内蒙古赤峰市全市优质高中高三数学上学期9月质检试卷 理（含解析）.doc

内蒙古赤峰市全市优质高中2015届高三上学期9月质检数学试卷（理科） 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的1（5分）设全集u=1，2，3，4，5，集合a=2，3，4，b=2，5，则b（ua）=（）a5b1，2，5c1，2，3，4，5d2（5分）设i是虚数单位，已知z（1+i）=1i，则复数z等于（）a1bicid13（5分）设sn为等差数列an的前n项和，若a3=4，s9s6=27，则该数列的公差d等于（）ab1cd14（5分）双曲线=1（b0）的一条渐近线方程为y=x，则双曲线的离心率等于（）abcc、d5（5分）已知函数f（x）=，若f（a）=1，则a的所有可能结果之和为（）aebce+d2e+6（5分）某校友200位教职员工，其每周用于锻炼身体所用时间的频率分布直方图如图所示，据图估计，锻炼时间在小时内的人数为（）a76b82c88d957（5分）多面体mnabcd的底面abcd为矩形，其正（主）视图和侧（左）视图如图，其中正（主）视图为等腰梯形，侧（左）视图为等腰三角形，则am的长（）abcd8（5分）执行如图所示的程序框图，如果输出的p是720，那么输入的整数n是（）a5b6c7d89（5分）已知sincos=，则tan等于（）a1bcd110（5分）已知抛物线方程为y2=4x，直线l的方程为xy+4=0，在抛物线上有一动点p到y轴的距离为d1，p到直线l的距离为d2，则d1+d2的最小值为（）abcd11（5分）已知点o为abc内一点，且+2+3=，则aob，aoc，boc的面积之比等于（）a9：4：1b1：4：9c3：2：1d1：2：312（5分）函数f（x）是定义在r上的偶函数，且满足f（x+2）=f（x）当x时，f（x）=2x，若方程ax+af（x）=0（a0）恰有三个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（）a（，1）bc（1，2）d分析：首先，根据双曲线的焦点在x轴上，且渐近线方程已知，得到b的取值，然后，求解离心率即可解答：解：根据题意，得a=3，=，b=2，c=，e=故选：d点评：本题重点考查了双曲线的几何性质，理解双曲线的渐近线方程和离心率是解题关键，属于中档题5（5分）已知函数f（x）=，若f（a）=1，则a的所有可能结果之和为（）aebce+d2e+考点：分段函数的应用 专题：计算题；函数的性质及应用分析：由分段函数可得，当0ae时，令|lna|=1得a=e或a=；当ae，令2lna=1，则a=e（舍去），即可得到a的所有可能之和解答：解：由于函数f（x）=，则当0ae时，令|lna|=1得a=e或a=；当ae，令2lna=1，则a=e（舍去），所以a的所有可能结果之和为e+故选c点评：本题考查分段函数及运用，考查分段函数值所对应的自变量的值，注意各段的自变量的范围，属于基础题6（5分）某校友200位教职员工，其每周用于锻炼身体所用时间的频率分布直方图如图所示，据图估计，锻炼时间在小时内的人数为（）a76b82c88d95考点：频率分布直方图 专题：概率与统计分析：根据题意，求出锻炼时间在小时内的频率，再求对应的人数是多少解答：解：锻炼时间在小时内的频率是1（0.02+0.05+0.09+0.15）2=10.62=0.38；锻炼时间在小时内的人数为2000.38=76故选：a点评：本题考查了频率分布直方图的应用问题，解题时应根据频率、频数与样本容量的关系进行解答，是容易题7（5分）多面体mnabcd的底面abcd为矩形，其正（主）视图和侧（左）视图如图，其中正（主）视图为等腰梯形，侧（左）视图为等腰三角形，则am的长（）abcd考点：点、线、面间的距离计算；简单空间图形的三视图 专题：空间位置关系与距离分析：取e，f分别为ad，bc的中点，则mnef为等腰梯形，利用正（主）视图为等腰梯形，侧（左）视图为等腰三角形，求出me，ae的长，即可求am的长解答：解：如图所示，e，f分别为ad，bc的中点，则mnef为等腰梯形由正（主）视图为等腰梯形，可知mn=2，ab=4，由侧（左）视图为等腰三角形，可知ad=2，mo=2me=在ame中，ae=1，=故选c点评：本题考查三视图与直观图的关系，考查学生的读图能力，考查学生的计算能力，属于中档题8（5分）执行如图所示的程序框图，如果输出的p是720，那么输入的整数n是（）a5b6c7d8考点：程序框图 专题：算法和程序框图分析：由程序框图可知，该程序的功能为输出结果为p=123（n1）n，故所以若输出结果为720，则p=123（n1）n=720，得n=6解答：解：由程序框图可知，该程序输出的结果为p=123（n1）n，所以若输出结果为720，则p=123（n1）n=720，得n=6故选：b点评：本题主要考察程序框图和算法，属于基础题9（5分）已知sincos=，则tan等于（）a1bcd1考点：两角和与差的正弦函数；同角三角函数基本关系的运用 专题：三角函数的求值分析：由题意，先由sincos=解出的值，再求tan即可解答：解：sincos=，sincos=1，即sin（）=1，=2k+，kz，=2k+，kz，tan=tan（2k+）=tan=1故选a点评：本题考查同角三角和与差的三角函数，利用差角公式化简求出的值是解答的关键10（5分）已知抛物线方程为y2=4x，直线l的方程为xy+4=0，在抛物线上有一动点p到y轴的距离为d1，p到直线l的距离为d2，则d1+d2的最小值为（）abcd考点：抛物线的简单性质 专题：计算题分析：如图点p到y轴的距离等于点p到焦点f的距离减1，过焦点f作直线xy+4=0的垂线，此时d1+d2最小，根据抛物线方程求得f，进而利用点到直线的距离公式求得d1+d2的最小值解答：解：如图点p到准线的距离等于点p到焦点f的距离，从而p到y轴的距离等于点p到焦点f的距离减1过焦点f作直线xy+4=0的垂线，此时d1+d2=|pf|+d21最小，f（1，0），则|pf|+d2=，则d1+d2的最小值为故选d点评：本题主要考查了抛物线的简单性质，两点距离公式的应用解此列题设和先画出图象，进而利用数形结合的思想解决问题11（5分）已知点o为abc内一点，且+2+3=，则aob，aoc，boc的面积之比等于（）a9：4：1b1：4：9c3：2：1d1：2：3考点：平面向量的基本定理及其意义；正弦定理 专题：平面向量及应用分析：如图所示，延长ob到点e，使得，分别以，为邻边作平行四边形oafe则+2=+=，由于+2+3=0，可得=3又=2，可得=2于是=，得到sabc=2saob同理可得：sabc=3saoc，sabc=6sboc即可得出解答：解：如图所示，延长ob到点e，使得，分别以，为邻边作平行四边形oafe则+2=+=，+2+3=0，=3又=2，可得=2于是=，sabc=2saob同理可得：sabc=3saoc，sabc=6sbocaob，aoc，boc的面积比=3：2：1故选：c点评：本题考查了向量的平行四边形法则、向量共线定理、三角形的面积计算公式12（5分）函数f（x）是定义在r上的偶函数，且满足f（x+2）=f（x）当x时，f（x）=2x，若方程ax+af（x）=0（a0）恰有三个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（）a（，1）bc（1，2）d时，f（x）=2x，又f（x）为偶函数，则当x时，f（x）=2x，作出y=f（x）和y=ax+a的图象，要使方程ax+af（x）=0（a0）恰有三个不相等的实数根，则由图象可得有三个交点，即必须满足kacakab，运用斜率公式即可解答：解：由f（x+2）=f（x）可得函数f（x）的周期为2，当x时，f（x）=2x，又f（x）为偶函数，则当x时，f（x）=2x，由ax+af（x）=0得f（x）=ax+a，作出y=f（x）和y=ax+a的图象，要使方程ax+af（x）=0（a0）恰有三个不相等的实数根，则由图象可得直线y=ax+a的斜率必须满足kacakab，由题意可得a（1，0），b（1，2），c（3，2），则kac=，kab=1即有a1故选a点评：本题考查抽象函数及应用，考查函数的奇偶性和周期性及运用，考查数形结合的思想方法，属于中档题二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡中的横线上13（5分）在的二项展开式中，常数项等于160考点：二项式定理的应用 专题：计算题分析：研究常数项只需研究二项式的展开式的通项，使得x的指数为0，得到相应的r，从而可求出常数项解答：解：展开式的通项为tr+1=x6r（）r=（2）r x62r令62r=0可得r=3常数项为（2）3=160故答案为：160点评：本题主要考查了利用二项展开式的通项求解指定项，同时考查了计算能力，属于基础题14（5分）已知x，y满足，则z=2x+y的最大值为3考点：简单线性规划 专题：计算题分析：先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=2x+y表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最大值即可解答：解：，在坐标系中画出图象，三条线的交点分别是a（1，1），b（，），c（2，1），在abc中满足z=2x+y的最大值是点c，代入得最大值等于3故答案为：3点评：本题只是直接考查线性规划问题，是一道较为简单的试题近年来2015届高考线性规划问题2015届高考数学考试的热点，数形结合是数学思想的重要手段之一，体现了数形结合思想的应用15（5分）已知棱长为3的正方体abcda1b1c1d1中，p、m分别为线段bd1，b1c1上的点，若，则三棱锥mpbc的体积为考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；棱柱的结构特征 专题：计算题；空间位置关系与距离分析：由题设知：p到面bc1的距离=d1到面bc1的距离=d1c1=1，由此能求出三棱锥mpbc的体积解答：解：棱长为3的正方体abcda1b1c1d1中，p、m分别为线段bd1，b1c1上的点，p到面bc1的距离=d1到面bc1的距离=d1c1=1，m为线段b1c1上的点，smbc=，vmpbc=vpmbc=故答案为：点评：本题考查三棱锥的体积的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地化空间问题为平面问题16（5分）已知函数f（n）=n2cos（n），且an=f（n）+f（n+1），则a1+a2+a3+a100=100考点：数列的函数特性 专题：计算题分析：由于cos（n）的值与n是奇数、偶数有关，故先分n是奇数、偶数，求数列an的通项公式，再分组求和即可得所求和解答：解：an=f（n）+f（n+1）=n2cos（n）+（n+1）2cos（n+1）=，即an=a1+a2+a3+a100=35+79+11201=50（2）=100故答案为100点评：本题主要考查了函数与数列间的关系，求数列通项公式的方法，数列求和的方法和技巧，属基础题三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或盐酸步骤17（12分）设abc的内角a，b，c所对的边长分别为a，b，c，且（）求角a的大小；（）若，求abc的面积考点：正弦定理的应用；三角函数中的恒等变换应用 专题：计算题；解三角形分析：（1）由已知结合正弦定理可求cosa，进而可求a（2）由cosb结合同角平方关系可求sinb，然后利用诱导公式及两角和的 正弦公式sinc=sin（a+b）=sinacosb+sinbcosa可求sinc，然后由可求 b，代入三角形的面积公式可求解答：解：（1）（2sinbsinc）cosa=sinacosc即2sinbcosa=sinacosc+sinccosa2sinbcosa=sin（a+c）则2sinbcosa=sinbsinb0cosa=0a则a=（2）由cosb=可得sinb=又cosa=，sina=sinc=sin（a+b）=sinacosb+sinbcosa=由可得b=点评：本题主要考查了正弦定理、同角平方关系、诱导公式及两角和的正弦公式、三角形的面积公式等知识的综合应用，解题的关键是灵活利用公式18（12分）数学教师甲要求学生从星期一到星期四每天复习三个不同的常错题；每周五对一周内所复习的常错题随机抽取若干个进行检测（一周所复习的常错题每个被抽到的可能性相同）（1）数学教师甲随机抽了学生已经复习的4个常错题进行检测，求至少有3个是后两天复习过的常错题的概率；（2）某学生对后两天所复习过的常错题每个能做对的概率为，对前两天所学过的常错题每个能做对的概率为，若老师从后三天所复习的常错题中各抽取一个进行检测，若该学生能做对的常错题的个数为x，求x的分布列及数学期望e（x）考点：离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列 专题：概率与统计分析：（1）利用互斥事件概率加法公式能求出数学教师甲抽到的4个常错题中，至少含有3个后两天复习过的事件的概率（2）由题意知x可取0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出x的分布列和e（x）解答：解：（1）设数学教师甲抽到的4个常错题中，至少含有3个后两天复习过的事件为a，则由题意得p（a）=+=（2）由题意知x可取0，1，2，3，p（x=0）=，p（x=1）=，p（x=2）=，p（x=3）=，x的分布列为： x 0 1 2 3 pe（x）=点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题19（12分）如图菱形abef所在平面与直角梯形abcd所在平面互相垂直，ab=2ad=2cd=4，abe=60，bad=cda=90，点h、g分别是线段ef、bc的中点（1）求证：平面ahc平面bce；（2）点m在直线ef上，且mg平面afd，求平面ach与平面acm所成锐角的余弦值考点：与二面角有关的立体几何综合题；平面与平面垂直的判定 专题：空间角分析：（1）由已知条件推导出ahab，ahbc，acbc，从而得到bc面ahc，由此能证明面ahc面bce（2）分别以ad、ab、ah所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面ach与平面acm所成锐角的余弦值解答：（1）证明：在菱形abef中，abe=60，aef是等边三角形，又h是线段ef的中点，ahef，ahab，面abef面abcd，且面abef面abcd=ab，ah面abcd，ahbc，在直角梯形中，ab=2ad=2cd=4，bad=cda=90，ac=bc=2，ac2+bc2=ab2，acbc，又ahac=a，bc面ahc，又bc面bce，平面ahc平面bce（6分）（2）解：分别以ad、ab、ah所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则有a（0，0，0），b（0，4，0），c（2，2，0），d（2，0，0），e（0，2，2），f（0，2，2），h（0，0，2），g（1，3，0），m（0，m，2），设点m（0，m，2），则存在实数，使得=，代入解得m（0，1，2），由（1）知平面ahc的法向量是=（2，2，0），设平面acm的法向量是=（x，y，z），取z=，得=（6，6，），cos=，即平面ach与平面acm所成锐角的余弦值为（12分）点评：本题考查平面与平面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用20（12分）设函数f（x）=x2（a2）xalnx（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若函数有两个零点，求满足条件的最小正整数a的值考点：二次函数的性质 专题：函数的性质及应用分析：（1）利用导数的运算法则即可得出f（x），并对a分类讨论即可；（2）由（1）的结论，结合根的存在性原理，可以判断存在a0（2，3），h（a0）=0，当aa0，h（a）0；解答：解：（1）由已知可得f（x）=2x（a2）=，（x0），当a0时，f（x）0，函数f（x）在（0，+）上单调递增，函数f（x）的单调递增区间为（0，+）当a0时，由f（x）0，得x；由f（x）0，得0x，函数的单调增区间为（，+），单调减区间为（0，）（2）由（1）得若函数有两个零点，则a0，且f（x）的最小值为f（）0，即a2+4a4aln0，a0，a+4ln40，令h（a）=a+4ln4，显然h（a）在（0，+）上是增函数，且h（2）=20，h（3）=4ln1=ln10，存在a0（2，3），h（a0）=0，当aa0，h（a）0；当0aa0时，h（a）0满足条件的最小整数a=3，当a=3时，f（3）=3（2ln3）0，f（1）=0，a=3时f（x）有两个零点综上，满足条件的最小值a的值为3点评：本题考查了利用导数求函数的单调区间以及根的存在性原理的运用21（12分）若椭圆e1：和椭圆e2：满足，则称这两个椭圆相似，m是相似比（）求过（且与椭圆相似的椭圆的方程；（）设过原点的一条射线l分别与（）中的两椭圆交于a、b两点（点a在线段ob上）若p是线段ab上的一点，若|oa|，|op|，|ob|成等比数列，求p点的轨迹方程；求|oa|ob|的最大值和最小值考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程 分析：（）设出与椭圆相似的椭圆的方程为：，结合题目条件可求得a2=16，b2=8；（）对过原点的一条射线l的斜率分存在与不存在进行讨论，不存在时可求得点p的坐标，存在时设出直线l的方程为：y=kx，p（x，y），由a（x1，y1），b（x2，y2）则，从而可得，于是有：，同理，又点p在l上，则，代入即可求得p点的轨迹方程；由可知，当l的斜率不存在时，|oa|ob|=4，当l的斜率存在时，可求得|oa|ob|=4+，从而可求得|oa|ob|的最大值和最小值解答：解：（）设与相似的椭圆的方程则有（3分）解得a2=16，b2=8所求方程是（4分）（） 当射线l的斜率不存在时，设点p坐标p（0，y0），则y02=4，y0=2即p（0，2）（5分）当射线l的斜率存在时，设其方程y=kx，p（x，y）由a（x1，y1），b（x2，y2）则得同理（7分）又点p在l上，则，且由，即所求方程是又（0，2）适合方程，故所求椭圆的方程是（9分）由可知，当l的斜率不存在时，当l的斜率存在时，|oa|ob|=4+，4|oa|ob|8，（11分）综上，|oa|ob|的最大值是8，最小值是4（12分）点评：本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，着重考查椭圆的标准方程，消参法求点的轨迹，难点在于直线与椭圆的综合分析与应用，思维深刻，运算复杂，难度大，属于难题选修4-1：几何证明选讲22（10分）如图，o的半径ob垂直于直径ac，m为ao上一点，bm的延长线交o于n，过n点的切线交ca的延长线于p（）求证：pm2=papc；（）若o的半径为2，oa=om，求mn的长考点：与圆有关的比例线段 专题：计算题；证明题分析：（）做出辅助线连接on，根据切线得到直角，根据垂直得到直角，即onb+bnp=90且obn+bmo=90，根据同角的余角相等，得到角的相等关系，得到结论（）本题是一个求线段长度的问题，在解题时，应用相交弦定理，即bmmn=cmma，代入所给的条件，得到要求线段的长解答：（）证明：连接on，因为pn切o于n，onp=90，onb+bnp=90ob=on，obn=onb因为obac于o，obn+bmo=90，故bnp=bmo=pmn，pm=pnpm2=pn2=papc（）om=2，bo=2，bm=4bmmn=cmma=（2+2）（22）（22）=8，mn=2点评：本题要求证明一个pm2=papc结论，实际上这是一个名叫切割线定理的结论，可以根