高中数学 第三章《圆锥曲线与方程》双曲线的几何性质课件 北师大版选修21.ppt

双曲线的几何性质 北师大版高中数学选修2 1第三章 圆锥曲线与方程 一 教学目标 掌握双曲线的几何性质 范围 对称性 顶点 渐近线 实轴 虚轴 离心率 掌握双曲线标准方程中a b c e之间的关系 二 教学重点 双曲线的几何性质 难点 双曲线的渐近线 三 教学方法 探究式教学法 即教师通过问题诱导 启发讨论 探索结果 引导学生直观观察 归纳抽象 总结规律 使学生在获得知识的同时 能够掌握方法 提升能力 四 教学过程 我们利用双曲线c的标准方程来研究双曲线的一些几何性质 1 范围 由方程可得 双曲线c上任意一点的坐标 x y 都适合不等式 即x a 或x a 因此双曲线c位于两直线x a和x a所夹平面区域的外侧 2 对称性 类似于对椭圆对称性的讨论 可知双曲线c分别以x轴 y轴为对称轴的轴对称图形 又是以坐标原点为对称中心的中心对称图形 双曲线的对称中心又叫做双曲线的中心 3 顶点 在方程中 令y 0 得x a 可知双曲线c与x轴有两个交点 分别是a1 a 0 a2 a 0 如果令x 0 得y2 b2 这个方程没有实数根 说明双曲线c与y轴没有公共点 双曲线与它的对称轴的两个交点叫双曲线的顶点 如图 双曲线c的顶点是a1 a 0 a2 a 0 这两个顶点是双曲线两支中相距最近的点 线段a1a2叫做双曲线的实轴 它的长等于2a 同时在y轴上作点b1 0 b b2 0 b 线段b1b2叫做双曲线的虚轴 它的长等于2b 相应的a b分别是双曲线的实半轴长和虚半轴长 4 渐近线 观察图中方程 所表示的双曲线c 在直线x a的右侧 当x逐渐增大时 双曲线的右支向右上和右下逐渐延伸 在直线x a的左侧 当x逐渐减小时 双曲线的左支向左上和左下逐渐延伸 我们再进一步分析双曲线的这一变化趋势 不妨先考虑它在第一象限内的那一部分 这一部分的曲线的方程可以表达为 由于x a 0 可知 又因为b 0 所以 这说明在第一象限内 双曲线c上的任意一点m x y 总是位于直线的下方 过点m作平行于y轴的直线 设它与直线相交于点p 则 因为当x a时 随着x的增大而增大 可知当x越来越大时 pm 越来越接近于0 这说明当点m以双曲线c的顶点a2开始在第一象限沿此双曲线移动并越来越远离点a2时 点m和直线就越来越接近 由此可见 此双曲线右支向右上方无限延伸时 它总在直线的下方 且与直线越来越接近 但不会相交 根据双曲线的对称性可知 双曲线c向外无限延伸时 总是局限在由直线和直线相交而分平面所成的 含双曲线焦点的两个区域内 并与这两条直线无限接近 但永远不会与这两条直线相交 直线和直线叫做双曲线的渐近线 5 离心率 双曲线的焦距与实轴长的比叫做双曲线的离心率 因为c a 0 所以e 1 e越趋近于1 由等式c2 a2 b2 可得 因此e越大 也越大 即渐近线的斜率的绝对值越大 这时双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔 双曲线的离心率越大 它的开口就越开阔 例1 已知双曲线的焦点在x轴上 中心在原点 如果焦距为8 实轴长为6 求此双曲线的标准方程及其渐近线的方程 解 由已知 得2c 8 2a 6 因此c 4 a 3 b2 c2 a2 7 又因为双曲线的焦点在x轴上 因此双曲线的标准方程是 双曲线渐近线方程是 例2 求双曲线16x2 9y2 144的实轴长和虚轴长 顶点坐标 焦点坐标及渐近线方程 解 把双曲线方程化为标准方程 由此可知 实半轴长a 3 虚半轴长b 4 半焦距c 5 因此实轴长2a 6 虚轴长2b 8 顶点坐标是 3 0 3 0 焦点坐标是 5 0 5 0 渐近线方程是 例3 一双曲线型冷却塔的外形 是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面 它的最小直径为24m 上口直径为26m 下口直径50m 高为55m 在所给的直角坐标系中 求此双曲线的近似方程 虚半轴长精确的0 1m 解 在给定的直角坐标系中 设双曲线的标准方程为 由已知冷却塔的最小直径aa 24m 上口直径cc 26m 下口直径bb 50m 可知a 12 点b c的横坐标分别为25 13 设b c的纵坐标分别为y1 y2 其中y10 因为b 25 y1 c 13 y2 在双曲线上 所以 因为塔高为55m 所以y2 y1 55 即 因此双曲线的近似方程是 解得b 24 5 例4 已知双曲线的渐近线方程为y 并且焦点都在圆x2 y2 100上 求双曲线的方程 解 当焦点在x轴上时 设双曲线的方程是 因为焦点都在圆x2 y2 100上 所以c 10 又双曲线的渐近线方程为y 所以 由 解得 所以双曲线的方程是 当焦点在y轴上时 设双曲线的方程是 因为焦点都在圆x2 y2 100上 所以c 10 又双曲线的渐近线方程为y 所以 解得 所以双曲线的方程是 由 例5 双曲线 a 1 b 0 的焦距为2 直线l过点 a 0 和 0 b 且点 1 0 到直线l的距离与点 1 0 到直线l的距离之和s c 求双曲线的离心率e的取值范围 解 直线l的方程为 即bx ay ab 0 由点到直线的距离公式 且a 1 得