高中数学 2.3数学归纳法课件 新人教A版选修2.ppt

2 3数学归纳法 一 由系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法叫归纳法 举例说明 等差数列通项的推导 an a1 n 1 d 二 数学归纳法的概念 一般地 证明一个与正整数n有关的命题 可按下列步骤进行 1 归纳奠基 验证当n取第一个值n0 例如n0 1 时命题成立 2 归纳递推 假设当n k k n k n0 时命题成立 证明当n k 1时命题也成立 只要完成这两步 就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立 这种证明方法叫做数学归纳法 多米诺骨牌倒下的条件 验证n n0时命题成立 若n k k n0 时命题成立 证明n k 1时命题也成立 归纳奠基 归纳推理 命题对从n0开始所有的正整数n都成立 数学归纳法的步骤可用框图表示为 2 例1 用数学归纳法证明 例2 已知数列计算 根据计算的结果 猜想的表达式 并用数学归纳法进行证明 2 案例分析 案例一 缺少初始步 设n n 求证 2 4 6 2n n2 n 1 证明 假设当n k时等式成立 即 那么 当n k 1时 有 2 4 6 2k k2 k 1 2 4 6 2k 2 k 1 k2 k 1 2 k 1 k 1 2 k 1 1 这就是说 当n k 1时等式也成立 所以 对一切n n 等式都成立 案例二 错证递推步 设n n 求证 2n n2 证明 1 当n 1时 21 12 不等式显然成立 2 假设当n k时不等式成立 即2k k2 那么 当n k 1时 有 2k 1 2 2k 2k 2k k2 k2 k2 2k 1 k 1 2 这就是说 当n k 1时不等式也成立 根据 1 和 2 可知不等式对任何n n 都成立 评注 归纳假设运用后按所证结果进行 拼凑 是可以的 但不能出现错误的推理 案例三 未用归纳假设 设n n 求证 2 4 6 2n n2 n 证明 1 当n 1时 左边 2 右边 12 1 2 等式成立 2 假设当n k时等式成立 即 2 4 6 2k k2 k 1 那么 当n k 1时 有 2 4 6 2k 2 k 1 k 1 2 k 1 1 这就是说 当n k 1时等式也成立 所以 对一切n n 等式都成立 评注 证明递推步时一定要用到归纳假设 否则递推关系不能成立 2 例3 是否存在常数a b 使得等式 对一切正整数n都成立 并证明你的结论 点拨 对这种类型的题目 一般先利用n的特殊值 探求出待定系数 然后用数学归纳法证明它对一切正整数n都成立 解 令n 1 2 并整理得 以下用数学归纳法证明 2 假设当n k时结论正确 即 则当n k 1时 故当n k 1时 结论也正确 根据 1 2 知 对一切正整数n 结论正确 1 当n 1时 由上面解法知结论正确 例4 比较2n与n2 n n 的大小 注 先猜想 再证明 解 当n 1时 2n 2 n2 1 2n n2当n 2时 2n 4 n2 4 2n n2当n 3时 2n 8 n2 9 2nn2当n 6时 2n 64 n2 36 2n n2猜想当n 5时 2n n2 证明略 例6 平面内有n条直线 其中任何两条不平行 任何三条不过同一点 证明交点的个数f n n n 1 2 说明 用数学归纳法证明几何问题 重难点是处理好当n k 1时利用假设结合几何知识证明命题成立 证第k 1步时注意凑归纳假设即可 练习 数学归纳法总结 1 适用范围 某些与正整数有关的数学命题 2 数学归纳法的解题步骤 1 归纳奠基 验证当n取第一个值n0 例如n0 1 时命题成立 2 归纳递推 假设当n k k n k n0 时命题成立 证明当n k 1时命题也成立 3 下结论 由以上可知 命题对从n0开始的所有正整数n都成立 简言之 重点 两个步骤 一个结论 注意 递推基