高考数学大一轮复习（高考题库）第7章 第7节 立体几何中的空间向量方法 理 新人教A版 (2)(1).DOC

20092013年高考真题备选题库第七章 立体几何第七节 立体几何中的空间向量方法考点 利用空间向量求空间角1（2013新课标全国，12分）如图，三棱柱abca1b1c1中，cacb，abaa1，baa160.(1)证明：aba1c；(2)若平面abc平面aa1b1b，abcb，求直线a1c 与平面bb1c1c所成角的正弦值解：本题主要考查空间几何体中的线线垂直的证明和线面角的计算，意在考查考生的空间想象能力、推理判断能力和计算能力(1)证明：取ab的中点o，连接oc，oa1，a1b.因为cacb，所以ocab.由于abaa1，baa160，故aa1b为等边三角形，所以oa1ab.因为ocoa1o，所以ab平面oa1c.又a1c平面oa1c，故aba1c.(2)由(1)知ocab，oa1ab.又平面abc平面aa1b1b，交线为ab，所以oc平面aa1b1b，故oa，oa1，oc两两相互垂直以o为坐标原点，的方向为x轴的正方向，|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系oxyz.由题设知a(1,0,0)，a1(0，0)，c(0,0，)，b(1,0,0)则(1,0，)，(1，0)，(0，)设n(x，y，z)是平面bb1c1c的法向量，则即可取n(，1，1)故cosn，.所以a1c与平面bb1c1c所成角的正弦值为.2（2013新课标全国，12分）如图，直三棱柱abca1b1c1中，d，e分别是ab，bb1的中点，aa1accbab.(1)证明：bc1/平面a1cd；(2)求二面角da1ce的正弦值解：本题以直三棱柱为载体，考查直线与平面平行以及二面角的求解等知识，意在考查考生的空间想象能力以及化归转化能力、基本运算能力等(1)证明：连接ac1交a1c于点f，则f为ac1中点又d是ab中点，连接df，则bc1df.因为df平面a1cd，bc1平面a1cd，所以bc1平面a1cd.(2)由accbab得，acbc.以c为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系cxyz.设ca2，则d(1,1,0)，e(0,2,1)，a1(2,0,2)，(1,1,0)，(0,2,1)，(2,0,2)设n(x1，y1，z1)是平面a1cd的法向量，则即可取n(1，1，1)同理，设m是平面a1ce的法向量，则可取m(2,1，2)从而cosn，m，故sinn，m.即二面角da1ce的正弦值为.3.(2013山东，12分)如图所示，在三棱锥pabq中，pb平面abq，babpbq，d，c，e，f分别是aq，bq，ap，bp的中点，aq2bd，pd与eq交于点g，pc与fq交于点h，连接gh.(1)求证：abgh；(2)求二面角dghe的余弦值解：本题考查空间线面平行的判定定理、性质定理，二面角的求解，空间向量在立体几何中的应用等基础知识与方法，考查转化与化归思想等数学思想方法，考查考生的空间想象能力、逻辑推理能力、运算求解能力(1)因为d，c，e，f分别是aq，bq，ap，bp的中点，所以efab，dcab.所以efdc.又ef平面pcd，dc平面pcd，所以ef平面pcd.又ef平面efq，平面efq平面pcdgh，所以efgh.又efab，所以abgh.(2)法一：在abq中，aq2bd，addq，所以abq90，即abbq，因为pb平面abq，所以abpb.又bpbqb，所以ab平面pbq.由(1)知abgh，所以gh平面pbq.又fh平面pbq，所以ghfh.同理可得ghhc，所以fhc为二面角dghe的平面角设babqbp2，连接fc，在rtfbc中，由勾股定理得fc，在rtpbc中，由勾股定理得pc.又h为pbq的重心，所以hcpc.同理fh.在fhc中，由余弦定理得cos fhc.即二面角dghe的余弦值为.法二：在abq中，aq2bd，addq，所以abq90.又pb平面abq，所以ba，bq，bp两两垂直以b为坐标原点，分别以ba，bq，bp所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系设babqbp2，则e(1,0,1)，f(0,0,1)，q(0,2,0)，d(1,1,0)，c(0,1,0)，p(0,0,2)所以(1,2，1)，(0,2，1)，(1，1，2)， (0，1,2)设平面efq的一个法向量为m(x1，y1，z1)，由m0，m0，得取y11，得m(0,1,2)设平面pdc的一个法向量为n(x2，y2，z2)，由n0，n0，得取z21，得n(0,2,1)，所以cosm，n.因为二面角dghe为钝角，所以二面角dghe的余弦值为.4（2013广东，14分）如图1，在等腰直角三角形abc中，a90，bc6，d，e分别是ac，ab上的点，cdbe，o为bc的中点将ade沿de折起，得到如图2所示的四棱锥abcde，其中ao. 图1图2(1)证明：ao平面bcde；(2)求二面角acdb的平面角的余弦值解：本题考查线面垂直的判定定理、二面角等基础知识，考查空间向量在立体几何中的应用，考查化归与转化思想，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力(1)证明：由题意，易得oc3，ac3，ad2 .连接od，oe.在ocd中，由余弦定理可得od .由翻折不变性可知ad2 ，所以ao2od2ad2，所以aood.同理可证aooe，又odoeo，所以ao平面bcde.(2)(传统法)过o作ohcd交cd的延长线于h，连接ah，如图所示因为ao平面bcde，所以ahcd，所以aho为二面角acdb的平面角结合oc3，bcd45，得oh，从而ah .所以cos aho ，所以二面角acdb的平面角的余弦值为.(向量法)以o点为原点，建立空间直角坐标系oxyz如图所示，则a(0,0，)，c(0，3,0)，d(1，2,0)，所以(0,3，)，(1,2，)设n(x，y，z)为平面acd的法向量，则即解得令x1，得n(1，1，)，即n(1，1，)为平面acd的一个法向量由(1)知，(0,0，)为平面cdb的一个法向量，所以cos n，即二面角acdb的平面角的余弦值为.5.（2013辽宁，12分）如图，ab是圆的直径，pa垂直圆所在的平面，c是圆上的点(1)求证：平面pac平面pbc；(2)若ab2，ac1，pa1，求：二面角cpba的余弦值解：本题考查面面关系的证明及二面角的求解问题，也考查了应用空间向量求解立体几何问题，试题同时考查了考生的空间想象能力和推理归纳能力(1)证明：由ab是圆的直径，得acbc，由pa平面abc，bc平面abc，得pabc.又paaca，pa平面pac，ac平面pac，所以bc平面pac.因为bc平面pbc，所以平面pbc平面pac.(2)法一：过c作cmap，则cm平面abc.如图，以点c为坐标原点，分别以直线cb，ca，cm为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系因为ab2，ac1，所以bc.因为pa1，所以a(0,1,0)，b(，0,0)，p(0,1,1)故(，0,0)，(0,1,1)设平面bcp的法向量为n1(x，y，z)，则所以不妨令y1，则n1(0,1，1)因为(0,0,1)，(，1,0)，设平面abp的法向量为n2(x，y，z)，则所以不妨令x1，则n2(1，0)于是cosn1，n2，所以由题意可知二面角cpba的余弦值为.法二：过c作cmab于m，因为pa平面abc，cm平面abc，所以pacm，故cm平面pab.又因为paaba，且pa平面pab，ab平面pab，过m作mnpb于n，连接nc，由三垂线定理得cnpb，所以cnm为二面角cpba的平面角在rtabc中，由ab2，ac1，得bc，cm，bm.在rtpab中，由ab2，pa1，得pb.因为rtbnmrtbap，所以，故mn.又在rtcnm中，cn，故coscnm.所以二面角cpba的余弦值为.6.（2012陕西，5分）如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱abca1b1c1，cacc12cb，则直线bc1与直线ab1夹角的余弦值为()a.b.c. d.解析：设ca2，则c(0,0,0)，a(2,0,0)，b(0,0,1)，c1(0,2,0)，b1(0,2,1)，可得向量(2,2,1)，(0,2，1)，由向量的夹角公式得cos，.答案：a7.（2012新课标全国，12分）如图，直三棱柱abca1b1c1中，acbcaa1，d是棱aa1的中点，dc1bd.(1)证明：dc1bc；(2)求二面角a1bdc1的大小解：(1)证明：由题设知，三棱柱的侧面为矩形由于d为aa1的中点，故dcdc1.又acaa1，可得dcdc2cc，所以dc1dc.而dc1bd，dcbdd，所以dc1平面bcd.bc平面bcd，故dc1bc.(2)由(1)知bcdc1，且bccc1，则bc平面acc1，所以ca，cb，cc1两两相互垂直以c为坐标原点，的方向为x轴的正方向，|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系cxyz.由题意知a1(1,0,2)，b(0,1,0)，d(1，0,1)，c1(0,0,2)则(0,0，1)，(1，1,1)， (1,0,1)设n(x，y，z)是平面a1b1bd的法向量，则即可取n(1,1,0)同理，设m是平面c1bd的法向量，则可取m(1,2,1)从而cosn，m.故二面角a1bdc1的大小为30.7（2012浙江，15分）如图，在四棱锥pabcd中，底面是边长为2的菱形，bad120，且pa平面abcd，pa2，m，n分别为pb，pd的中点(1)证明：mn平面abcd；(2)过点a作aqpc，垂足为点q，求二面角amnq的平面角的余弦值解：(1)因为m，n分别是pb，pd的中点，所以mn是pbd的中位线，所以mnbd.又因为mn平面abcd，所以mn平面abcd.(2)法一：连结ac交bd于o.以o为原点，oc，od所在直线为x，y轴，建立空间直角坐标系oxyz，如图所示在菱形abcd中，bad120，得acab2，bdab6.又因为pa平面abcd，所以paac.在直角三角形pac中，ac2，pa2，aqpc，得qc2，pq4.由此知各点坐标如下，a(，0,0)，b(0，3,0)，c(，0,0)，d(0,3,0)，p(，0,2)，m(，)，n(，)，q(，0，)设m(x，y，z)为平面amn的法向量由(，)，(，)知取z1，得m(2，0，1)设n(x，y，z)为平面qmn的法向量由(，)，(，)知取z5，得n(2，0,5)于是cosm，n.所以二面角amnq的平面角的余弦值为.法二：在菱形abcd中，bad120，得acabbccdda，bdab.又因为pa平面abcd，所以paab，paac，paad.所以pbpcpd.所以pbcpdc.而m，n分别是pb，pd的中点，所以mqnq，且ampbpdan.取线段mn的中点e，连结ae，eq，则aemn，qemn，所以aeq为二面角amnq的平面角由ab2，pa2，故在amn中，aman3，mnbd3，得ae.在直角三角形pac中，aqpc，得aq2，qc2，pq4.在pbc中，cosbpc，得mq .在等腰三角形mqn中，mqnq，mn3，得qe .在aeq中，ae，qe，aq2，得cosaeq.所以二面角amnq的平面角的余弦值为.8(2010广东，14分)如图，是半径为a的半圆，ac为直径，点e为的中点，点b和点c为线段ad的三等分点平面aec外一点f满足fbfda，fea.(1)证明：ebfd；(2)已知点q，r分别为线段fe，fb上的点，使得fqfe，frfb，求平面bed与平面rqd所成二面角的正弦值解：(1)证明：e为中点，abbc，ac为直径，ebad.ef26a2(a)2a2bf2be2，ebfb.又bfbdb，eb平面bdf.fd平面bdf，ebfd.法一：(2)过d作hdqr，连接fc.fqfe，frfb，qreb，hdeb.又d平面bed平面rqd，hd为平面bed与平面pqd的交线，bd，rd平面bdf，eb平面bdf，hdbd，hdrd.rdb为平面bed与平面rqd所成二面角的平面角，fbfd，bccd，fcbd，cosfbc.sinfbc.rda.sinrdbsinfbc.法二：(2)如图，以b为原点，为x轴正方向，为y轴正方向，过b作平面bec的垂线，建立空间直角坐标系，连接fc，由此得b(0,0,0)，c(0，a,0)，d(0,2a,0)，e(a,0,0)fdfb，bccd，fcbd.fc2a，fqfe，frfb，r(0，a，a)，(a,0,0)(0，a，a)设平面rqd的法向量为n1(x，y，z)，则n10，n10，n1(0,2,5)平面bed的法向量为n2(0,0,1)，cosn1，n2.sinn1，n2.平面bed与平面rqd所成二面角的正弦值为.9(2009山东，12分)如图，在直四棱柱abcda1b1c1d1中，底面abcd为等腰梯形，abcd，ab4，bccd2，aa12，e，e1，f分别是棱ad，aa1，ab的中点(1)证明：直线ee1平面fcc1；(2)求二面角bfc1c的余弦值解：(1)证明：法一：取a1b1的中点f1，连结ff1、c1f1，由于ff1bb1cc1，所以f1平面fcc1，因此平面fcc1即为平面c1cff1，连结a1d、f1c，由于a1f1綊d1c1綊cd，所以四边形a1dcf1为平行四边形，因此a1df1c.又ee1a1d，得ee1f1c，而ee1平面fcc1，f1c平面fcc1，故ee1平面fcc1.法二：因为f为ab的中点，cd2，ab4，abcd，所以cd綊af，因此四边形afcd为平行四边形，所以adfc.又cc1dd1，fccc1c，fc平面fcc1，cc1平面fcc1，所以平面add1a1平面fcc1，又ee1平面add1a1，所以ee1平面fcc1.(2)法一：取fc的中点h，由于fcbcfb，所以bhfc. 又bhcc1，所以bh平面fcc1.过h作hgc1f于g，连结bg.由于hgc1f，bh平面fcc1，所以c1f平面bhg，因此bgc1f，所以bgh为所求二面角的平面角在rtbhg中，bh，又fh1，且fcc1为等腰直角三角形，所以hg，bg ，因此cosbgh，即所求二面角的余弦值为.法二：过d作drcd交ab于r，以d为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则f(，1,0)，b(，3,0)，c(0,2,0)，c1(0,2,2)，所以(0,2,0)，(，1,2)，(，3,0)，由fbcbcddf，所以dbfc.又cc1平面abcd，所以为平面fcc1的一个法向量设平面bfc1的一个法向量为n(x，y，z)，则由得即取x1，得因此n(1,0，)，所以cos，n.故所求二面角的余弦值为.考点二 利用向量解决立体几何中的探索问题1（2013福建，13分）如图，在四棱柱abcda1b1c1d1中，侧棱aa1底面abcd，abdc，aa11，ab3k，ad4k，bc5k，dc6k(k0)(1)求证：cd平面add1a1；(2)若直线aa1与平面ab1c所成角的正弦值为，求k的值；(3)现将与四棱柱abcda1b1c1d1形状和大小完全相同的两个四棱柱拼接成一个新的四棱柱规定：若拼接成的新四棱柱形状和大小完全相同，则视为同一种拼接方案问：共有几种不同的拼接方案？在这些拼接成的新四棱柱中，记其中最小的表面积为f(k)，写出f(k)的解析式(直接写出答案，不必说明理由)解：本小题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系、柱体的概念及表面积等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、分类与整合思想、化归与转化思想(1)证明：取cd的中点e，连接be.abde，abde3k，四边形abed为平行四边形，bead且bead4k.在bce中，be4k，ce3k，bc5k，be2ce2bc2，bec90，即becd.又bead，cdad.aa1平面abcd，cd平面abcd，aa1cd.又aa1ada，cd平面add1a1.(2)以d为原点，的方向为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则a(4k,0,0)，c(0,6k,0)，b1(4k,3k,1)，a1(4k,0,1)，所以(4k,6k,0)，(0,3k,1)，(0,0,1)设平面ab1c的法向量n(x，y，z)，则由得取y2，得n(3,2，6k)设aa1与平面ab1c所成角为，则sin |cos，n|，解得k1，故所求k的值为1.(3)共有4种不同的方案f(k)2(2013四川，12分)如图，在三棱柱abca1b1c1中，侧棱aa1底面abc，abac2aa1，bac120，d，d1分别是线段bc，b1c1的中点，p是线段ad的中点(1)在平面abc内，试作出过点p与平面a1bc平行的直线l，说明理由，并证明直线l平面add1a1；(2)设(1)中的直线l交ab于点m，交ac于点n，求二面角aa1mn的余弦值解：本题主要考查基本作图、线面的平行与垂直、二面角等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，并考查应用向量知识解决立体几何问题的能力(1)如图，在平面abc内，过点p作直线lbc，因为l在平面a1bc外，bc在平面a1bc内，由直线与平面平行的判定定理可知，l平面a1bc.由已知，abac，d是bc的中点，所以bcad，则直线lad.因为aa1平面abc，所以aa1直线l.又ad，aa1在平面add1a1内，且ad与aa1相交，所以直线l平面add1a1.(2)法一：连接a1p，过a作aea1p于e，过e作efa1m于f，连接af.由(1)知，mn平面aea1，所以平面aea1平面a1mn.所以ae平面a1mn，则a1mae.所以a1m平面aef，则a1maf.故afe为二面角aa1mn的平面角(设为)设aa11，则由abac2aa1，bac120，有bad60，ab2，ad1.又p为ad的中点，所以m为ab的中点，且ap，am1，所以在rtaa1p中，a1p；在rta1am中，a1m.从而ae，af，所以sin .所以cos .故二面角aa1mn的余弦值为.法二：设a1a1.如图，过a1作a1e平行于b1c1，以a1为坐标原点，分别以，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系oxyz(点o与点a1重合)则a1(0,0,0)，a(0,0,1)因为p为ad的中点，所以m，n分别为ab，ac的中点，故m，n，所以，(0,0,1)，(，0,0)设平面aa1m的法向量为n1(x1，y1，z1)，则即故有从而取x11，则y1，所以n1(1，0)设平面a1mn的法向量为n2(x2，y2，z2)，则即故有从而取y22，则z21，所以n2(0,2，1)设二面角aa1mn的平面角为，又为锐角，则cos .故二面角aa1mn的余弦值为.3（2012北京，14分）如图1，在rtabc中，c90，bc3，ac6，d，e分别是ac，ab上的点，且debc，de2.将ade沿de折起到a1de的位置，使a1ccd，如图2.(1)求证：a1c平面bcde；(2)若m是a1d的中点，求cm与平面a1be所成角的大小；(3)线段bc上是否存在点p，使平面a1dp与平面a1be垂直？说明理由解：(1)证明：因为acbc，debc，所以deac.所以eda1d，decd，所以de平面a1dc.所以dea1c.又因为a1ccd.所以a1c平面bcde.(2)如图，以c为坐标原点，建立空间直角坐标系cxyz，则a1(0,0,2)，d(0,2,0)，m(0,1, )，b(3,0,0)，e(2,2,0)设平面a1be的法向量为n(x，y，z)，则na1b0，nbe0.又a1b(3，0，2），(1,2，0)，所以令y1，则x2，z.所以n(2,1，)设cm与平面a1be所成的角为.因为cm(0，1，),所以sin |cosn，|.所以cm与平面a1be所成角的大小为.(3)线段bc上不存在点p，使平面a1dp与平面a1be垂直，理由如下：假设这样的点p存在，设其坐标为(p,0,0)，其中p0,3设平面a