小船渡河问题的研究.docx

小船渡河问题的研究摘要本文建立了经典的小船渡河速度模型，利用速度的合成与分解求出最优渡河方案。针对问题一，首先，讨论船速和水速的关系，得出小船大致行驶方向，再运用平行四边形法则，构建直角三角形，运用勾股定理建立关于合速度和船速与河岸夹角的方程并求解。针对问题二，用数值解法求渡河所需时间，再利用问题一中求解的方程，做出小船位置和航行曲线图，最后与解析解比较。关键词：小船渡河 船速 水速 速度的合成与分解 夹角1 问题重述一只小船要从要从宽度为d的河的一岸A点，到达正对岸B点。河水流速v1和静水船速v2之比k已知。想要求解以下两个问题。（i）建立小船航线的方程，求其解析解。（ii）设d = 100 m，v1 =1 m/s，v2 = 2m/s，用数值解法求渡河所需时间、任意时刻小船的位置及航行曲线，作图，并与解析解比较。2 问题分析此类问题可归结为小船渡河问题，要使小船能够到达正对岸，在水流速度恒定的情况下，按照船速来分类，有两种情况：其一，船速可变；其二；船速不变；根据题意可知，本题船速不变，故采用第二种情况建立模型并求解。分析可知，在船速和水速都恒定的情况下，要使小船到达正对岸，小船速度与水流速度的合速度方向必然垂直于河岸。3 模型假设（1）假设小船的行驶速度恒定不变。（2）假设水流的速度恒定不变且始终与河岸平行。（3）假设无风力、水流阻力等外力影响。（4）假设该段河流为理想直段。4 符号说明A 小船出发点B 小船目标点 船速与河岸夹角v合 船速与水速的合速度t总 小船渡河所用总时间S 小船距离河岸A的距离5 模型建立与求解5.1 问题一（1）问题分析小船航线如下图所示，根据已知的船速和水速，运用平行四边形法则，构建直角三角形，运用勾股定理建立关于合速度的方程再求解即可。Bdv2合速度v1A1 若90由速度的合成知识可知，船速与水速的合速度方向指向下游，则小船不可能到达河流正对岸。 若0901） 若v2v1，由速度的合成知识可知，合速度指向下游，小船也不能到达正对岸。2） 若v2v1，通过调整船速v1与河岸的夹角可使v1，v2的合速度垂直河岸。（2）模型的建立k=v1v2 cos=v1v2=k sin=v合v2 v合2+v12=v22 sin2+cos2=1 （3）模型的求解联立方程，解得v合=v22-v12=v21-k2=arcsin1-cosk2 所以小船想要到达正对岸，船速方向应与河岸成角（090），以实际速度v合行驶至正对岸。5.2 问题二（1）问题分析2 首先，用数值解法求渡河所需时间，再利用问题一中求解的方程，做出小船位置和航行曲线图，最后与解析解比较。（2）模型的建立t总=dv合 s=v合tdsdt=v合 （3）模型的求解 t总=1003=57.74 s6 模型评价与改进总体来说，此模型的设计较为简单，确定小船与河岸的夹角后就可轻易的确定船速的方向，从而确定航行路线，以最短路线到达正对岸。但模型最大的不足之处也在于此，局限性太大，并未很好的模拟出多变的小船航行曲线路线。七、