09高考数学真题合集1.doc

2009年普通高等学校夏季招生考试（全国卷）数学（文史类）参考公式：如果事件A、B互斥,那么P(A+B)=P(A)+P(B)如果事件A、B相互独立,那么P(AB)=P(A)P(B)如果事件A在一次试验中发生的概率是p,那么n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率Pn(k)=(k=0,1,2,n)球的表面积公式S=4R2,其中R表示球的半径.球的体积公式其中R表示球的半径第卷(选择题)一、选择题本卷共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.（2009全国卷，文1）已知全集U=1,2,3,4,5,6,7,8,M=1,3,5,7,N=5,6,7,则(M N)=( )A.5,7 B.2,4 C.2,4,8 D.1,3,5,6,7答案：C2.（2009全国卷，文2）函数(x0)的反函数是( )A.y=x2(x0) B.y=-x2(x0) C.y=x2(x0) D.y=-x2(x0)答案：B3.（2009全国卷，文3）函数的图象( )A.关于原点对称 B.关于直线y=-x对称C.关于y轴对称 D.关于直线y=x对称答案：A4.（2009全国卷，文4）已知ABC中，则cosA= ( )A. B. C. D.答案：D5.（2009全国卷，文5）已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中,AA1=2AB,E为AA1中点,则异面直线BE与CD1所成角的余弦值为( )A. B. C. D.答案：C6.（2009全国卷，文6）已知向量a=(2,1),ab=10,|a+b|=,则|b|=( )A. B. C.5 D.25答案：C7.（2009全国卷，文7）设a=lge,b=(lge)2,则( )A.abc B.acb C.cab D.cba答案：B8.（2009全国卷，文8）双曲线的渐近线与圆(x-3)2+y2=r2(r0)相切,则r=( )A. B.2 C.3 D.6答案：A9.（2009全国卷，文9）若将函数y=tan()(0)的图像向右平移个单位长度后,与函数y=tan()的图像重合,则的最小值为( )A. B. C. D.答案：D10.（2009全国卷，文10）甲、乙两人从4门课程中各选修2门,则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有( )A.6种 B.12种 C.24种 D.30种答案：C11.（2009全国卷，文11）已知直线y=k(x+2)(k0)与抛物线C:y2=8x相交于A、B两点,F为C的焦点.若|FA|=2|FB|,则k=( )A. B. C. D.答案：D12.（2009全国卷，文12）纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北,现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开,外面朝上展平,得到右侧的平面图形,则标“”的面的方位是 ( )A.南 B.北 C.西 D.下答案：B第卷(非选择题)本卷共10小题,共90分二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填写在答题卡上相应位置的横线上.13.（2009全国卷，文13）设等比数列an的前n项和为Sn.若a1=1,S6=4S3,则a4=_.答案：314.（2009全国卷，文14）()4的展开式中x3y3的系数为_.答案:615.（2009全国卷，文15）已知圆O:x2+y2=5和点A(1,2)，则过A且与圆O相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积等于_.答案:解析:A(1,2)在圆x2+y2=5上,16.（2009全国卷，文16）设OA是球O的半径,M是OA的中点,过M且与OA成45角的平面截球O的表面得到圆C.若圆C的面积等于,则球O的表面积等于_.答案:8三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答过程写在答题卡的相应位置.17.（2009全国卷，文17）已知等差数列an中,a3a7=-16,a4+a6=0,求an的前n项和Sn.解：设an的公差为d,则即解得或因此,Sn=-8n+n(n-1)=n(n-9),或Sn=8n-n(n-1)=-n(n-9).18.（2009全国卷，文18）设ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c,cos(A-C)+cosB=,b2=ac,求B.解：由cos(A-C)+cosB=及B=-(A+C)得cos(A-C)-cos(A+C)=.cosAcosC+sinAsinC-(cosAcosC-sinAsinC)=,.又由b2=ac及正弦定理得sin2B=sinAsinC,故,或(舍去)，于是,或.又由b2=ac知ba或bc,所以.19.（2009全国卷，文19）如图,直三棱柱ABCA1B1C1中,ABAC,D、E分别为AA1、B1C的中点,DE平面BCC1.e(1)证明:AB=AC;(2)设二面角A-BD-C为60,求B1C与平面BCD所成的角的大小.解法一：(1)取BC中点F,连结EF,则EF.从而EFDA.连结AF,则ADEF为平行四边形,从而AFDE.又DE平面BCC1,故AF平面BCC1.从而AFBC,即AF为BC的垂直平分线,所以AB=AC.(2)作AGBD,垂足为G,连接CG.由三垂线定理知CGBD,故AGC为二面角A-BD-C的平面角.由题设知,AGC=60.设AC=2,则,又AB=2,故.由ABAD=AGBD得,解得，故AD=AF,又ADAF,所以四边形ADEF为正方形.因为BCAF,BCAD,AFAD=A,故BC平面DEF,因此平面BCD平面DEF.连接AE、DF,设AEDF=H,则EHDF,EH平面BCD.连接CH,则ECH为B1C与平面BCD所成的角.因ADEF为正方形,故EH=1,又.所以ECH=30，即B1C与平面BCD所成的角为30.解法二:(1)以A为坐标原点,射线AB为x轴的正半轴,建立如图所示的直角坐标系A-xyz,设B(1,0,0),C(0,b,0),D(0,0,c),则B1(1,0,2c),E(,c).于是=(,0),=(-1,b,0).由DE平面BCC1知DEBC,=0,求得b=1,所以AB=AC.(2)设平面BCD的法向量=(x,y,z),则=0,=0.又=(-1,1,0),=(-1,0,c),故令x=1，则y=1,=(1,1,).又平面ABD的法向量=(0,1,0).由二面角A-BD-C为60,知,=60,故=|cos60,求得.于是=(1,1,),=(1,-1,).cos,=,=60.所以B1C与平面BCD所成的角为30.20.（2009全国卷，文20）某车间甲组有10名工人,其中有4名女工人;乙组有10名工人,其中有6名女工人.现采用分层抽样方法(层内采用不放回简单随机抽样)从甲、乙两组中共抽取4名工人进行技术考核.(1)求从甲、乙两组各抽取的人数;(2)求从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率;(3)求抽取的4名工人中恰有2名男工人的概率.解：(1)由于甲、乙两组各有10名工人,根据分层抽样原理,要从甲、乙两组中共抽取4名工人进行技术考核,则从每组各抽取2名工人.(2)记A表示事件:从甲组抽取的工人中恰有1名女工人,则.(3)Ai表示事件:从甲组抽取的2名工人中恰有i名男工人 ,i=0,1,2.Bj表示事件:从乙组抽取的2名工人中恰有j名男工人,j=0,1,2.B表示事件:抽取的4名工人中恰有2名男工人.Ai与Bi独立,i,j=0,1,2,且B=A0B2+A1B1+A2B0.故P(B)=P(A0B2+A1B1+A2B0)=P(A0)P(B2)+P(A1)P(B1)+P(A2)P(B0)=.21.（2009全国卷，文21）设函数=-(1+a)x2+4ax+24a,其中常数a1.(1)讨论的单调性;(2)若当x0时,0恒成立,求a的取值范围.解：(1)f(x)=x2-2(1+a)x+4a=(x-2)(x-2a).由a1知,当x2时,f(x)0,故在区间(-,2)上是增函数;当2x2a时,f(x)0,故在区间(2,2a)上是减函数;当x2a时,f(x)0,故在区间(2a,+)上是增函数.综上,当a1时,在区间(-,2)和(2a,+)上是增函数,在区间(2,2a)上是减函数.(2)由(1)知,当x0时,在x=2a或x=0处取得最小值.=.f(0)=24a.由假设知即解得1a6.故a的取值范围是(1,6).22.（2009全国卷，文22）已知椭圆C:(ab0)的离心率为,过右焦点F的直线l与C相交于A、B两点,当l的斜率为1时,坐标原点O到l的距离为.(1)求a,b的值;(2)C上是否存在点P,使得当l绕F转到某一位置时,有成立？若存在，求出所有的P的坐标与l的方程；若不存在，说明理由.解：(1)设F(c,0),当l的斜率为1时,其方程为x-y-c=0,O到l的距离为.故,c=1.由,得,.(2)C上存在点P，使得当l绕F转到某一位置时,成立.由(1)知C的方程为2x2+3y2=6.设A(x1,y1),B(x2,y2).()当l不垂直于x轴时,设l的方程为y=k(x-1).C上的点P使成立的充要条件是P点的坐标为（x1+x2,y1+y2）,且2(x1+x2)2+3(y1+y2)2=6,整理得2x12+3y12+2x22+3y22+4x1x2+6y1y2=6.又A、B在C上,即2x12+3y12=6,2x22+3y22=6.故2x1x2+3y1y2+3=0, 将y=k(x-1)代入2x2+3y2=6,并化简得(2+3k2)x2-6k2x+3k2-6=0.于是,y1y2=k2(x1-1)(x2-1)=.代入解得,k2=2,此时.于是y1+y2=k(x1+x2-2)=,即P().因此,当时,P(),l的方程为;当时,P(),l的方程为.()当l垂直于x轴时,由知,C上不存在点P使成立.综上,C上存在点P()使成立,此时l的方程为.2009年普通高等学校夏季招生考试（陕西卷）数学（文史类）(必修+选修)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2009陕西,文1)若不等式x2-x0的解集为M,函数=ln(1-|x|)的定义域为N,则MN为( )A.0,1) B.(0,1) C.0,1 D.(-1,0答案:A2.(2009陕西,文2)若tan=2,则的值为( )A.0 B. C.1 D.答案:B3.(2009陕西,文3)函数(x4)的反函数为( )A.(x0) B.(x2)C.(x0) D.(x2)答案:D4.(2009陕西,文4)过原点且倾斜角为60的直线被圆x2+y2-4y=0所截得的弦长为( )A. B.2 C. D.答案:D5.(2009陕西,文5)某单位共有老、中、青职工430人,其中有青年职工160人,中年职工人数是老年职工人数的2倍.为了解职工身体状况,现采用分层抽样方法进行调查,在抽取的样本中有青年职工32人,则该样本中的老年职工人数为( )A.9 B.18 C.27 D.36答案:B6.(2009陕西,文6)若(1-2x)2 009=a0+a1x+a2 009x2 009,则的值为( )A.2 B.0 C.-1 D.-2答案:C7.(2009陕西,文7)“mn0”是“方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”的( )A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案:C8.(2009陕西,文8)在ABC中,M是BC的中点,AM=1,点P在AM上且满足,则等于( )A. B. C. D.答案:A9.(2009陕西,文9)从1,2,3,4,5,6,7这七个数字中任取两个奇数和两个偶数,组成没有重复数字的四位数,其中奇数的个数为( )A.432 B.288 C.216 D.108答案:C10.(2009陕西,文10)定义在R上的偶函数,对任意x1,x20,+)(x1x2),有,则( )A.f(3)f(-2)f(1) B.f(1)f(-2)f(3)C.f(-2)f(1)f(3) D.f(3)f(1)f(-2)答案:A11.(2009陕西,文11)若正方体的棱长为,则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为( )A. B. C. D.答案:B12.(2009陕西,文12)设曲线y=xn+1(nN*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn,则x1x2xn等于( )A. B. C. D.1答案:B二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在答题卡相应题号后的横线上.13.(2009陕西,文13)设等差数列an的前n项和为Sn,若a6=S3=12,则an的通项an=_.答案:2n14.(2009陕西,文14)设x,y满足约束条件则z=x+2y的最小值是_,最大值是_.答案:1 1115.(2009陕西,文15)如图,球O的半径为2,圆O1是一小圆,A,B是圆O1上两点.若AO1B=,则A、B两点间的球面距离为_.答案:16.(2009陕西,文16)某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组,每名同学至多参加两个小组.已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26、15、13,同时参加数学和物理小组的有6人,同时参加物理和化学小组的有4人,则同时参加数学和化学小组的有_人.答案:8三、解答题:本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分12分)(2009陕西,文17)已知函数=Asin(x+),xR(其中A0,0,0)的周期为,且图象上一个最低点为M(,-2).(1)求的解析式;(2)当x0,时,求的最值.解:(1)由最低点为M(,-2)得A=2.由T=得.由点M(,-2)在图象上得2sin()=-2,即sin()=-1,即,kZ.又(0,),.=2sin().(2)x0,.当,即x=0时,取得最小值1;当,即时,取得最大值.18.(本小题满分12分)(2009陕西,文18)据统计,某食品企业在一个月内被消费者投诉次数为0,1,2的概率分别为0.4,0.5,0.1.(1)求该企业在一个月内被消费者投诉不超过1次的概率;(2)假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影响,求该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率.解法一:(1)设事件A表示“一个月内被投诉的次数为0”,事件B表示“一个月内被投诉的次数为1”,P(A+B)=P(A)+P(B)=0.4+0.5=0.9.(2)设事件Ai表示“第i个月被投诉的次数为0”,事件Bi表示“第i个月被投诉的次数为1”,事件Ci表示“第i个月被投诉的次数为2”,事件D表示“两个月内共被投诉2次”.P(Ai)=0.4,P(Bi)=0.5,P(Ci)=0.1(i=1,2).两个月中,一个月被投诉2次,另一个月被投诉0次的概率为P(A1C2+A2C1),一、二月份均被投诉1次的概率为P(B1B2),P(D)=P(A1C2+A2C1)+P(B1B2)=P(A1C2)+P(A2C1)+P(B1B2),由事件的独立性得P(D)=0.40.1+0.10.4+0.50.5=0.33.解法二:(1)设事件A表示“一个月内被投诉2次”,事件B表示“一个月内被投诉的次数不超过1次”.P(A)=0.1,P(B)=1-P(A)=1-0.1=0.9.(2)同解法一.19.(本小题满分12分)(2009陕西,文19)如图,在直三棱柱ABCA1B1C1中,AB=1,AC=AA1=,ABC=60.(1)证明ABA1C;(2)求二面角A-A1C-B的大小.二面角的平面角.亦可利用空间向量坐标法解决.解法一:(1)证明:三棱柱ABCA1B1C1为直三棱柱,ABAA1.在ABC中,AB=1,ABC=60,由正弦定理得ACB=30,BAC=90,即ABAC.AB平面ACC1A1.又A1C平面ACC1A1,ABA1C.(2)如图,作ADA1C交A1C于D点,连结BD.由三垂线定理知BDA1C,ADB为二面角A-A1C-B的平面角.在RtAA1C中,.在RtBAD中,tanADB=,ADB=,即二面角A-A1C-B的大小为.解法二:(1)证明:三棱柱ABCA1B1C1为直三棱柱,AA1AB,AA1AC.在ABC中,AB=1,ABC=60,由正弦定理得ACB=30,BAC=90,即ABAC.如图,建立空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(1,0,0),C(0,0),A1(0,0,),=(1,0,0),=(0,).=10+0+0()=0,ABA1C.(2)如图,可取m=(1,0,0)为平面AA1C的法向量,设平面A1BC的法向量为n=(l,m,n),则n=0,n=0,又=(-1,0),n=m.不妨取m=1,则n=(,1,1),cosm,n=,二面角A-A1C-B的大小为.20.(本小题满分12分)(2009陕西,文20)已知函数=x3-3ax-1,a0.(1)求的单调区间;(2)若在x=-1处取得极值,直线y=m与y=的图象有三个不同的交点,求m的取值范围.解:(1)f(x)=3x2-3a=3(x2-a),当a0时,对xR,有f(x)0,当a0时,的单调增区间为(-,+).当a0时,由f(x)0,解得或;由f(x)0,解得.当a0时, 的单调增区间为(-,),(,+);的单调减区间为(,).(2)在x=-1处取得极值,f(-1)=3(-1)2-3a=0.a=1.=x3-3x-1,f(x)=3x2-3.由f(x)=0,解得x1=-1,x2=1.由(1)中的单调性可知,在x=-1处取得极大值f(-1)=1,在x=1处取得极小值f(1)=-3.直线y=m与函数y=的图象有三个不同的交点,又f(-3)=-19-3,f(3)=171,结合的单调性可知,m的取值范围是(-3,1).21.(本小题满分12分)(2009陕西,文21)已知数列an满足a1=1,a2=2,nN*.(1)令bn=an+1-an,证明bn是等比数列;(2)求an的通项公式.解:(1)证明:b1=a2-a1=1,当n2时,bn=an+1-an=,bn是以1为首项,为公比的等比数列.(2)由(1)知bn=an+1-an=()n-1,当n2时,an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+(an-an-1)=1+1+()+()n-2=,当n=1时,(nN*).22.(本小题满分14分)(2009陕西,文22)已知双曲线C的方程为(a0,b0),离心率,顶点到渐近线的距离为.(1)求双曲线C的方程;(2)如图,P是双曲线C上一点,A、B两点在双曲线C的两条渐近线上,且分别位于第一、二象限.若,2,求AOB面积的取值范围.解法一:(1)由题意知,双曲线C的顶点(0,a)到渐近线ax-by=0的距离为,即.由得双曲线C的方程为.(2)由(1)知双曲线C的两条渐近线方程为y=2x.设A(m,2m),B(-n,2n),m0,n0.由得P点的坐标为(,),将P点坐标代入,化简得.设AOB=2,tan()=2,.又|OA|=,|OB|=,SAOB=|OA|OB|sin2=2mn=.记,2,则.由S()=0得=1,又S(1)=2,当=1时,AOB的面积取得最小值2;当时,AOB的面积取得最大值.AOB面积的取值范围是2,.解法二:(1)同解法一.(2)设直线AB的方程为y=kx+m,由题意知|k|2,m0.由得A点的坐标为(),由得B点的坐标为().由得P点的坐标为(,.将P点坐标代入得.设Q为直线AB与y轴的交点,则Q点的坐标为(0,m),SAOB=SAOQ+SBOQ=.以下同解法一.2009年普通高等学校夏季招生考试（浙江卷）数学（文史类）本试题卷分选择题和非选择题两部分.满分150分,考试时间120分钟.参考公式:如果事件A,B互斥,那么P(A+B)P(A)+P(B)如果事件A,B相互独立,那么P(AB)P(A)P(B)如果事件A在一次试验中发生的概率是p,那么n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率Pn(k)pk(1-p)n-k(k0,1,2,3,n)球的表面积公式S4R2球的体积公式其中R表示球的半径棱锥的体积公式其中S表示棱锥的底面积,h表示棱锥的高棱柱的体积公式VSh其中S表示棱柱的底面积,h表示棱柱的高棱台的体积公式其中S1,S2分别表示棱台的上、下底面积,h表示棱台的高选择题部分(共50分)一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2009浙江,文1)设UR,Ax|x0,Bx|x1,则A( )A.x|0x1 B.x|0x1C.x|x0 D.x|x1答案:B2.(2009浙江,文2)“x0”是“x0”的( )A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件答案:A3.(2009浙江,文3)设z1+i(i是虚数单位),则( )A.1+i B.-1+i C.1-i D.-1-i答案:A4.(2009浙江,文4)设，是两个不同的平面,l是一条直线,以下命题正确的是( )A.若l,则l B.若l,则lC.若l,则l D.若l,则l答案:C5.(2009浙江,文5)已知向量a(1,2),b(2,-3).若向量c满足(c+a)b,c(a+b),则c( )A. B. C. D.答案:D6.(2009浙江,文6)已知椭圆(ab0)的左焦点为F,右顶点为A,点B在椭圆上,且BFx轴,直线AB交y轴于点P.若,则椭圆的离心率是( )A. B. C. D.答案:D7.(2009浙江,文7)某程序框图如图所示,该程序运行后输出的k的值是( )A.4 B.5 C.6 D.7答案:A8.(2009浙江,文8)若函数(aR),则下列结论正确的是( )A.aR,f(x)在(0,+)上是增函数 B.aR,f(x)在(0,+)上是减函数C.aR,f(x)是偶函数 D.aR,f(x)是奇函数答案:C9.(2009浙江,文9)已知三角形的三边长分别为3,4,5,则它的边与半径为1的圆的公共点个数最多为( )A.3 B.4 C.5 D.6答案:B10.(2009浙江,文10)已知a是实数,则函数f(x)1+asinax的图象不可能是( )答案:D非选择题部分(共100分)注意事项:1.用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上,不能答在试题卷上.2.在答题纸上作图,可先使用2B铅笔,确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分.11.(2009浙江,文11)设等比数列an的公比,前n项和为Sn,则_.答案:1512.(2009浙江,文12)若某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则此几何体的体积是_cm3.答案:1813.(2009浙江,文13)若实数x,y满足不等式组,则2x+3y的最小值是_.答案:414.(2009浙江,文14)某个容量为100的样本的频率分布直方图如下,则在区间4,5）上的数据的频数为_.答案:3015.(2009浙江,文15)某地区居民生活用电分为高峰和低谷两个时间段进行分时计价.该地区的电网销售电价表如下:高峰时间段用电价格表高峰月用电量(单位:千瓦时)高峰电价(单位:元/千瓦时)50及以下的部分0.568超过50至200的部分0.598超过200的部分0.668低谷时间段用电价格表低谷月用电量(单位:千瓦时)低谷电价(单位:元/千瓦时)50及以下的部分0.288超过50至200的部分0.318超过200的部分0.388 若某家庭5月份的高峰时间段用电量为200千瓦时,低谷时间段用电量为100千瓦时,则按这种计费方式该家庭本月应付的电费为_元(用数字作答).答案:148.416.(2009浙江,文16)设等差数列an的前n项和为Sn,则S4,S8-S4,S12-S8,S16-S12成等差数列.类比以上结论有:设等比数列bn的前n项积为Tn,则T4,_,_,成等比数列.答案: 17.(2009浙江,文17)有20张卡片,每张卡片上分别标有两个连续的自然数k,k+1,其中k0,1,2,19.从这20张卡片中任取一张,记事件“该卡片上两个数的各位数字之和(例如:若取到标有9,10的卡片,则卡片上两个数的各位数字之和为9+1+010)不小于14”为A,则P(A)_.答案:三、解答题:本大题共5小题,共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18.(本题满分14分)(2009浙江,文18)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足,.(1)求ABC的面积;(2)若c1,求a的值.解:(1)因为,所以,.又由,得bccosA3,所以bc5.因此.(2)由(1)知,bc5,又c1,所以b5.由余弦定理,得a2b2+c2-2bccosA20,所以.19.(本题满分14分)(2009浙江,文19)如图,DC平面ABC,EBDC,ACBCEB2DC2,ACB120，P，Q分别为AE,AB的中点.(1)证明PQ平面ACD;(2)求AD与平面ABE所成角的正弦值. (1)证明:因为P,Q分别为AE,AB的中点,所以PQEB.又DCEB,因此PQDC,从而PQ平面ACD.(2)解:如图,连结CQ,DP.因为Q为AB的中点,且ACBC,所以CQAB.因为DC平面ABC,EBDC,所以EB平面ABC.因此CQEB,故CQ平面ABE.由(1)有PQDC,又PQEBDC,所以四边形CQPD为平行四边形.故DPCQ.因此DP平面ABE.DAP为AD和平面ABE所成的角.在RtDPA中,DP1,.因此AD和平面ABE所成角的正弦值为.20.(本题满分14分)(2009浙江,文20)设Sn为数列an的前n项和,Snkn2+n,nN*,其中k是常数.(1)求a1及an;(2)若对于任意的mN*,am,a2m,a4m成等比数列,求k的值.解:(1)由Snkn2+n,得a1S1k+1,anSn-Sn-12kn-k+1(n2).a1k+1也满足上式,所以an2kn-k+1,nN*.(2)由am、a2m、a4m成等比数列，得(4mk-k+1)2(2km-k1)(8km-k+1),将上式化简,得2km(k-1)0,因为mN*,所以m0,故k0,或k1.21.(本题满分15分)(2009浙江,文21)已知函数f(x)x3+(1-a)x2-a(a+2)x+b(a,bR).(1)若函数f(x)的图象过原点,且在原点处的切线斜率是-3,求a,b的值;(2)若函数f(x)在区间(-1,1)上不单调,求a的取值范围.解:(1)由函数f(x)的图象过原点,得b0,又f(x)3x2+2(1-a)x-a(a+2),f(x)在原点处的切线斜率是-3,则-a(a+2)-3,所以a-3,或a1.(2)由f(x)0,得x1a,.又f(x)在(-1,1)上不单调,即,或.解得,所以a的取值范围是(-5,-)(-,1).22.(本题满分15分)(2009浙江,文22)已知抛物线C:x22py(p0)上一点A(m,4)到其焦点的距离为.(1)求p与m的值;(2)设抛物线C上一点P的横坐标为t(t0),过P的直线交C于另一点Q,交x轴于点M,过点Q作PQ的垂线交C于另一点N.若MN是C的切线,求t的最小值.解:(1)由抛物线的定义,得,又m28p,所以,m2.(2)由,得抛物线的方程为yx2.由题意可知,直线PQ的斜率存在且不为0.设直线PQ的方程为y-t2k(x-t)(k0),令y0,得M,0).解方程组得Q(k-t,(k-t)2).由NQPQ,得直线NQ的方程为,解方程组得.于是抛物线C在点N处的切线方程为.将点M的坐标代入式,得.当时,故k0,此时,;当时,由式得,即k2+tk+1-2t20,此时,9t2-40,因为t0,所以t.当时,Q(-1,1),N(4,16),符合题意.综上,t的最小值为.2009年普通高等学校夏季招生考试（重庆卷）数学（文史类） 数学试题卷（文史类）共5页.满分150分.考试时间120分钟.参考公式：如果事件A、B互斥，那么P（A+B）=P（A）+P（B）如果事件A、B相互独立，那么P（AB）=P（A）P（B）如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率Pn(k)=(1-p)n-k.一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.1.（2009重庆，文1）圆心在y轴上，半径为1，且过点（1，2）的圆的方程是（ ）A.x2+(y-2)2=1 B.x2+(y+2)2=1 C.(x-1)2+(y-3)2=1 D.x2+(y-3)2=1答案：A2.（2009重庆，文2）命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是（ ）A.“若一个数是负数，则它的平方不是正数”B.“若一个数的平方是正数，则它是负数”C.“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”D.“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”答案：B3.（2009重庆，文3）（x+2)6的展开式中x3的系数为（ ）A.20 B.40 C.80 D.160答案：D4.（2009重庆，文4）已知向量a=（1，1），b=（2，x),若a+b与4b-2a平行，则实数x的值是（ ）A.-2 B.0 C.1 D.2答案：D5.（2009重庆，文5）设an是公差不为0的等差数列，a1=2且a1,a3,a6成等比数列，则an的前n项和Sn=（ ）A. B. C. D.n2+n答案：A6.（2009重庆，文6）下列关系式中正确的是（ ）A.sin11cos10sin168 B.sin168sin11cos10C.sin11sin168cos10 D.sin168cos10sin11答案：C7.（2009重庆，文7）已知a0,b0，则的最小值是（ ）A.2 B. C.4 D.5答案：C8.（2009重庆，文8）12个篮球队中有3个强队.将这12个队任意分成3个组（每组4个队），则3个强队恰好被分在同一组的概率为（ ）A. B. C. D.答案：B9.（2009重庆，文9）在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，顶点B1到对角线BD1和到平面A1BCD1的距离分别为h和d，则下列命题中正确的是（ ）A.若侧棱的长小于底面的边长，则的取值范围为（0，1）B.若侧棱的长小于底面的边长，则的取值范围为（）C.若侧棱的长大于底面的边长，则的取值范围为（）D.若侧棱的长大于底面的边长，则的取值范围为（，+）答案：C10.（2009重庆，文10）把函数=x3-3x的图象C1向右平移u个单位长度，再向下平移v个单位长度后得到图象C2.若对任意u0，曲线C1与C2至多只有一个交点，则v的最小值为（ ）A.2 B.4 C.6 D.8答案：B解析：二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填写在答题卡相应位置上.11.（2009重庆，文11）设U=n|n是小于9的正整数，A=nU|n是奇数，B=nU|n是3的倍数，则(AB)=_.答案：2，4，812.（2009重庆，文12）记=log3(x+1)的反函数为y=f-1(x)，则方程f-1(x)=8的解x=_.答案：213.（2009重庆，文13）5个人站成一排，其中甲、乙两人不相邻的排法有_种.（用数字作答）答案：7214.（2009重庆，文14）从一堆苹果中任取5只，称得它们的质量如下（单位：克）：125 124 121 123 127则该样本标准差s=_(克）.（用数字作答）答案：215.（2009重庆，文15）已知椭圆(ab0)的左、右焦点分别为F1（-c,0),F2(c,0).若椭圆上存在点P使，则该椭圆的离心率的取值范围为_.答案：（，1）三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.（本小题满分13分，（）小问7分，（）小问6分）（2009重庆，文16）设函数=(sinx+cosx)2+2cos2x(0)的最小正周期为.（）求的值；（）若函数y=g(x)的图象是由y=的图象向右平移个单位长度得到，求y=g(x)的单调增区间.解：（）=sin2x+cos2x+2sinxcosx+1+cos2x=sin2x+cos2x+2=,依题意得,故.（）依题意得.由(kZ),解得(kZ).故g(x)的单调增区间为(kZ).17.（本小题满分13分，（）小问8分，（）小问5分）（2009重庆，文17）某单位为绿化环境，移栽了甲、乙两种大树各2株.设甲、乙两种大树移栽的成活率分别为和，且各株大树是否成活互不影响.求移栽的4株大树中,（）至少有1株成活的概率；（）两种大树各成活1株的概率.解：设Ak表示第k株甲种大树成活，k=1,2，Bl表示第l株乙种大树成活，l=1,2,则A1，A2，B1，B2独立，且P（A1）=P（A2）=，P（B1）=P（B2）=.（）至少有1株成活的概率为=1-P（）P（）P（）P（）=.（）由独立重复试验中事件发生的概率公式知，所求概率为.18.（本小题满分13分，（）小问7分，（）小问6分）（2009重庆，文18）如题（18）图，在五面体ABCDEF中，ABDC，CD=AD=2.四边形ABFE为平行四边形，FA平面ABCD，FC=3，.求：题（18）图（）直线AB到平面EFCD的距离；（）二面角F-AD-E的平面角的正切值.解法一：（）因为ABDC，DC平面EFCD，所以直线AB到平面EFCD的距离等于点A到平面EFCD的距离.如答（18）图1，过点A作AGFD于G.因,ABDC,故CDAD；又FA平面ABCD，由三垂线定理知CDFD，故CD平面FAD，知CDAG.故AG为所求的直线AB到平面EFCD的距离.答（18）图1在RtFDC中，.由FA平面ABCD，得FAAD，从而在RtFAD中,.所以，.（）由已知FA平面ABCD，得FAAD，又由BAD=，知ADAB，故AD平面ABFE，从而ADAE.所以，FAE为二面角F-AD-E的平面角，记为.在RtEAD中，.由四边形ABFE为平行四边形，得FEBA，从而.在RtEFA中，.故.解法二：（）如答（18）图2，以A点为坐标原点，的方向为x,y,z轴的正方