高中数学 第三章《导数应用》导数在实际问题中的应用（一）课件 北师大版选修22.ppt

北师大版高中数学选修2 2第三章 导数应用 导数在实际问题中的应用 一 一 教学目标 1 知识与技能 让学生掌握在实际生活中问题的求解方法 会利用导数求解最值 2 过程与方法 通过分析具体实例 经历由实际问题抽象为数学问题的过程 3 情感 态度与价值观 让学生感悟由具体到抽象 由特殊到一般的思想方法二 教学重点 函数建模过程教学难点 函数建模过程三 教学方法 探究归纳 讲练结合四 教学过程 1 实际问题中的应用 在日常生活 生产和科研中 常常会遇到求函数的最大 小 值的问题 建立目标函数 然后利用导数的方法求最值是求解这类问题常见的解题思路 在建立目标函数时 一定要注意确定函数的定义域 在实际问题中 有时会遇到函数在区间内只有一个点使的情形 如果函数在这个点有极大 小 值 那么不与端点值比较 也可以知道这就是最大 小 值 这里所说的也适用于开区间或无穷区间 满足上述情况的函数我们称之为 单峰函数 3 求最大 最小 值应用题的一般方法 1 分析实际问题中各量之间的关系 把实际问题化为数学问题 建立函数关系式 这是关键一步 2 确定函数定义域 并求出极值点 3 比较各极值与定义域端点函数的大小 结合实际 确定最值或最值点 2 实际应用问题的表现形式 常常不是以纯数学模式反映出来 首先 通过审题 认识问题的背景 抽象出问题的实质 其次 建立相应的数学模型 将应用问题转化为数学问题 再解 解 设箱底边长为xcm 箱子容积为v x2h 例1在边长为60cm的正方形铁皮的四角切去相等的正方形 再把它的边沿虚线折起 做成一个无盖的方底箱子 箱底边长为多少时 箱子容积最大 最大容积是多少 则箱高 v 60 x 3x 2 令v 0 得x 40 x 0 舍去 得v 40 16000 答 当箱底边长为x 40时 箱子容积最大 最大值为16000cm3 在实际问题中 如果函数f x 在某区间内只有一个x0使f x0 0 而且从实际问题本身又可以知道函数在这点有极大 小 值 那么不与端点比较 f x0 就是所求的最大值或最小值 所说区间的也适用于开区间或无穷区间 例2 要生产一批带盖的圆柱形铁桶 要求每个铁桶的容积为定值v 怎样设计桶的底面半径才能使材料最省 此时高与底面半径比为多少 解 设桶底面半径为r 因为s r 只有一个极值 所以它是最小值 答 当罐高与底的直径想等时 所用材料最省 例3 已知某商品生产成本c与产量q的函数关系式为c 100 4q 价格p与产量q的函数关系式为求产量q为何值时 利润l最大 分析 利润l等于收入r减去成本c 而收入r等于产量乘价格 由此可得出利润l与产量q的函数关系式 再用导数求最大利润 求得唯一的极值点 因为l只有一个极值点 所以它是最大值 答 产量为84时 利润l最大 解 设b x 0 0 x 2 则a x 4x x2 从而 ab 4x x2 bc 2 2 x 故矩形abcd的面积为 s x ab bc 2x3 12x2 16x 0 x 2 令 得 所以当时 因此当点b为时 矩形的最大面积是 2 一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比 已知在速度为10km h时 燃料费是6元 h 而其他与速度无关的费用为96元 h 问以何种速度航行时 能使行驶每公里的费用总和最少 解 设da xkm 那么db 100 x km cd km 又设铁路上每吨千米的运费为3t元 则公路上每吨千米的运费为5t元 这样 每吨原料从供应站b运到工厂c的总运费为 令 在的范围内有唯一解x 15 所以 当x 15 km 即d点选在距a点15千米时 总运费最省 注 可以进一步讨论 当ab的距离大于15千米时 要找的最优点总在距a点15千米的d点处 当ab之间的距离不超过15千米时 所选d点与b点重合 练习4 已知圆锥的底面半径为r 高为h 求内接于这个圆锥体并且体积最大的圆柱体的高h 答 设圆柱底面半径为r 可得r r h h h 易得当h h 3时 圆柱体的体积最大 例4 如图 扇形aob中 半径0a 1 aob 900 在oa的延长线上有一动点c 过c作cd与弧ab相切于点e 且与过点b所作的ob的垂线交于点d 当点c在什么位置时 直角梯形ocdb的面积最小 注 在实际问题中 若函数在区间内只有一个点使y 0 如果函数在这点有极值 那么不与端点比较 就可确定这个点就是最值 回顾总结 建立数学模型 1 利用导数解决优化问题的基本思路 2 解决优化问题的方法 通过搜集大量的统计数据 建立与其相应的数学模型 再通过研究相应函数的性质 提出优化方案 使问题得到解决 在这个过程中 导数往往是一个有利的工具 3 导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数