七年级下数学导学案全册 3

导 数 学 一书双册学互动 A 七年级 下 A面 课堂导学案 主 编 刘增利 本册主编 杨卫平 李 艳 编 者 杨庆余 刘 丹 张书珍 许新华 RJ版 教师用书 书 书 书 讲解 练习 第五章 相交线与平行线 相交线 课时 相交线 学习目标 课前准备 课堂导学 课时 垂线 学习目标 课前准备 课堂导学 疑难突破 课时 同位角 内错角 同旁内角 学习目标 课前准备 课堂导学 平行线及其判定 课时 平行线 学习目标 课前准备 课堂导学 课时 平行线的判定 学习目标 课前准备 课堂导学 疑难突破 平行线的性质 课时 平行线的性质 学习目标 课前准备 课堂导学 疑难突破 课时 命题 定理 证明 学习目标 课前准备 课堂导学 平移 学习目标 课前准备 课堂导学 疑难突破 第六章 实数 平方根 课时 算术平方根 学习目标 课前准备 课堂导学 疑难突破 课时 平方根 学习目标 课前准备 课堂导学 立方根 学习目标 课前准备 课堂导学 实数 课时 实数的有关概念 学习目标 课前准备 课堂导学 课时 实数的性质及运算 学习目标 课前准备 课堂导学 第七章 平面直角坐标系 平面直角坐标系 课时 有序数对 学习目标 课前准备 课堂导学 课时 平面直角坐标系 学习目标 课前准备 课堂导学 坐标方法的简单应用 课时 用坐标表示地理位置 学习目标 课前准备 课堂导学 课时 用坐标表示平移 学习目标 课前准备 课堂导学 第八章 二元一次方程组 二元一次方程组 学习目标 课前准备 课堂导学 消元 解二元一次方程组 课时 代入消元法 学习目标 课前准备 课堂导学 课时 加减消元法 学习目标 课前准备 课堂导学 疑难突破 实际问题与二元一次方程组 学习目标 课前准备 课堂导学 三元一次方程组的解法 学习目标 课前准备 课堂导学 第九章 不等式与不等式组 不等式 课时 不等式及其解集 学习目标 课前准备 课堂导学 疑难突破 课时 不等式的性质 学习目标 课前准备 课堂导学 疑难突破 一元一次不等式 课时 一元一次不等式的解法 学习目标 课前准备 课堂导学 疑难突破 课时 一元一次不等式的应用 学习目标 课前准备 课堂导学 一元一次不等式组 课时 一元一次不等式组的解法 学习目标 课前准备 课堂导学 疑难突破 课时 一元一次不等式组的应用 学习目标 课前准备 课堂导学 第十章 数据的收集 整理与描述 统计调查 课时 数据的收集 整理与描述 学习目标 课前准备 课堂导学 课时 全面调查与抽样调查 学习目标 课前准备 课堂导学 课时 统计图 学习目标 课前准备 课堂导学 直方图 课题学习 从数据谈节水 学习目标 课前准备 课堂导学 书 书 书 第五章 相交线与平行线 对 应 学 生 用 书 页 相交线 课时 相交线 重点 邻补角 对顶角的概念 对顶角的性质与运用 难点 对顶角 邻补角性质的应用 两个角的和是 平角 这样的两个角叫作互 为补角 即其中一个角是另一个角的补角 同角或 等角 的补角 相等 认识邻补角和对顶角 重点 图 如图 用剪刀剪布时 用力 握紧把手 引发了什么变化 进而使什么 也发生了变化 解 握紧剪刀的把手时 随着两个把 手之间的角逐渐变小 剪刀刃之间的角也 相应变小 两条相交直线 形成的小于平角的角有几个 解 个 图 任意画两条相交直线 在形成的四 个角 如图 中 两两相配共组成 几对角 各对角存在怎样的位置关系 根 据不同的位置怎么将它们分类 解 两两配对共组成 对角 位置关 系有两种 相邻和相对 所形成的角分类 相邻 和 和 和 和 相对 和 和 邻补角 如果两个角有 一条 公共边 并且它们 的另一边互为 反向延长线 那么具有这种关系的两个 角叫作互为邻补角 对顶角 如果两个角有公共 顶点 并且其中一个 角的两边分别是另一个角两边的 反向延长线 那么具有这 种位置关系的两个角互为对顶角 互为邻补角的两个角一定互补 而互补的两个角不 一定是邻补角 对顶角和邻补角有什么区别和联系 解 区别 对顶角无公共边 而邻补角有一条公共边 联系 两者都是两条直线相交形成的角 都有公共顶 点 把邻补角的公共边反向延长所得的两个角与原来的两个角 分别是对顶角 探索对顶角的性质 难点 如图 因为 邻补角定义 所以 等 式性质 所以 等量代换 图 对顶角的性质 对顶角 相等 例 如图 和 是对顶角的图形 有 图 个 个 个 个 例 如图 已知直线 与 相交于点 且 求 的度数 图 解 七年级数学 下 版 对 应 学 生 用 书 页 课时 垂线 重点 垂线的性质及垂线段的性质 点到直线的距离的概 念及其简单应用 难点 判断两条直线是否垂直 垂线的画法及垂线段最短 在实际生活中的应用 图 如图 的对顶角是哪个角 这两 个角的大小关系怎样 的邻补角有几个 是哪几 个角 它们的大小关系怎样 解 略 两点之间 线段最短 连接两点间的 线段的长度 叫作这 两点间的 距离 垂直的有关定义 重点 图 如图 当 时 等于多少度 为什 么 直线 的位置关系怎样 解 都等 于 理由 因为 邻补角的定义 所以 因为 与 与 是对顶角 所以 对顶角相等 直线 互相垂直 学生观察教材 图 中的一些互相垂直的线条 并再举出生活中其他类似的实例 解 黑板的四个角中每个角的两边所在的直线 课本的 四个角中每个角的两边所在的直线 十字路口的两条道路 方 格本的横线和竖线 铅垂线和水平线等 垂直的定义 当两条直线相交所成的四个角中 有 一个角是 直角 时 就说这两条直线 互相垂直 其中 的一条直线叫作另一条直线的 垂线 它们的交点叫作 垂足 垂直的记法 读法 垂直用符号 来表示 直线 与 互相垂直 记作 垂直的定义 拓展 线段与线段 线段与射线 射线与射线之间的互 相垂直 则是指它们所在的 直线 互相垂直 垂直定义的应用格式 如果直线 相交于点 或三个角中的 一个角等于 那么 这个推理过程可以写成 因为 已知 所以 垂直 的定义 如果 那么所得的四个角中 必有一个是直 角 这个推理过程可以写成 因为 已知 所以 垂直 的定义 垂线的性质 重点 阅读教材 探究 观察垂线段的画法 并回答 探究 提出的问题 动手画已知直线 的垂线 能画出吗 能画几条 解 能 直线 的垂线有无数多条 如图 已知直线 和直线 上的一点 过点 画直线 的垂线 并且动手画出图形 从中你又得出什么结论 图 解 图略 结论 在同一平面内 经过直 线上一点有且只有一条直线与已知直线 垂直 如图 经过直线 外一点 画直线 的垂线 这样的垂线能画出几条 从中你又得出什么结论 图 解 图略 结论 在同一平面内 经过直 线外一点有且只有一条直线与已知直线 垂直 通过画图 你能试着总结出什么 结论 解 结论 在同一平面内 过一点有且只有一条直线与已 知直线垂直 图 如图 是直线 的垂 线 都是直线 的斜线 通过 测量 比较 中哪条线段 最短 解 垂线段 最短 垂线性质 在同一平面内 过一点 有且只有 一条直线与已知直线垂直 垂线性质 连接直线外一点与直线上各点的所有 线段中 垂线段 最短 简单说成 垂线段最短 在同一平面内 作已知直线的垂线可作无数条 但过一点作已知直线的垂线 只能作一条 性质 中的 一点 可以是直线上一点 也可以是直线 外一点 直线外一点到这条直线的垂线段只有一条 而斜线段 有无数条 过一点作射线或线段的垂线是指作它们所在直线的 第五章 相交线与平行线 对 应 学 生 用 书 页 垂线 垂足有时在射线的反向延长线或线段的延长线上 画垂 线时要用实线 此时如需延长线段 或反向延长线段或射线 时要用虚线 点到直线的距离 重点 图 如教材图 为垂 足 垂线段 的长度 比其他线段 都短 线段 的长度 是 点 到直线 的距离 如图 线段 的长 度 是点 到直线 的距离 点到直线的距离 直线外一点到这条直线的 垂线段 的长度 叫作点到直线的距离 垂线是直线 而垂线段是一条线段 点到直线的距离是指垂线段的长度 是一个数量 是 有单位的 例 判断以下两条直线是否垂直 两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角 两条直线相交所成的四个角相等 两条直线相交 有一组邻补角相等 两条直线相交 对顶角互补 解 中的两条直线均垂直 例 如图 则 图 图 例 如图 垂足为 垂足 为 且 则点 到直线 的距离是 点 到直线 的距离是 点 到直线 的距离是 难点 垂线的性质在生产 生活中的应用 在利用垂线的性质解决生活中最近 最短距离 的问题时 要依据 两点之间 线段最短 和 垂线段最短 来 解决 例 一辆汽车在直线形的公路上由 向 行驶 分别是位于公路 两侧的两个学校 如图 汽车在公路上行驶时 会对两个学校教学都造成影 响 当汽车行驶到何处时 分别对两个学校影响最大 请在图 上标出来 当汽车从 向 行驶时 在哪段上对两个学校的影响 越来越大 在哪段上对两个学校的影响越来越小 在哪段上 对 学校的影响越来越小 而对 学校的影响越来越大 图 图 分析 由生活常识可知 汽车离学校的距离越近 嗓音对学校 的影响就越大 离学校的距离越远 则噪音对学校的影响就越小 解 如图 作 于 于 根 据 垂线段最短 可知汽车行驶到 处对 学校的影响最大 行驶 到 处对 学校的影响最大 汽车由 向 行驶时 对两个学校的影响越来越大 由 向 行驶时 对两个学校的影响越来越小 由 向 行驶 时 对 学校的影响越来越小 对 学校的影响越来越大 课时 同位角 内错角 同旁内角 重点 同位角 内错角 同旁内角的概念 难点 对各对关系角的辨认 尤其是在复杂图形中的辨认 图 如图 两条直线 都 与第三条直线 相交 构成几个角 在 所画的图中标记出来 找出图中的对顶 角和邻补角 解 略 同位角 内错角 同旁内角 重点 图 阅读教材 的内容 如图 完成下列问题 和 与截线及两条被截直 线在位置上有什么特点 解 两个角分别在两条被截直线 即直线 的同一方向 下方 并 且都在截线 即直线 的同侧 右侧 和 与截线及两条被截直线在位置上有什么 特点 七年级数学 下 版 对 应 学 生 用 书 页 解 两个角分别在两条被截直线 即直线 之间 并且分别在截线 即直线 的两侧 和 与截线及两条被截直线在位置上有什么 特点 解 两个角都在两条被截直线 即直线 之间 并 且都在截线 即直线 的同一旁 右侧 同位角 两条直线被第三条直线所截 在两条直线 被截直线 的同一方 且都在第三条直线 截线 的同侧的 两个角叫作同位角 内错角 两条直线被第三条直线所截 在两条直线 被截直线 之间 并且分别在第三条直线 截线 的两侧的 两个角叫作内错角 同旁内角 两条直线被第三条直线所截 在两条直 线 被截直线 之间 并且都在第三条直线 截线 的同一旁 的两个角叫作同旁内角 同位角 内错角和同旁内角的结构特征 图 图 图 如图 若 被 所截 则 与 是同位角 如图 若 被 所截 则 与 是内错角 如图 与 是 和 被 所 截构成的 同旁内 角 同位角的形式像英文字母 内错角的形式像英文字母 同旁内角的形式像英文字母 或 同位角 内错角 同旁内角的识别 重点 难点 图 如图 找出图中数字标注的角 中的同位角 内错角 同旁内角 并说出它们 是哪两条直线被哪条直线所截而成的 解 直线 被直线 所截形 成的同位角是 与 形成的内错角是 与 直线 被直线 所截形 成的内错角是 与 直线 被直线 所截形成的 同旁内角是 与 直线 被直线 所截形成的同 旁内角是 与 直线 被直线 所截形成的同旁 内角是 与 同位角 内错角 同旁内角的识别 首先找被截直线和 截线 然后再观察两个角在被截直线的同一方 还是被截直 线之间 同位角 内错角 同旁内角是成对出现的 两条直线被第三条直线所截形成的 个角中 共有 对同位角 对内错角和 对同旁内角 图 例 如图 在 和 中 同位角是 与 与 内错角是 与 与 同旁内角是 与 与 与 与 平行线及其判定 课时 平行线 重点 平行公理及其推论 难点 平行公理推论的说理 两条直线相交有几个交点 相交的两条直线有什么特殊 的位置关系 解 两条直线相交有 个交点 垂直是两条相交直线的 特殊位置关系 平行线的定义 重点 阅读教材 的第一自然段和第二自然段 解决下列 问题 如教材图 在木条转动过程中 有没有直线 与 直线 不相交的位置呢 解 有不相交的位置 如教材图 转动木条 的过程中 有 个位置 使得直线 与 平行 第五章 相交线与平行线 对 应 学 生 用 书 页 过直线 外一点 你能画出直线 的平行线吗 能 画出几条 解 能画直线 的平行线 能画出 条 定义 在同一平面内 不相交 的两条直线叫作平 行线 表示方法 直线 与 互相平行 记作 位置关系 在同一平面内 不重合的两条直线 有 种位置关系 分别是 相交和平行 在平行线的定义中 特别要强调 在同一平面 内 因为空间内存在两条不相交的直线 但它们也不平行 两条射线或线段互相平行 实际上是指它们所在的直 线互相平行 平行公理及其推论 重点 已知 如图 已知直线 点 点 过点 画直线 的平行线 能画几条 过点 画直线 的平行线 能画几条 对照垂线的性质 图 说出画图所得的结论 解 图略 过点 和点 都可以画出直 线 的平行线 且都只能画出一条 对照垂 线的性质 可得结论 经过直线外一点 有 且只有一条直线与这条直线平行 如图 已知直线 分别画直线 使 图 直线 能不能相交 解 图略 直线 与 不能相交 平行公理 经过直线外一点 有且只有一 条直 线与这条直线平行 平行公理的推论 如果两条直线都与第三条直线平 行 那么这两条直线也 互相平行 用符号语言表达平行公理的推论 如果 那 么 公理中必须强调是 经过直线外一点 作平行 线 当点在直线上时 作不出已知直线的平行线 有且只有 包含两层意思 有 表示存在 只有 表 示唯一 即有一条并且只有一条 例 判断下列说法的正误 在同一平面内的两条直线不平行就相交 在同一平面内的两条线段不平行就相交 解 正确 错误 例 下列说法正确的是 过一点有且只有一条直线与已知直线平行 在同一平面内 过一点有且只有一条直线与已知直线 垂直 因为 所以 一条直线的平行线只有一条 例 根据下列要求画图 如图 过点 画 如图 过点 画 交 于点 过点 画 交 于点 如图 过点 画 与 交于点 过点 画 与 的延长线交于点 图 解 如图 图 课时 平行线的判定 重点 探索并掌握直线平行的判定条件 难点 探索并掌握直线平行的判定条件 经过直线外一点 有且只有一 条直线与这条直线 平行 如何判断两条直线是否平行 解 根据定义 根据平行公理的推论 同位角相等 两直线平行 判定方法 重点 阅读教材 的内容 完成下列各题 教材 图 中 在用直尺和三角形画平行线的过 程中 三角尺起着什么作用 解 保证了同位角相等 简化教材 图 得到教材 图 可以看 出画直线 的平行线 实际上就是过点 画与 相等 的 而 和 正是直线 被直线 截得的同位 角 这说明 如果 同位角相等 那么 七年级数学 下 版 教材 图 中 木工用图中的角尺画平行线的道 理是什么 解 同位角相等 两直线平行 图 两直线平行的判定方法 两条直线被 第三条直线所截 如果同位角相等 那么这 两条直线平行 简单说成 同位角相等 两直 线平行 用符号语言表达如图 因为 所以 同位角相等 两 直线平行 运用这一判定方法时 首先考虑这两条直线被哪条 直线所截产生同位角 再找两同位角的关系 进而判定两条直 线是否平行 内错角相等 两直线平行 判定方法 重点 图 已知直线 被直线 所截 如图 与 有什么关系 解 对顶角相等 和 是什么位置关系的一对角 解 和 是内错角 由 能得出 吗 你能用学过的两直线平行 的判定方法 来说明吗 解 能 因为 而 对顶角相等 所以 即同位角相等 所以 同位角相等 两直线平行 两直线平行的判定方法 两条直线被第三条直线所 截 如果 内错角相等 那么这两条直线平行 简单说成 内错角相等 两直线平行 用符号语言 表达 如图 若 则 说明两条直线平行 要转化为这两条直线被第三条 直线所截构成的内错角之间的相等关系 同旁内角互补 两直线平行 判定方法 重点 图 同旁内角数量上满足什么关系时 两 直线平行 利用图 及两直线平行的 判定方法 或判定方法 来说明你的猜想 正确 解 如果同旁内角互补 那么两条直线 平行 即如果 那么 如题 图 理由 用两直线平行的判定方法 说明 因为 而 所以 同角的补角相等 所 以 同位角相等 两直线平行 用两直线平行的判定方法 说明 因为 而 所以 同角的补角相等 所以 内错角相等 两直线平行 两条直线平行的判定方法 两条直线被第三条直线所 截 如果 同旁内角互补 那么这两条直线平行 简单说 成 同旁内角互补 两直线平行 用符号语言表达 如图 若 则 到目前为止 平行线的判定方法有哪几种 解 平行线的定义 一般不常用 同位角相等 两直线平行 判定方法 内错角相等 两直线平行 判定方法 同旁内角互补 两直线平行 判定方法 同一平面内 如果两条直线都垂直于同一条直线 那 么这两条直线平行 课本例题的结论 平行公理的推论 运用同旁内角互补来证明两条直线平行时 常常会 通过对顶角或同位角或内错角来转化 图 例 如图 不能判定 的 是 例 如图 已知 平分 试说明 图 解 因为 平分 所以 又因为 所以 所以 内错角相等 两直 线平行 难点 平行线判定方法的选用 在判定两直线平行时 应认真分析题目及图形 特点 找到判定两条直线平行所用的角 再寻找这些角之间的 关系 从而使问题得到解决 例 已知 如图 点 在 上 射线 与 平行吗 请说明理由 分析 由 得 和 互余 而已知 和 互余 则 所以可判断 解 方法一 理由如下 图 因为 所以 所以 又因为 所以 等量代换 所以 同位角相等 两直 线平行 方法二 理由如下 因为 第五章 相交线与平行线 对 应 学 生 用 书 页 所以 又因为 所以 所以 同旁内角互补 两直线平行 点拨 证明两条直线平行时 方法一般不止一种 可灵活 选取 平行线的性质 课时 平行线的性质 重点 探索并掌握平行线的性质 并会用平行线的性质进 行简单的推理和计算 难点 区分平行线的性质和判定 并会写规范的证明推理 过程 平行线的判定方法有哪三种 我们是先知道什么 后推什么 解 略 如果两直线都与第三条直线平行 那么这两条直线 也 互相平行 平行线的性质 重点 阅读教材 的 探究 测量教材图 中的角的 度数 写出探究问题的答案 图 解 求角的度数略 同位角有 和 和 和 和 它们的 度数相等 即 由此猜想 两条平行线被第三条直 线截得的同位角相等 再任意画一条截线 各对同位角的度数还相等 猜想还 成立 如图 两条直线 测量一下被直线 所截而成的同位角有什么数量关系 解 同位角相等 平行线的性质 两条平行线被第三条直线所截 同位 角 相等 可以简单说成 两直线平行 同位角相等 图 如图 已知 那么 与 有什么关系 解 因为 已知 所以 两直线平行 同位角相等 又因为 图 对顶角相等 所以 等量代换 如图 已知 那么 与 有什么关系呢 解 因为 已知 所以 两 直线平行 同位角相等 因为 邻补角定义 所以 等量代换 平行线的性质 两条平行线被第三条直线所截 内错角 相等 简单说成 两直线平行 内错角相等 平行线的性质 两条平行线被第三条直线所截 同旁内角 互补 简单说成 两直线平行 同旁内角 互补 平行线性质的前提是 两直线平行 然后得出 同 位角 内错角 同旁内角 之间的关系 是由 位置关系 到 数 量关系 平行线判定的前提是 角相等或互补 然后得出两 直线的位置关系 是由 数量关系 到 位置关系 图 例 如图 已知 且 你能求出 的度数吗 为什么 解 例 如图 分别为 和 的平分线 试判断 和 的位置关系 并说明理由 如果 是 的平分线 如图 中 的结论还成立吗 说明理由 如果 是 的平分线 如图 中的结 论还成立吗 如果不成立 你能得到什么结论 请说明理由 提 示 三角形中三个内角的和为 图 图 图 解 理由略 中的结论仍然成立 理由略 中的结论不成立 结论 理由略 难点 巧添平行线解题 在有关图形的计算和推理中 常见的一类 折 线 拐角型 问题 解这类问题的方法是经过拐点作平行线 七年级数学 下 版 对 应 学 生 用 书 页 沟通已知角和未知角的联系 从而化 未知 为已知 例 如图 和 交于点 试猜想 的大小关系 并说明理由 如图 直线 垂足为 与 相 交于点 若 则 如图 图中 之间有什么关系 图 图 图 解 理由 如图 过点 作 由于 所以 所以 所以 即 图 图 由 中的结论有 理由 如图 作 则 作 则 因为 所以 所以 所以 即 因此 课时 命题 定理 证明 重点 命题的定义及结构 理解证明要步步有据 难点 准确写出证明步骤 下列句子有什么区别 两点之间 线段最短 请画出两条互相平行的直线 过直线外一点作已知直线的垂线 如果两个角的和是 那么这两个角互余 解 对一件事情作出了判断 没有对一件 事情作出判断 命题的内容 重点 阅读教材 的内容 完成下列问题 下列句子中 哪些是命题 哪些不是命题 对顶角相等 画一个角等于已知角 两直线平行 同位角相等 两条直线平行吗 温柔的李明明 玫瑰花是动物 若 求 的值 若 则 解 都对一件事情作出了判断 是命题 没有对一件事情作出判断 不是命题 将下列命题改写成 如果 那么 的形式 并指 出命题的条件和结论 邻补角互补 等角的余角相等 直角三角形的两个锐角互余 解 如果两个角互为邻补角 那么这两个角互补 题设 两个角互为邻补角 结论 这两个角互补 如果两个角相等 那么这两个角的余角相等 题设 两个角相等 结论 这两个角的余角相等 如果两个角是直角三角形的两个锐角 那么这两个角 互余 题设 两个角是直角三角形的两个锐角 结论 这两个角 互余 命题 判断一件事情 的句子叫作命题 题设 结论 命题由 题设 和 结论 两部分组 成 题设是已知事项 结论 是由已知事项推断出的 事项 命题的形式 数学中的命题常可写成 如果 那么 的形式 这时 如果 后接的部分是题设 那么 后接的部分是结论 命题的概念有两层含义 首先 命题是一个完整 的句子 其次 命题必须是对某件事情作出肯定或否定的判断 有的命题的语言很简练 题设和结论不明显 可以先分析 将其改写成 如果 那么 的形式 再分清题设和结论 在改写 时 可以适当加一些词语使语句通顺 但不能改变命题本意 真命题 假命题 重点 判断下列命题的真假 并说明理由 如果两个角相等 那么它们是对顶角 第五章 相交线与平行线 如果 那么 如果两个角互补 那么它们是邻补角 一条直线截另外两直线所得的同位角相等 解 假命题 理由 同桌每人画一个 的角 是相等 的角 但不是对顶角 图 真命题 理由 由有理数大小的比较方 法可得出结论正确 假命题 理由 同桌一个画 的角 一 个画 的角 这两个角互补 但是这两个角不 是邻补角 假命题 理由 如图 直线 截直线 但是同位角 和 不相等 真命题 如果题设成立 那么结论一定成立的命题 叫作真命题 假命题 题设成立时 不能保证结论一定成立的命 题叫作假命题 假命题题设成立 结论不一定成立 如 两个角的和 是 那么这两个角是邻补角 是假命题 定理 证明 反例 重点 阅读教材 的内容 回答下列问题 什么叫作定理 并举例 解 通过推理的方法得到证实的真命题叫作定理 如 同 旁内角互补 两直线平行 两直线平行 内错角相等 三角 形的内角和是 等都是定理 什么叫作证明 解 在很多情况下 一个命题的正确性需要经过推理才 能作出判断 这个推理过程叫作证明 阅读教材 的例 自己写出解题步骤 并归纳证明 的一般步骤 解 例 的证明步骤 已知 垂直 的定义 又 已知 两直线平行 同位角相等 等量代换 垂直的定义 证明的一般步骤 根据题意 画出图形 根据题设 结论 结合图形 写出已知 求证 经过分析 找出由已知推出结论的途径 写出证明 过程 并注明依据 证明过程中画出准确 清晰 与题意相符的图 形 不仅是必要的 且有助于在证明中进行观察分析 再根据条 件 结论写出已知 求证 最后在分析 探索的基础上 写出证明 过程 对于证明中的每步推理都要有根据 不能 想当然 这些根据可以是已知条件 也可以是学过的定义 基本事实和 定理等 定理都是真命题 但真命题不一定都是定理 定理可 以作为推理其他命题的依据 判断一个命题是假命题 只要举出一个例子 反例 它符合命题的题设 但不满足结论就可以了 例 判断下列语句是不是命题 并说明理由 如果是 说 出它的题设和结论 直线 平行于直线 画 的平分线 垂直于同一直线的两条直线平行 解 不是命题 因为句子只陈述了 的事实 并没有对这一事实产生的结果 如某些角相等或互补 做出肯 定或否定的判断 不是命题 因为此句只说了作图的一个步骤 并没有 做出任何判断 是命题 因为此句对符合一定条件的直线作出了是平 行线的判断 题设 两条直线都垂直于同一条直线 结论 这两条直线互 相平行 例 指出下列命题的题设和结论 并判断其真假 如果 是假命题 举出一个反例 同角的补角相等 异号的两数相加得负数 能被 整除的数的个位数字是 互为相反数的两个数的商等于 解 题设 两个角是同一个角的补角 结论 这两个角 相等 真命题 题设 两个数异号 结论 这两个数的和是负数 假命题 反例 与 异号 但这两个数的和为 是正数 题设 一个数能被 整除 结论 这个数的个位数字 是 假命题 反例 能被 整除 它的个位数字为 题设 一个数是两个互为相反数的数的商 结论 这个 数为 假命题 反例 是 与 的商 它不是 图 例 证明 邻补角的平分线互相 垂直 已知 如图 互 为邻补角 平分 平分 求证 证明 平分 平分 已知 角平分线的定义 又 互为邻补角 邻补角的定义 垂直的定义 七年级数学 下 版 对 应 学 生 用 书 页 平移 重点 平移的基本性质及其归纳过程 难点 认识 探究图形平移的特征 画 平 行 线 的 步 骤 一 落 二 靠 三 移 四 画 平行线的性质 两直线平行 同位角相等 两直线平行 内错角相等 两直线平行 同旁内角 互补 平移的定义 重点 观察教材 图 它们有什么共同的特点 能否 根据其中的一部分绘制出整个图案 解 它们都是由基本图形组成的 能根据其中的一部分 绘制出整个图案 举出生活中几个平移的例子 解 扫地时 把桌子从一个位置沿着某一方向拖到另 一个位置 这就是桌子的平移 火车在笔直的轨道上行驶 就是火车的平移 类似平移现象的例子很多 平移 把一个图形整体沿某一直线方向移动一定的 距离 叫作平移 对应点 新图形中的每个点 都是由原图形中的某 一点移动后得到的 这两个点是对应点 拓展 平移的过程涉及两个要素 平移的方向和平 移的距离 平移时 图形中所有点的移动方向一致 并且移 动的距离相等 图形中的平移只改变图形的位置 其余的都没 有发生改变 图形平移的方向不一定是水平的 有可能是各个方 向的 平移的性质 重点 观察教材 探究 中图 与图 中的雪人 大小和形状一样吗 怎样由图 中的图案得到图 中的图案 解 两个图形中的雪人大小和形状完全一样 图 中的图案向右平行移动就可以得到图 中的图案 观察教材 图 中连接各组对应点的线段 可以发 现它们的位置关系是 数量关系是 再作出连接一些其他的对应点的线段 它们仍然 平 行 且 相等 如图 三角形 平移后的图形是三角形 线段的位置关系有 线段的数量关系有 角的数量关系有 和 的形状和大小 完全相同 平移后的图形与原来的图形的对应点连线间的位置 关系是 数量关系是 图 图 如图 线段 沿着 的方向平移到 的位 置 则平移的方向是 的方向 平移的距离是线段 或 的长 图形平移后 在原图形上的点或图形都作了相同的 平移 图形平移前后 对应线段平行 或在同一条直线 上 且相等 对应角相等 图形平移前后的 形状 和 大小 完全相同 只 是位置发生了变化 图形平移后 对应点连成的线段 平行 或在同一 直线上 且 相等 逆用平移的性质 可用来判断两个图形的变换 是否是平移变换 图形平移有两个要点 一是平移的方向 二是平移的距离 平移作图 难点 观察如图 网格中的图形 解答下列问题 将网格中 左图沿水平方向向右平移 使点 移至点 处 作出平移后的 图形 图 本题是一道和平移有关的作图问题 解决问题首先要确定 平移的方向 和 平移的距离 从已知可知平移方向是由 平移的距离为线段 的长度 即 个单位长 度 然后确定关键点 将这些关键点都 向右平移 个单位长度 得到对应点 按原图形的顺序连接各点 即可得到 平移后的图 形 如图 第五章 相交线与平行线 图 平移作图的依据 根据题意给出的平移方向和距离画出已知图形平移 后的图形 反过来 能够根据平移前后的图形说出平移的方 向和距离 平移作图的依据是 平移 的性质 把已知图形平 移一定的距离后 作出图形 平移作图的一般步骤 分析题目要求 找出平移的方向和距离 分析图形 找出构成图形的关键点 按平移的方向和距离平移各个关键点 顺次连接所作的各个关键点 并标上相应的字母 得出结论 拓展 平移作图的关键是逐一平移原图形中的关 键点 平移作图时必须注意两个条件 平移的方向 平移的距离 作图时可结合平移的性质判断两个图形是否满足形 状 大小完全相同 例 下列 四幅图案中 能通过平移图案 得到的是 图 图 例 如图 将 平移到 图中相等的线段有 相等的角有 平行的线段有 例 经过平移后 梯形 的顶点 移动到点 如 图 作出平移后的梯形 图 解 连接 过点 作 使 则 点就是 点的对应点 用同样的方法过 点作 使 过 点作 使 则 点分别 是点 点 的对应点 连接 即可得到 平移后的四边形 图略 难点 最短路径设计 设计建桥的位置就隐含了平移的知识 体现了 数学知识与社会生活的紧密联系 既能使我们在具体情况中分 析 解决问题 又很好地培养和锻炼同学们的发散思维能力 例 如图 两城市之间有一条国道 国道的 宽为 现要在国道上修建一座垂直于国道的立交桥 使通过 两城市路程最近 请你设计建桥的位置 并说明理论依据 图 图 解 设国道的两边分别为 桥为 那么从 到 要 走的路线就是 如图 而 定值 于是要 使路径最短 只要 最短即可 此时两线段应在同一平行方 向上 若设想先过桥 即平移 于 从 到 应是余下的路 程 连接 的线段即为最短的 线段 与国道边缘 交于点 过点 作 于点 则 就是修桥的位置 七年级数学 下 版 对 应 学 生 用 书 页 平方根 课时 算术平方根 重点 算术平方根的概念和求法 难点 夹值法及估计一个 非有理 数的大小的思想 平方 指数是 的乘方 实际上 就是 分别计算 到 的整数的平方 一个正数的绝对值是它 一个负数的绝对值是 它的 的绝对值是 解 略 算术平方根的概念及表示方法 重点 阅读教材 第 自然段 完成下列表格 正方形的面积 正方形的边长 表格中的问题实际是知道 一个正数 的平方 求这 个 正数 你能根据等式 说出 的算术平方根是多少 吗 并用等式表示出来 解 的算术平方根是 用式子表示为槡 因为 所以 分别是 的算术平方根 已知一块面积为 的正方形画布 这块正方形画 布的边长应为多少 解 因为 的算术平方根为 所以这块正方形画布的 边长应为 定义 一般地 如果一个 正数 的平方等于 即 那么这个正数 叫作 的算术平方根 的算术 平方根记为 槡 读作 根号 叫作 被开 方数 规定 的算术平方根是 结论 被开方数越大 对应的算术平方根也 越 大 这个结论对所有正数成立 由于任何一个数的平方都不会是负数 所以负 数没有算术平方根 算术平方根具有非负性 即槡 算术平方根是它本身的数只有 和 估算 阅读教材 探究 的内容 怎样用两个面积为 的小正方形拼成一个面积为 的大正方形 解 方法一 如图 把两个小正方形分别沿对角 线剪开 将所得的 个直角三角形拼在一起 就可得到一个面 积为 的大正方形 图 图 方法二 把 个面积为 的正方形沿两条对角线剪开 得 到四个等腰直角三角形 然后把 个等腰直角三角形的斜边与面 积为 的正方形的四条边重合 就得到一个面积为 的 大正方形 如图 你知道 中得到的面积为 的大正方形的边长是多 少吗 解 设大正方形的边长为 则 由算术平方根的意 义可知 槡 所以大正方形的边长为槡 阅读教材 探究 槡 究竟有多大 完成下列填空 槡 是一个 无限不循环 小数 该小数是指小数位数 无 限 且小数部分 不循环 的小数 一个正方形的面积是 估计它的边长大小在哪两个整数 之间 解 设正方形的边长为 因为正方形的面积是 所以 槡 所以 槡 因为 所以 槡 估算 估算能力也是一种重要的数学运算能力 特别是 对平方根的估算 通常取与 被开方数 最近的两个完全平方 数的算术平方根相比较 如估算槡 的大小 可以取和 最近 的两个完全平方数 和 因为 所以槡 槡 槡 即 槡 拓展 槡 的结果有两种情况 当 是 完全平方数 时 槡 是一个 有限数 当 不是一个 完全平方数 时 槡 是一个 无限不循环小数 第六章 实数 对 应 学 生 用 书 页 用计算器求一个正数的算术平方根 阅读教材 的例 并仿照例 完成下列计算 用计算器求下列各式的值 槡 槡 槡 精确到 解 依次按键槡 显示 所以槡 依次按键槡 显示 所以 槡 依次按键槡 显示 所以槡 当被开方数不是完全平方数时 计算器上显示的也 只是近似值 我们可以利用计算器方便地求出一个正数的算术 平方根的近似值 阅读教材 探究 并写出问题的答案 解 填表如下 槡 槡 槡 槡槡 槡槡 从表中可以发现 被开方数的小数点向右或者向左移动两位 它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动一位 因为槡 所以 槡 槡 槡 根据槡 的值不能说出槡 的值 正方形的面积和圆的面积均为 问哪一个周长 小一些 解 正方形的边长为槡 正方形的周长 为 圆的半径为 槡 圆的周长为 因为 所以圆的周长小一些 在求某些数的算术平方根时 有些数据比较大或很 小或不易求出 便可以利用计算器直接快速地求出这个数 的算术平方根 或其近似值 大多数计算器都有 槡 键 用它可以求出一个正 数的算术平方根 或其近似值 因为计算器的型号不同 按 键顺序可能有所不同 但一般先按键 槡 然后按输入数 据的键 再按 键 也有的计算器先按输入数据的键 再按 槡 键 计算器显示的结果就是该数的算术平方根 不同型号的计算器按键顺序可能不同 不要搞错按 键顺序 要以计算器的说明书为准 例 求下列各数的算术平方根 槡 槡 解 例 估算槡 的近似值 精确到 解 难点 非负数性质的应用 非负数指的是正数和零 常用的非负数主要有 绝对值 实数的平方 算术平方根 槡 非负数有如下性质 个非负数的和为 例如 如果 满足 槡 那么有 例 已知实数 满足 槡 求式子 的值 解 因为 槡 而 槡 所以 解得 当 时 课时 平方根 重点 平方根的概念和求非负数的平方根 难点 能熟练地求某些非负数的算术平方根和平方根 如果一个数的平方等于 那么这个数是多少 解 这样的数有两个 它们是 和 相反数的概念及其表示方法 只有符号不同 的两个 数 我们说它们互为相反数 如 的相反数是 平方根 重点 阅读教材 思考 完成下列问题 思考 中表格的答案应该是什么 解 依次填 是 的 平方根 是 的平方根 是 的 平方根 七年级数学 下 版 对 应 学 生 用 书 页 的平方根是 的平方根是 槡 的 平方根是 的平方根有 个 没有 平方根 因为任何一个数的平方 都 不是负数 平方根的定义 一般地 如果一个数的 平方 等于 那么这个数就叫作 的平方根或二次方根 这就是 说 如果 那么 叫作 的 平方根 观察教材 图 中的两个图描述了 平方 与 开平方 互为逆运算的运算过程 揭示了 开平方运算 的 本质 根据这个关系可知 的平方根分别是 开平方 求一个数 的 平方根 的运算 叫作开平 方 平方 与开平方互为逆运算 完成下列习题 从这些题目中你能发现什么规律 槡 槡 槡 槡 槡 槡 槡 正数有 两个 平方根 它们互为相反数 的平 方根是 负数 没有 平方根 正数 的算术平方根可用 槡 表示 正数 的负 的平方根可用 槡 表示 正数 的平方根可用 槡 表示 读作 正 负根号 平方根等于它本身的数只有 槡 槡 槡 平方根与算术平方根的区别与联系 计算 的平方根是 的算术平方根是 判断正误 并说明理由 的平方根是 的算术平方根是 槡 的算术平方根是 槡 的算术平方根是 解 错 因为 的平方根有两个 是 错 因为 的算术平方根只有一个 是 错 因为槡 的算术平方根是 错 因为 槡 槡 负数没有算术平方根 如果槡 的平方根是 那么 平方根与算术平方根的区别与联系 区别 如果 那么 叫作 的 平方 根 如果 且 时 叫作 的 算术平方 根 正数 的平方根表示为 槡 正数 的算术平 方根表示为 槡 一个正数的平方根有 两 个 它们 互为相反数 一个正数的算术平方根 只有一 个 联系 平方根包含算术平方根 算术平方根是平方根 的一个 平方根和算术平方根都只有 非负数 才有 负 数 没有平方根和算术平方根 的平方根和算术平方根都 是 例 求下列各数的算术平方根和平方根 槡 解 槡 槡 例 求下列各式的值 槡 槡 槡 槡 解 例 小明家计划用 块正方形的地板砖铺设面积是 的客厅 问 小明家需要购买边长是多少的地板砖 解 立方根 重点 立方根的概念和求法 用有理数估计一个无理数的 大致范围 难点 用有理数估计一个无理数的大致范围 写出 的立方分别是多少 解 分别是 做一个正方体的纸盒 使它的容积为 则该正方 体的棱长是多少 解 立方根的相关知识 重点 阅读教材 的 问题 写出 问题 的答案 解 设这种包装箱的棱长为 则 这就是求一 个数 使它的立方等于 因为 所以 即这种包装 箱的棱长为 第六章 实数 立方根的概念 一般地 如果一个数的 立方 等于 这个数就叫作 的立方根或三次方根 这就是说 如果 那么 就叫作 的立方根 立方根的记法 一个数 的立方根 用符号 槡 表示 读作 三次根号 其中 是 被开方数 是 根指数 如 的立方等于 所以 是 的立 方根 记作 槡 拓展 与平方根 立方根的意义类似 如果 是 大于 的整数 那么 就叫作 的 次方 就叫作 的 次方根 例如 则 是 的 四次方根 又 因为 所以 也是 的四次方根 即 的四次方 根有两个 分别为 槡 中的根指数 不能省略 若省略了就表示 的算 术平方根 请对照数的平方根与立方根的特征 谈谈你对一个 数 的 次方根 是大于 的整数 的认识 解 为奇数时 任何一个数 的 奇数 次方根 总有一个 而且与 的符号相同 为偶数时 正数 的 偶 数 次方根有两个 且互为相反数 负数 没有 偶数 次方 根 的 次方根为 要使等式 槡 槡 成立 则 与 应满足什么条件 解 为奇数时成立 根据立方根的意义填空 因为 所以 的立方根是 因为 所以 的立方根是 因为 所以 的立方 根是 因为 所以 的立方根是 槡 表示 的立方根 槡 槡 表示 的立方根 槡 正数的立方根是 正数 负数的立方根是 负数 的立方根是 立方根等于本身的数有三个 分别是 和 任何实数都有立方根 并且只有一个 同时立方根的 符号与其本身的符号相同 填空 槡 槡 所以 槡 槡 因为 槡 槡 所以 槡 槡 因为 槡 槡 所 以 槡 槡 槡 槡 槡 槡 公式 槡 槡 槡 槡 开立方 求一个数的立方根的运算叫作 开立 方 正如开平方与平方互为逆运算一样 开立方与立方也 互为逆运算 我们可以根据这种关系求一个数的立方根 或 者检验一个数是否是某个数的立方根 开立方时 被开方数可以是正数 负数或零 求一个带分数的立方根时 首先要把带分数转化为假 分数 然后再求它的立方根 用计算器求一个数的立方根 阅读教材 的内容 说一说利用计算器来求一个数的 立方根的步骤是什么 解 步骤 依次按键 槡 数字键 根据显示出的 结果写出立方根 如求 的立方根 精确到 可依次 按键 槡 显示 所以 槡 有些计算器要用第二功能键求一个数的立方根 例如用这 种计算器求 槡 可以依次按键 槡 显示 阅读教材 探究 并写出问题的答案 解 用计算器得 槡 槡 槡 槡 发现规律 被开方数的小数点向右 或者向左移动 位 它的立方根的小数点就相应地向右或者向 左移动 位 由 槡 可得 槡 槡 槡 例 求下列各数的立方根 槡 槡 解 槡 例 求下列各式的值 槡 槡 解 例 用计算器求下列各数的立方根 结果保留 位小数 解 七年级数学 下 版 对 应 学 生 用 书 页 实数 课时 实数的有关概念 重点 实数的意义和实数的分类 难点 实数与数轴上的点一一对应关系 的理解 整数可以看成是 的分数 正整数 负整数 正 分数 负分数都可以写成 的形式 这样的数称 为 数轴的定义 规定了 的直 线叫作数轴 使用计算器计算 把下列有理数写成小数的形式 你有 什么发现 解 略 实数的有关概念及分类 重点 阅读教材 的内容完成下列问题 下列各数中 哪些是有理数 哪些是无理数 小数部分由相继的正整数组 成 解 有理数有 无理数有 小数部分由相继的 正整数组成 无理数的定义 无限不循环小数 叫作无理数 如槡 槡 等 无理数的判断方法 定义是判断一个数是不是无 理数的重要依据 无理数不能写成分数的形式 两个整数 的商 无理数的主要形式 开方开不尽的数 如槡 槡 槡 等 圆周率 以及一些含有 的数 如 等 具有 特定结构的数 如 相邻两个 之间 的个数 逐次加 无理数都是无限小数 但无限小数不一定是无 理数 某些数的平方根或立方根是无理数 但是带根号的数 却不都是无理数 如槡 槡 槡 等均是有理数 把下列各数填入相应的集合内 槡 槡 槡 相邻两 个 之间 的个数逐次加 解 有理数集合 槡 无理数集合 槡 槡 相邻两个 之间 的个数逐次加 正实数集合 槡 槡 负实数集合 槡 相邻 两个 之间 的个数逐次加 实数的定义 有理数 和 无理数 统称为 实数 实数的分类 按定义分类 实数 有理数 整数 正整数 负整数 分数 正分数 负分数 无理数 正无理数 负无理数 按性质分类 实数 正实数 正有理数 正无理数 负实数 负有理数 负无理数 实数的分类有不同的方法 但要按同一标准 不 重不漏 对实数进行分类时 应先对某些数进行计算或化简 然后根据它的最后结果进行分类 不能看到带根号的数就认为 是无理数 如槡 槡 均不是无理数 也不能看到具有分数形式 第六章 实数 对 应 学 生 用 书 页 的数就认为是有理数 如 不是有理数 而是无理数 实数与数轴上的点之间的关系 阅读教材 探究 并观察教材图 根据问题 能得到什么结论 解 从图中可以看出 的长是这个圆的周长 这样 无理数 可以用数轴上的点表示出来 如教材 图 在数轴上表示出的数为什么 解 因为边长为 的正方形的对角线长为槡 同圆的半 径相等 所以表示出的数是槡 如图 数轴上表示数槡 的点是点 中的 哪个点 图 解 本题主要考查如何在数轴上来表示无理数的问题 槡 所以数轴上表示槡 的点是点 每个无理数都可以用 数轴上的一个点 表示出来 当数的范围从有理数扩充到实数后 实数 与数