河北省邢台市捷径高考数学四模试卷 理（含解析）.doc

河北省邢台市捷径2015届高考 数学四模试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1已知集合a=xn|0x5，ab=1，3，5，则集合b=( )a2，4b0，2，4c0，1，3d2，3，42已知i是虚数单位，若是实数，则实数a等于( )a1b1cd3己知命题p：“ab”是“2a2b”的充要条件；q：xr，|x+l|x，则( )apq为真命题bpq为假命题cpq为真命题dpq为真命题4函数f（x）=ex+4x3的零点所在的大致区间是( )a（，0）b（0，）c（，）d（，）5如图是某几何体的三视图，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，侧视图是半径为1的半圆，则该几何体的表面积是( )abcd6把函数y=sin（2x）的图象向左平移个单位后，所得函数图象的一条对称轴为( )ax=0bx=cx=dx=7阅读如图的程序框图若输入n=6，则输出k的值为( )a2b3c4d58若a0且a1，b0，则“logab0”是“（a一1）（b一1）0”的( )a充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件d既不充分也不必要条件9奇函数f（x）、偶函数g（x）的图象分别如图1、2所示，方程f（g（x）=0、g（f（x）=0的实根个数分别为a、b，则a+b=( )a14b10c7d310在区间1，1上任取两数s和t，则关于x的方程x2+2sx+t=0的两根都是正数的概率为( )abcd11设p为直线3x+4y+3=0上的动点，过点p作圆c：x2+y22x2y+1=0的两条切线，切点分别为a，b，则四边形pacb的面积最小时p=( )a60b45c30d12012把一个皮球放入如图所示的由8根长均为20cm的铁丝接成的四棱锥形骨架内，使皮球的表面与8根铁丝都有接触点，则皮球的半径( )al0cmb10cmc10cmd30cm二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13从某地区随机抽取100名高中男生，将他们的体重（单位：kg）数据绘制成频率分布直方图（如图）若要从各组内的男生中，用分层抽样的方法选取20人参加一项活动，则从60，70这一组中抽取的人数为_14双曲线的左、右焦点分别为f1、f2，过焦点f2且垂直于x轴的直线与双曲线相交于a、b两点，若，则双曲线的离心率为_15将边长为2的正abc沿bc边上的高ad折成直二面角badc，则三棱锥bacd的外接球的表面积为_16已知在abc中，sinb是sina和sinc的等差中项，则内角b的取值范围是_三、解答题（本大题共5小题，70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17已知等比数列an的前n项和为sn，s3=14，s6=126（1）求数列an的通项公式；（2）设+，试求tn的表达式18某篮球队甲、乙两名队员在本赛零已结束的8场比赛中得分统计的茎叶图如下：（）比较这两名队员在比赛中得分的均值和方差的大小；（）以上述数据统计甲、乙两名队员得分超过15分的频率作为概率，假设甲、乙两名队员在同一场比赛中得分多少互不影响，预测在本赛季剩余的2场比赛中甲、乙两名队员得分均超过15分次数x的分布列和均值19如图，已知四棱锥eabcd的底面为菱形，且abc=60，ab=ec=2，ae=be=（）求证：平面eab平面abcd；（）求二面角aecd的余弦值20已知椭圆c：的离心率为，且过点q（1，）（1）求椭圆c的方程；（2）若过点m（2，0）的直线与椭圆c相交于a，b两点，设p点在直线x+y1=0上，且满足 （o为坐标原点），求实数t的最小值21已知（i）求函数f（x）的最小值；（ ii）（i）设0ta，证明：f（a+t）f（at）（ii）若f（x1）=f（x2），且x1x2证明：x1+x22a四、请考生在22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时，请写清题号【选修4-1：几何证明选讲】22如图，已知ab是o的直径，ac是弦，adce，垂足为d，ac平分bad（）求证：直线ce是o的切线；（）求证：ac2=abad【选修4-4：坐标系与参数方程】23选修44：坐标系与参数方程已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x轴的正半轴重合直线l的参数方程为：（t为参数），曲线c的极坐标方程为：=4cos（）写出c的直角坐标方程，并指出c是什么曲线；（）设直线l与曲线c相交于p、q两点，求|pq|值【选修4-5：不等式选讲】24已知函数f（x）=log2（|x1|+|x+2|a）（1）当a=7时，求函数f（x）的定义域；（2）若关于x的不等式f（x）3的解集是r，求a的取值范围河北省邢台市捷径2015届高考数学四模试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1已知集合a=xn|0x5，ab=1，3，5，则集合b=( )a2，4b0，2，4c0，1，3d2，3，4考点：补集及其运算 专题：计算题分析：根据题意，先用列举法表示集合a，进而由补集的性质，可得b=a（ab），计算可得答案解答：解：根据题意，集合a=xn|0x5=0，1，2，3，4，5，若cab=1，3，5，则b=a（ab）=0，2，4，故选b点评：本题考查补集的定义与运算，关键是理解补集的定义2已知i是虚数单位，若是实数，则实数a等于( )a1b1cd考点：复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念 专题：计算题分析：利用复数的分子与分母同乘分母的共轭复数，利用复数是实数，虚部为0，求出a的值解答：解：=，因为复数是实数，所以1a=0，所以a=1故选b点评：本题考查复数的代数形式的同除运算，复数的基本概念，考查计算能力3己知命题p：“ab”是“2a2b”的充要条件；q：xr，|x+l|x，则( )apq为真命题bpq为假命题cpq为真命题dpq为真命题考点：复合命题的真假 专题：简易逻辑分析：由指数函数的性质可知p真命题，p为假命题；q：由|x+l|x，可得，可得x不存在，则q为假命题，q为真命题，则根据复合命题的真假关系可判断解答：解：p：“ab”是“2a2b”的充要条件为真命题，p为假命题q：由|x+l|x，可得可得x不存在，则q为假命题，q为真命题则根据复合命题的真假关系可得，pq为假；pq为真；pq为假；pq为真故选d点评：本题主要考查了复合命题的真假关系的应用，解题的关键是准确判断p，q的真假，属于基础题4函数f（x）=ex+4x3的零点所在的大致区间是( )a（，0）b（0，）c（，）d（，）考点：函数零点的判定定理 专题：函数的性质及应用分析：确定f（0）=13=20，f（）=10，f（）=0，f（1）=e+43=e+10，根据零点存在定理，可得结论解答：解：函数f（x）=ex+4x3在r上是增函数，求解：f（0）=13=20，f（）=10，f（）=0，f（1）=e+43=e+10，根据零点存在定理，可得函数f（x）=2x+3x4的零点所在的大致区间是（，）故选：c点评：本题考查零点存在定理，考查学生的计算能力，属于基础题5如图是某几何体的三视图，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，侧视图是半径为1的半圆，则该几何体的表面积是( )abcd考点：由三视图求面积、体积 专题：计算题分析：利用三视图判断几何体的形状与特征，利用三视图的数据求出几何体的表面积解答：解：由三视图可知，该几何体为两个半圆锥的对接图形显然圆锥的底面圆的半径为1，母线长为2，但是这个对接圆面不是底面，底面正好是轴截面所以该几何体的表面积为：=2（）故选a点评：本题考查几何体的表面积的求法，几何体的特征是解题的关键，考查空间想象能力，计算能力6把函数y=sin（2x）的图象向左平移个单位后，所得函数图象的一条对称轴为( )ax=0bx=cx=dx=考点：函数y=asin（x+）的图象变换 专题：三角函数的图像与性质分析：由条件利用函数y=asin（x+）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，可得结论解答：解：把函数y=sin（2x）的图象向左平移个单位后，得到函数y=sin2（x+）=sin（2x+）的图象，令x=，求得y=sin（2x+）=1，是最大值，可得所得函数图象的一条对称轴为x=，故选：b点评：本题主要考查函数y=asin（x+）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于基础题7阅读如图的程序框图若输入n=6，则输出k的值为( )a2b3c4d5考点：循环结构 专题：阅读型分析：框图是直到型循环结构，输入n的值为6，给k的赋值为0，运行过程中n进行了4次替换，k进行了3次替换解答：解：当n输入值为6时，用26+1=13替换n，13不大于100，用0+1=1替换k，再用213+1=27替换n，27不大于100，此时用1+1=2替换k，再用272+1=55替换n，此时55不大于100，用2+1=3替换k，再用255+1=111替换n，此时111大于100，算法结束，输出k的值为3故选b点评：本题考查了程序框图中的直到型型循环结构，直到型循环结构是先执行在判断直到条件结束，循环结构主要用在一些规律的重复计算，如累加、累积等，在循环结构中框图中，特别要注意条件应用，如计数变量和累加变量等8若a0且a1，b0，则“logab0”是“（a一1）（b一1）0”的( )a充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件d既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断 专题：简易逻辑分析：根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可解答：解：若a1，由logab0得b1，若0a1，由logab0得0b1，则（a1）（b1）0成立，若（a1）（b1）0则a1且b1或0a1且0b1，则logab0成立，故“logab0”是“（a1）（b1）0”成立的充要条件，故选：c点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的性质是解决本题的关键9奇函数f（x）、偶函数g（x）的图象分别如图1、2所示，方程f（g（x）=0、g（f（x）=0的实根个数分别为a、b，则a+b=( )a14b10c7d3考点：奇偶函数图象的对称性 专题：计算题分析：先利用奇函数和偶函数的图象性质判断两函数的图象，再利用图象由外到内分别解方程即可得两方程解的个数，最后求和即可解答：解：由图可知，图1为f（x）图象，图2为g（x）的图象，m（2，1），n（1，2）方程f（g（x）=0g（x）=1或g（x）=0或g（x）=1x=1，x=1，x=m，x=0，x=n，x=2，x=2，方程f（g（x）=0有7个根，即a=7；而方程g（f（x）=0f（x）=a或f（x）=0或f（x）=bf（x）=0x=1，x=0，x=1，方程g（f（x）=0有3个根，即b=3a+b=10故选 b点评：本题主要考查了函数奇偶性的图象性质，利用函数图象解方程的方法，数形结合的思想方法，属基础题10在区间1，1上任取两数s和t，则关于x的方程x2+2sx+t=0的两根都是正数的概率为( )abcd考点：几何概型 专题：计算题分析：先将二次方程x2+2sx+t=0的两根都是正数的s，t必须满足的条件列出来，再在坐标系sot中画出区域，最后求出面积比即可解答：解：由题意可得，其区域是边长为2的正方形，面积为4由二次方程x2+2sx+t=0有两正根可得，其区域如图所示即其区域如图所示，面积s=s2ds=所求概率p=故选b点评：本题主要考查了与面积有关的几何概率的求解，解题的关键是利用积分求出指定事件的面积11设p为直线3x+4y+3=0上的动点，过点p作圆c：x2+y22x2y+1=0的两条切线，切点分别为a，b，则四边形pacb的面积最小时p=( )a60b45c30d120考点：直线与圆的位置关系 专题：计算题分析：由题意画出图形，判断四边形面积最小时p的位置，利用点到直线的距离求出pc，然后求出p的大小解答：解：圆c：x2+y22x2y+1=0，即圆c：（x1）2+（y1）2=1，圆心坐标（1，1），半径为1；由题意过点p作圆c：x2+y22x2y+1=0的两条切线，切点分别为a，b，可知四边形pacb的面积是两个三角形的面积的和，因为capa，ca=1，显然pc最小时四边形面积最小，即pc最小值=2，cpa=30，所以p=60故选a点评：本题考查直线与圆的位置关系，正确判断四边形面积最小时的位置是解题的关键，考查计算能力12把一个皮球放入如图所示的由8根长均为20cm的铁丝接成的四棱锥形骨架内，使皮球的表面与8根铁丝都有接触点，则皮球的半径( )al0cmb10cmc10cmd30cm考点：棱锥的结构特征 专题：计算题分析：底面是一个正方形，一共有四条棱，皮球心距这四棱最小距离是10，而对上面的四条棱距离正方形的中心距离为10，由此可得结论解答：解：因为底面是一个正方形，一共有四条棱，皮球心距这四棱最小距离是10，四条棱距离正方形的中心距离为10，所以皮球的表面与8根铁丝都有接触点时，半径应该是边长的一半球的半径是10故选b点评：本题考查棱锥的结构特征，解题的关键是熟练掌握正四棱锥的结构特征，属于基础题二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13从某地区随机抽取100名高中男生，将他们的体重（单位：kg）数据绘制成频率分布直方图（如图）若要从各组内的男生中，用分层抽样的方法选取20人参加一项活动，则从60，70这一组中抽取的人数为6考点：频率分布直方图 专题：计算题分析：由题意，再求出此小矩形的面积即此组人数在样本中的频率，再乘以样本容量即可得到此组的人数解答：解：由图知，0.03010=0.3身高在60，70内的学生人数为200.3=6故答案为：6点评：本题考查频率分布直方图的应用，考查了识图的能力14双曲线的左、右焦点分别为f1、f2，过焦点f2且垂直于x轴的直线与双曲线相交于a、b两点，若，则双曲线的离心率为考点：双曲线的简单性质 分析：因为，所以af1与bf1互相垂直，结合双曲线的对称性可得：af1b是以ab为斜边的等腰直角三角形由此建立关于a、b、c的等式，化简整理为关于离心率e的方程，解之即得该双曲线的离心率解答：解：根据题意，得右焦点f2的坐标为（c，0）联解x=c与，得a（c，），b（c，）af1与bf1互相垂直，af1b是以ab为斜边的等腰rt由此可得：|ab|=2|f1f2|，即=22c=2c，可得c22aca2=0，两边都除以a2，得e22e1=0解之得：e=（舍负）故答案为：点评：本题给出经过双曲线右焦点并且与实轴垂直的弦，与左焦点构成直角三角形，求双曲线的离心率，着重考查了双曲线的标准方程和简单几何性质等知识，属于基础题15将边长为2的正abc沿bc边上的高ad折成直二面角badc，则三棱锥bacd的外接球的表面积为5考点：与二面角有关的立体几何综合题 专题：综合题分析：根据题意可知三棱锥bacd的三条侧棱bd、dc、da两两互相垂直，所以它的外接球就是它扩展为长方体的外接球，由此可得三棱锥bacd的外接球的表面积解答：解：根据题意可知三棱锥bacd的三条侧棱bd、dc、da两两互相垂直，所以它的外接球就是它扩展为长方体的外接球，长方体的对角线的长为：=，球的直径是，半径为，三棱锥bacd的外接球的表面积为：4=5故答案为：5点评：本题主要考查三棱锥bacd的外接球的表面积，解题关键将三棱锥bacd的外接球扩展为长方体的外接球，属于中档题16已知在abc中，sinb是sina和sinc的等差中项，则内角b的取值范围是（0，考点：等差数列的性质；三角函数的化简求值 专题：计算题；压轴题；等差数列与等比数列分析：利用sinb是sina和sinc的等差中项，及正弦定理，可得2b=a+c，再利用余弦定理及基本不等式可得结论解答：解：sinb是sina和sinc的等差中项，2sinb=sina+sinc，2b=a+ccosb=（当且仅当a=c时取等号）0b故答案为：（0，点评：本题考查等差数列的性质，考查正弦定理，考查余弦定理及基本不等式的运用，属于中档题三、解答题（本大题共5小题，70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17已知等比数列an的前n项和为sn，s3=14，s6=126（1）求数列an的通项公式；（2）设+，试求tn的表达式考点：数列的求和；等比数列的性质 专题：计算题分析：（1）根据s3=14，s6=126可求出a4+a5+a6=112，再利用等比数列各项之间的关系，求出公比q，把s3=a1+a2+a3=14中的每一项用a1和q表示，求出a1，代入等比数列的通项公式即可（2）由（1）知，=，=，得出数列是以为首项，为公比的等比数列利用公式求解即可解答：解：（1）s3=a1+a2+a3=14，s6=a1+a2+a6=126a4+a5+a6=112，数列an是等比数列，a4+a5+a6=（a1+a2+a3）q3=112q3=8q=2由a1+2a1+4a1=14得，a1=2，an=a1qn1=2n（2）由（1）知，=，=，又a1=2，a2=4，所以数列是以为首项，为公比的等比数列tn=点评：本题考查等比数列的判定，通项公式、前n项和的计算，考查方程思想，转化、计算能力18某篮球队甲、乙两名队员在本赛零已结束的8场比赛中得分统计的茎叶图如下：（）比较这两名队员在比赛中得分的均值和方差的大小；（）以上述数据统计甲、乙两名队员得分超过15分的频率作为概率，假设甲、乙两名队员在同一场比赛中得分多少互不影响，预测在本赛季剩余的2场比赛中甲、乙两名队员得分均超过15分次数x的分布列和均值考点：离散型随机变量的期望与方差；众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差；n次独立重复试验中恰好发生k次的概率；离散型随机变量及其分布列 专题：计算题分析：（）由甲=（7+9+11+13+13+16+23+28）=15，乙=（7+8+10+15+17+19+21+23）=15，s2甲=（8）2+（6）2+（4）2+（2）2+（2）2+12+82+132=44.75，s2乙=（8）2+（7）2+（5）2+02+22+42+62+82=32.25能比较比较这两名队员在比赛中得分的均值和方差的大小（）根据统计结果，在一场比赛中，甲、乙得分超过15分的概率分别为p1=，p2=，两人得分均超过15分的概率分别为p1p2=，依题意，xb（2，），由此能预测在本赛季剩余的2场比赛中甲、乙两名队员得分均超过15分次数x的分布列和均值解答：解：（）由茎叶图知：甲=（7+9+11+13+13+16+23+28）=15，乙=（7+8+10+15+17+19+21+23）=15，s2甲=（8）2+（6）2+（4）2+（2）2+（2）2+12+82+132=44.75，s2乙=（8）2+（7）2+（5）2+02+22+42+62+82=32.25甲、乙两名队员的得分均值相等；甲的方差较大（乙的方差较小）（）根据统计结果，在一场比赛中，甲、乙得分超过15分的概率分别为p1=，p2=，两人得分均超过15分的概率分别为p1p2=，依题意，xb（2，），p（x=k）=（）k（）2k，k=0，1，2，x的分布列为x012px的均值e（x）=2=点评：本题考查概率的求法和求离散型随机变量的分布列和数学期望，是历年2015届高考的必考题型解题时要认真审题，仔细解答，注意概率知识的灵活运用19如图，已知四棱锥eabcd的底面为菱形，且abc=60，ab=ec=2，ae=be=（）求证：平面eab平面abcd；（）求二面角aecd的余弦值考点：用空间向量求平面间的夹角；平面与平面垂直的判定；二面角的平面角及求法 专题：计算题；证明题；空间角分析：（i）取ab的中点o，连接eo，co由题意，可得aeb是以ab为斜边的等腰直角三角形，得eoab，再由等边三角形acb的高线co=，得到平方关系：ec2=eo2+co2，得eoco，所以eo平面abcd，从而得到平面eab平面abcd；（ii）以ab中点o为坐标原点，以ob、oe所在直线分别为y轴、z轴，建立如图空间直角坐标系，求出a、c、d、e各点的坐标，从而得到向量、的坐标，利用垂直向量数量积为0的方法，建立方程组并解之，分别可求得平面dec和平面eac的法向量、的坐标，最后利用空间向量的夹角公式，可算出二面角aecd的余弦值解答：解：（i）取ab的中点o，连接eo，coaeb中，ae2+eb2=2=ab2，得aeb为等腰直角三角形eoab，eo=1又abc中，ab=bc，abc=60acb是等边三角形，得，又ec=2，eco中，ec2=4=eo2+co2，得eocoab、co是平面abcd内的相交直线，eo平面abcd，又eo平面eab，平面eab平面abcd；（ii）以ab中点o为坐标原点，以ob所在直线为y轴，oe所在直线为z轴，建立如图所示空间直角坐标系，则设平面dce的法向量，即，解得，设平面eac的法向量，即，解得，根据空间向量的夹角公式，得二面角aecd的余弦值为点评：本题给出特殊四棱锥，求证面面垂直并求二面角的余弦值，着重考查了空间线面垂直、面面垂直的判定与性质和利用空间向量的方法求面面所成角的知识，属于中档题20已知椭圆c：的离心率为，且过点q（1，）（1）求椭圆c的方程；（2）若过点m（2，0）的直线与椭圆c相交于a，b两点，设p点在直线x+y1=0上，且满足 （o为坐标原点），求实数t的最小值考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程 专题：综合题分析：（1）设椭圆的焦距为2c，由e=，设椭圆方程为，由在椭圆上，能求出椭圆方程（2）设ab：y=k（x2），a（x1，y1），b（x2，y2），p（x，y），由，得（1+2k2）x28k2x+8k22=0，由=64k44（2k2+1）（8k22）0，知k，由此入手能够求出实数t的最小值解答：解：（1）设椭圆的焦距为2c，e=，a2=2c2，b2=c2，设椭圆方程为，在椭圆上，解得c2=1，椭圆方程为（2）由题意知直线ab的斜率存在，设ab：y=k（x2），a（x1，y1），b（x2，y2），p（x，y），由，得（1+2k2）x28k2x+8k22=0，=64k44（2k2+1）（8k22）0，即k，（x1+x2，y1+y2）=t（x，y），当k=0时，t=0；当t0时，=，点p在直线x+y1=0上，t=k，令h=当且仅当k=时取等号故实数t的最小值为44h=点评：本题考查椭圆与直线的位置关系的综合应用，考查化归与转化、分类与整合的数学思想，培养学生的抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识综合性强，难度大，有一定的探索性，对数学思维能力要求较高，是2015届高考的重点解题时要认真审题，仔细解答21已知（i）求函数f（x）的最小值；（ ii）（i）设0ta，证明：f（a+t）f（at）（ii）若f（x1）=f（x2），且x1x2证明：x1+x22a考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性 专题：综合题分析：（）确定函数的定义域，并求导函数，确定函数的单调性，可得x=a时，f（x）取得极小值也是最小值；（）（）构造函数g（t）=f（a+t）f（at），当0ta时，求导函数，可知g（t）在（0，a）单调递减，所以g（t）g（0）=0，即可证得；（）由（），f（x）在（0，a）单调递减，在（a，+）单调递增，不失一般性，设0x1ax2，所以0ax1a，利用（）即可证得结论解答：（）解：函数的定义域为（0，+）求导数，可得f（x）=x=当x（0，a）时，f（x）0，f（x）单调递减；当x（a，+）时，f（x）0，f（x）单调递增当x=a时，f（x）取得极小值也是最小值f（a）=a2a2lna（）证明：（）设g（t）=f（a+t）f（at），则当0ta时，g（t）=f（a+t）+f（at）=a+t+at=0，所以g（t）在（0，a）单调递减，g（t）g（0）=0，即f（a+t）f（at）0，故f（a+t）f（at）（）由（），f（x）在（0，a）单调递减，在（a，+）单调递增，不失一般性，设0x1ax2，因0ax1a，则由（），得f（2ax1）=f（a+（ax1）f（a（ax1）=f（x1）=f（x2），又2ax1，x2（a，+），故2ax1x2，即x1+x22a点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性、极值、最值，考查不等式的证明，解题的关键是构造函数，确定函数的单调性四、请考生在22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时，请写清题号【选修4-1：几何证明选讲】22如图，已知ab是o的直径，ac是弦，adce，垂足为d，ac平分bad（）求证：直线ce是o的切线；（）求证：ac2=abad考点：圆的切线的判定定理的证明 专题：证明题分析：（i）连接oc，利用oac为等腰三角形，结合同角的余角相等，我们易结合adce，得到ocde，根据切线的判定定理，我们易得到结论；（ii）连接bc，我们易证明abcacd，然后相似三角形性质，