内蒙古呼和浩特市高三数学上学期期中试题 理（含解析）新人教A版.doc

内蒙古呼和浩特市2015届高三数学上学期期中试题 理（含解析）新人教a版一、选择题（共12小题，每题5分，共60分）1设集合a=x|2x4，b=x|x21，则ab=（）a x|x2bx|x1cx|1x2dx|1x2分析：利用并集的性质求解解答：解：集合a=x|2x4=x|1x2，b=x|x21=x|1x1，ab=x|1x2故选：c点评：本题考查并集的求法，是基础题，解题时要注意不等式性质的合理运用2已知ar，i是虚数单位，复数z=a+i，若z2为纯虚数，则z=（）a 1+ib1+ic1+i或1+id2i或2i分析：利用复数代数形式的乘法运算化简，然后由实部等于0且虚部不等于0求解a，则答案可求解答：解：数z=a+i，z2=（a+i）2=a21+2ai，由z2为纯虚数，得a=1z=1+i或1+i故选：c点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题3在各项均为正数的等比数列an中，若a2a4=9，则loga1+loga2+loga3+loga4+loga5的值为（）a 6b5c6d5分析：据等比数列的性质可知a2a4=a32，再利用对数的性质即可得到答案解答：解：各项均为正数的等比数列an中，a2a4=9，a3=3，loga1+loga2+loga3+loga4+loga5=log（a1a5）+log（a2a4）+loga3=5loga3=5故选：d点评：本题主要考查了等比数列的性质即若 m、n、p、qn*，且m+n=p+q，则aman=apaq4下列说法正确的是（）a函数f（x）=ax+1（a0，且a1）的图象恒过定点（0，1）b函数f（x）=x3在其定义域上是减函数c函数f（x）=2值域为（0，+）d函数f（x）=|log2x|在区间（1，+）上单调递增考点：对数函数的单调性与特殊点专题：函数的性质及应用分析：由条件根据对数函数、指数函数、幂函数的单调性和特殊点，判断各个选项是否正确，从而得出结论解答：解：由于当x=0时，函数f（x）=ax+1=2，故函数f（x）=ax+1的图象恒过定点（0，2），故a不正确由函数f（x）=x3在的图象可得函数在（0，+）上单调递减，且f（x）0，函数在（，0）上单调递减，且f（x）0，故函数在其定义域内没有单调性，故b不正确由于函数f（x）=2中，0，故函数f（x）20，即f（x）1，故f（x）=2值域一定不是（0，+），故c不正确在区间（1，+）上，函数f（x）=|log2x|=log2x，故函数在区间（1，+）上单调递增，故d正确，故选：d点评：本题主要考查对数函数、指数函数、幂函数的单调性和特殊点，属于基础题5设曲线y=eaxln（x+1）在点（0，1）处的切线方程为2xy+1=0，则a=（）a 0b1c2d3考点：利用导数研究曲线上某点切线方程专题：计算题；导数的概念及应用分析：根据导数的几何意义求出函数f（x）在x=0处的导数，从而求出切线的斜率，再根据曲线y=eaxln（x+1）在点（0，1）处的切线方程为2xy+1=0，建立等式关系，解之即可解答：解：y=eaxln（x+1），y=aeaxx=0时，切线的斜率为a1曲线y=eaxln（x+1）在点（0，1）处的切线方程为2xy+1=0，a1=2，即a=3故选：d点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，考查学生的计算能力，属于基础题6执行如图所示的程序框图后，输出的值为4，则p的取值范围是（）a（，b（，c（，d（，考点：循环结构专题：算法和程序框图分析：执行程序框图，写出每次循环得到的s，n的值，当输出n的值为4时，有s=，故可求p的取值范围解答：解：执行程序框图，有n=1，s=0满足条件sp，有s=，n=2；满足条件sp，有s=+=，n=3；满足条件sp，有s=+=，n=4；此时，不满足条件sp，有s=，输出n的值为4故当p的取值在（，时，不满足条件p，退出循环，输出n的值为4故选：a点评：本题主要考察了程序框图和算法，属于基础题7设a=dx，则sinxdx=（）a 2bc2d1考点：定积分专题：导数的综合应用分析：由定积分的几何意义求出a，然后代入所求其定积分解答：解：因为a=dx=，所以则sinxdx=cosx=（11）=2；故选c点评：本题考查了定积分的求法；已知的定积分是利用被积函数的几何意义求之，所求的定积分是找到被积函数的原函数解答的，属于基础题8已知向量，的夹角为120，且|=1，|=2，则向量在向量+上的投影是（）abcd3考点：数量积表示两个向量的夹角专题：平面向量及应用分析：利用求模运算得到向量|，|+|，进而得到向量与+的数量积，得到向量夹角余弦，根据投影定义可得答案解答：解：由已知，向量|2=|2+|22=1+4+2=7，|+|2=|2+|2+2=1+42=3，则cos，+=，向量在向量+上的投影是|cos，+=（）=；故选a点评：本题考查平面向量数量积的含义及其物理意义，考查向量模的求解投影等概念，属基础题9函数f（x）=4sin（x）sin（x+）（0）的最小正周期为，且sin=，则f（）=（）a bcd考点：由y=asin（x+）的部分图象确定其解析式专题：三角函数的图像与性质分析：利用三角恒等变换化简函数的解析式为f（x）=2cos2x，再根据周期性求得，可得f（x）=2cos2x，再根据sin=，利用二倍角的余弦公式求得f（）=2cos2 的值解答：解：f（x）=4sin（x）sin（x+）=4sin（x）cos（x+）=4sin（x）cos（x）=2sin（2x）=2cos2x，且函数f（x）的最小正周期为 =，求得=1，故f（x）=2cos2x又sin=，则f（）=2cos2=2（12sin2 ）=4sin22=，故选：b点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，三角函数的周期性和求法，属于中档题10变量x，y满足约束条件时，x2y+m0恒成立，则实数m的取值范围为（）a 0，+）b1，+）c（，3d（，0考点：简单线性规划专题：计算题；作图题；不等式的解法及应用分析：由题意作出其平面区域，x2y+m0表示了直线上方的部分，故由解得，x=4，y=2；代入即可解答：解：由题意作出其平面区域，x2y+m0表示了直线上方的部分，故由解得，x=4，y=2；则422+m0，则m0故选d点评：本题考查了简单线性规划，作图要细致认真，属于中档题11已知函数f（x）=sinx+acosx的图象关于直线x=对称，且方程f（x）=m在0，）上恰有两个不同的实数根，则实数m取值范围是（）a 0，1b1，2c，2）d1，考点：由y=asin（x+）的部分图象确定其解析式专题：三角函数的图像与性质分析：由题意可得可得=sin+acos，求得a的值，可得f（x）=2sin（x+）再根据函数y=f（x）的图象和直线y=m在0，）上有两个交点，求得m的范围解答：解：由函数f（x）=sinx+acosx的图象关于直线x=对称，可得x=时，函数取得最大值或最小值，故有=sin+acos，求得 a=，f（x）=sinx+cosx=2sin（x+）在0，）上，x+，），f（x）（1，2再根据方程f（x）=m在0，）上恰有两个不同的实数根，可得函数y=f（x）的图象和直线y=m在0，）上有两个交点，故m2，故选：c点评：本题主要考查三角函数的图象的对称性，两角和的正弦公式，方程根的存在性以及个数判断，属于基础题12已知函数f（x）=ax3+bx22（a0）有且仅有两个不同的零点x1，x2，则（）a当a0时，x1+x20，x1x20b当a0时，x1+x20，x1x20c当a0时，x1+x20，x1x20d当a0时，x1+x20，x1x20考点：根的存在性及根的个数判断专题：函数的性质及应用分析：求导数可得x=0，或x=时，函数取得极值，要满足题意需f（）=0，可得a，b的关系，当a0时，x1+x2的正负不确定，不合题意；当a0，可得x1x20，x1+x20，进而可得答案解答：解：原函数的导函数为f（x）=3ax2+2bx=x（3ax+2b），令f（x）=0，可解得x=0，或x=，故当x=0，或x=时，函数取得极值，又f（0）=20，所以要使函数f（x）=ax3+bx22（a0）有且仅有两个不同的零点，则必有f（）=a+b2=0，解得，且b0，即函数的一根为x1=，（1）如下图，若a0，可知x1=0，且为函数的极大值点，x=x2处为函数图象与x轴的交点，此时函数有2个零点：，x20，显然有x1x20，但x1+x2的正负不确定，故可排除c，d；（2）如图2，若a0，必有x1=0，此时必有x1x20，x1=的对称点为x=，则f（）=a+b2=2=80，则必有x2，即x20，即x1+x20故选b点评：本题考查根的存在性及根的个数的判断，涉及三次函数的图象以及分类讨论的思想，属中档题二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13已知数列an为等差数列，且a1=1，s5=25，则an的通项公式an=2n1考点：等差数列的前n项和；等差数列的通项公式专题：等差数列与等比数列分析：由等差数列的前n项和公式、性质求出a3的值，再由通项公式求出公差d和an解答：解：因为数列an为等差数列，s5=25，所以=25，则a3=5，又a1=1，所以公差d=2，所以an=a1+（n1）d=2n1，故答案为：2n1点评：本题考查了等差数列的前n项和公式、性质，以及通项公式的灵活应用，属于基础题14已知函数f（x）=a2x2a+1若命题“x（0，1），f（x）0”是假命题，则实数a的取值范围是（，1）（1，+）考点：全称命题专题：简易逻辑分析：利用全称命题的否定是特称命题，通过特称命题是真命题，求出a的范围解答：解：函数f（x）=a2x2a+1，命题“x（0，1），f（x）0”是假命题，原命题的否定是：“存在实数x（0，1），使f（x）=0”是真命题，f（1）f（0）0，即（a22a+1）（2a+1）0；（a1）2（2a1）0，解得a，且a1；实数a的取值范围是（，1）（1，+）故答案为：（，1）（1，+）点评：本题考查了命题的否定的应用问题，解题的关键是写出正确的全称命题，并且根据这个命题是一个假命题，得到正确的结论，是基础题15如图放置的边长为1的正方形abcd的顶点a、d分别在x轴、y轴正半轴上（含原点）上滑动，则的最大值是2考点：向量在几何中的应用专题：转化思想分析：令oad=，由边长为1的正方形abcd的顶点a、d分别在x轴、y轴正半轴上，可得出b，c的坐标，由此可以表示出两个向量，算出它们的内积即可解答：解：如图令oad=，由于ad=1故0a=cos，od=sin，如图bax=，ab=1，故xb=cos+cos（）=cos+sin，yb=sin（）=cos故=（cos+sin，cos）同理可求得c（sin，cos+sin），即=（sin，cos+sin），=（cos+sin，cos）（sin，cos+sin）=1+sin2，的最大值是2故答案是 2点评：本题考查向量在几何中的应用，设角引入坐标是解题的关键，由于向量的运算与坐标关系密切，所以在研究此类题时应该想到设角来表示点的坐标16定义在（0，）上的函数f（x）满足f（x）sinxf（x）cosx0，设a=f（），b=f（），c=2f（），则a，b，c的大小关系是cba考点：利用导数研究函数的单调性专题：计算题；导数的综合应用；三角函数的图像与性质分析：设g（x）=，利用导数判断出g（x）单调性，根据函数的单调性即可得到大小解答：解：由于f（x）sinxf（x）cosx0，则设g（x）=，则有g（x）0，则g（x）在（0，）上递增，a=f（）=，b=f（）=，c=2f（）=由于0，即有g（）g（）g（），则有cba故答案为：cba点评：本题考查函数的导数的运用：求单调性，考查单调性的运用：比较大小，注意运用导数的运算法则是解题的关键三、解答题17（12分）已知函数f（x）=x3ax2+x+2（）若f（x）在r上单调递增，求a的取值范围；（）设f（x）的导函数为f（x）若（，）使f（sin）=f（cos）成立求a的取值范围考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值专题：计算题；导数的综合应用；三角函数的求值分析：（）求出导数，再由二次函数的图象和性质，只要令判别式不大于0，即可得到；（） 由于f（x）=2x2ax+1关于x=对称，再由条件可得，运用三角函数的两角正弦公式和正弦函数的性质，即可得到范围解答：解：（） f（x）=2x2ax+1，由于f（x）在r上单调递增，则f（x）0在r上恒成立，则有0，即a280，解得2；（） 由于f（x）=2x2ax+1关于x=对称，又，sincos，（，）使f（sin）=f（cos）成立，则，即a=2（sin+cos）=2，由于，则，则，故有a点评：本题考查导数的运用：求单调性，考查二次函数的性质，以及三角函数的性质和运用，属于中档题18（12分）已知向量=（cosx，2），=（1，cos），f（x）=，角a，b，c分别为abc的三个内角（）当a=a0时，f（a）取最小值f（a0），试求a0与f（a0）；（）当a=a0，且abc的面积为时，求边长bc的最小值考点：余弦定理的应用；平面向量数量积的运算；两角和与差的正弦函数专题：综合题；解三角形分析：（）通过向量的数量积以及配方法，即可求a0与f（a0）；（）由题意，=，可得bc=2，再利用余弦定理、基本不等式，即可求边长bc的最小值解答：解：（）=（cosx，2），=（1，cos），f（x）=，f（x）=cosx2cos，f（a）=cosa2cos=2（cos）2（3分）0a，0，01cos=，即a=a0=时，f（a）取最小值f（a0）=（7分）（） 由题意，=，bc=2a=，“等号”当且仅当“b=c=”时成立bc边长的最小值为（12分）点评：本题通过向量的数量积，考查三角函数的基本公式的应用，余弦定理的应用，考查计算能力，好题，常考题型19（12分）已知数列an满足a1=2，an+1=+1（）求数列an的通项公式；（）设bn=an+an+12，证明+考点：数列与不等式的综合专题：综合题；等差数列与等比数列分析：（）证明（an1）2是首项为1，公差为1的等差数列，即可求数列an的通项公式；（）由（）知，bn=an+an+12=+，可得+=1+=1，即可证明结论解答：（）解：an+1=+1，（an+11）2（an1）2=1，又（a11）2=1（an1）2是首项为1，公差为1的等差数列（4分）（an1）2=nan1=，an=+1（7分）（） 由（）知，bn=an+an+12=+=1+=1于是，+（12分）点评：本题考查数列与不等式的综合，考查数列的通项，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题20（12分）在abc中，角a，b，c所对的边分别为a，b，c，已知=3（）求证tanb=3tana；（）若a2+b2c2=ab，求角a的大小考点：余弦定理的应用；平面向量数量积的运算专题：计算题；解三角形分析：（）记ab=c，ac=b，bc=a由已知=3，可得bccosa=3cacosb由正弦定理化简得tanb=3tana；（）由余弦定理和已知得：cosc=，即可求出1+tan2c=5解得tanc=2（tanc=2舍去）结合（）即可求得角a的大小解答：解（）记ab=c，ac=b，bc=a=3bccosa=3cacosbbcosa=3acosb由正弦定理得：sinbcosa=3sinacosbtanb=3tana（） 由余弦定理得：cosc=1+tan2c=5tanc=2（tanc=2舍去）tanc=tan（a+b）=tan（a+b）=2解得：tana=（舍去），或tana=1a=点评：本题主要考察了余弦定理的应用，平面向量数量积的运算，考察了计算能力，属于中档题21（12分）已知函数f（x）=sinx+lnxkx（k0）（）若f（x）在（0，上单调递增，求k的取值范围；（）设g（x）=sinx（x0），若y=g（x）的图象在y=f（x）的图象上方，求k的取值范围；（）设nn+，证明：（4）sin（）i1+1+ln2（）n+1考点：导数在最大值、最小值问题中的应用专题：计算题；证明题；导数的综合应用；不等式选讲分析：（） 由题意，f（x）=cosx+k0，则kcosx+，（cosx+）min即可；（） 由题意得x0时，g（x）f（x）恒成立，化为lnxkx0（x0）恒成立，h（x）=lnxkx，利用导数求其最大值即可；（）显然sinx（0），则sin（）i11+（）+（）2+（）n；再证明sinx+xlnx（0x1）成立，从而得证解答：解：（） 由题意，f（x）=cosx+k0，则kcosx+，而cosx+在（0，上单调递减，求则（cosx+）min=cos+=，则k（0，；（） 由题意得x0时，g（x）f（x）恒成立，则lnxkx0（x0）恒成立，令h（x）=lnxkx，h（x）=k，x（0，）时，h（x）0，x（，+）时，h（x）0，则hmax（x）=h（）=ln10，则k（）证明：如图，显然sinx（0），则sin（）i11+（）+（）2+（）n=（4）；由0（）i11，由（）知，k=时，f（x）在（0，1上单调递增当0x1时，有sinx+lnxxsin1，则sinx+xlnx（0x1）成立，sin（）i1（n+1）+1+（）+（）2+（）nln（）1+2+n=+1+ln2（）n+1即（4）sin（）i1+1+ln2（）n+1点评：本题考查了导数的综合应用及恒成立问题化成最值问题的处理方法，同时考查了放缩法证明不等式的变形应用，属于难题请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按多做第一题计分。选修4-1：几何证明选讲22（10分）如图，p是o外一点，pa是切线，割线pbc经过圆心o，且pb=bc（）求证：pa=ac；（）若点d是弧ac的中点，pd与o交于另一点e，pb=1，求pe的长考点：与圆有关的比例线段专题：几何证明分析：（i）利用切割线定理可得pa2=pbpc，即可得出；（ii）连接od，cd，利用d为的中点，可得，pb=1，pc=3，cd=1由余弦定理得pd2=pc2+cd22pccdcos60可得pd=，再由切割线定理可得pa2=pepd，即可得出解答：（）证明：设bc=2r，则pb=r，pc=3r，pa为切线，由切割线定理得，pa2=pbpc=3r2，pa=r连接oa，paoa，poa=60aoc=120ac=r，pa=ac（） 解：连接od，cd，d为的中点，而oc=od，pcd=60，pb=1，pc=3，cd=1，由余弦定理得pd2=pc2+cd22pccdcos60=7，pd=，再由切割线定理得，pa2=pepd，pe=点评：本题考查了切割线定理、余弦定理、圆的切线的性质、直角三角形的边角关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题23在直角坐标系xoy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，圆c的极坐标方程为=