 31 3 13 19 3 0 0 T 最优值Z 152 3 注意 1 5单纯形法SimplexMethod 1 M是一个很大的抽象的数 不需要给出具体的数值 可以理解为它能大于给定的任何一个确定数值 2020年2月27日星期四 例1 21 求解线性规划 解 加入松驰变量x3 x4化为标准型 在第二个方程中加入人工变量x5 目标函数中加上Mx5一项 得到 1 5单纯形法SimplexMethod 2020年2月27日星期四 用单纯形法计算如下表所示 1 5单纯形法SimplexMethod 2020年2月27日星期四 表中 j 0 j 1 2 5 从而得到最优解X 2 0 0 0 2 Z 10 2M 但最优解中含有人工变量x5 0说明这个解是伪最优解 是不可行的 因此原问题无可行解 两阶段单纯形法与大M单纯形法的目的类似 将人工变量从基变量中换出 以求出原问题的初始基本可行解 将问题分成两个阶段求解 第一阶段的目标函数是 约束条件是加入人工变量后的约束方程 当第一阶段的最优解中没有人工变量作基变量时 得到原线性规划的一个基本可行解 第二阶段就以此为基础对原目标函数求最优解 当第一阶段的最优解w 0时 说明还有不为零的人工变量是基变量 则原问题无可行解 1 5单纯形法SimplexMethod 2 两阶段单纯形法 2020年2月27日星期四 例1 22 用两阶段单纯形法求解例20的线性规划 解 标准型为 在第一 三约束方程中加入人工变量x6 x7后 第一阶段问题为 用单纯形法求解 得到第一阶段问题的计算表如下 1 5单纯形法SimplexMethod 2020年2月27日星期四 1 5单纯形法SimplexMethod 2020年2月27日星期四 最优解为最优值w 0 第一阶段最后一张最优表说明找到了原问题的一组基可行解 将它作为初始基可行解 求原问题的最优解 即第二阶段问题为 1 5单纯形法SimplexMethod 2020年2月27日星期四 用单纯形法计算得到下表 最优解X 31 3 13 19 3 0 0 T 最优值Z 152 3 1 5单纯形法SimplexMethod 2020年2月27日星期四 例1 23 用两阶段法求解例1 21的线性规划 解 例1 21的第一阶段问题为 用单纯形法计算如下表 1 5单纯形法SimplexMethod 2020年2月27日星期四 j 0 得到第一阶段的最优解X 2 0 0 0 2 T 最优目标值w 2 0 x5仍在基变量中 从而原问题无可行解 1 5单纯形法SimplexMethod 2020年2月27日星期四 解的判断 唯一最优解的判断 最优表中所有非基变量的检验数非零 则线规划具有唯一最优解 多重最优解的判断 最优表中存在非基变量的检验数为零 则线则性规划具有多重最优解 无界解的判断 某个 k 0且aik i 1 2 m 则线性规划具有无界解 退化基本可行解的判断 存在某个基变量为零的基本可行解 无可行解的判断 1 当用大M单纯形法计算得到最优解并且存在Ri 0时 则表明原线性规划无可行解 2 当第一阶段的最优值w 0时 则原问题无可行解 1 5单纯形法SimplexMethod 2020年2月27日星期四 设有线性规划 其中Am n且r A m X 0应理解为X大于等于零向量 即xj 0 j 1 2 n 1 5 3计算公式 1 5单纯形法SimplexMethod 2020年2月27日星期四 不妨假设A P1 P2 Pn 中前m个列向量构成一个可行基 记为B P1 P2 Pm 矩阵A中后n m列构成的矩阵记为N Pm 1 Pn 则A可以写成分块矩阵A B N 对于基B 基变量为XB x1 x2 xm T 非基变量为XN xm 1 xm 2 xn T 则X可表示成同理将C写成分块矩阵C CB CN CB C1 C2 Cm CN Cm 1Cm 2 cn 则AX b可写成 1 5单纯形法SimplexMethod 2020年2月27日星期四 因为r B m 或 B 0 所以B 1存在 因此可有 令非基变量XN 0 XB B 1b 由B是可行基的假设 则得到基本可行解 X B 1b 0 T 将目标函数写成 1 5单纯形法SimplexMethod 2020年2月27日星期四 得到下列五个计算公式 令XN 0 1 5单纯形法SimplexMethod 2020年2月27日星期四 上述公式可用下面较简单的矩阵表格运算得到 设初始矩阵单纯形表1 16 将B化为I