北京四中高考数学总复习 空间点线面的位置关系提高知识讲解.doc

空间点线面的位置关系【考纲要求】（1）理解空间直线、平面位置关系的定义；（2）了解可以作为推理依据的公理和定理；（3）能运用公理、定理和已经获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题。【知识网络】空间点线面位置关系三个公理、三个推论平面平行直线异面直线相交直线公理4及等角定理异面直线所成的角异面直线间的距离直线在平面内直线与平面平行直线与平面相交空间两条直线概念垂直斜交空间直线与平面空间两个平面两个平面平行两个平面相交三垂线定理直线与平面所成的角【考点梳理】考点一、平面的基本性质1、平面的基本性质的应用（1）公理1：可用来证明点在平面内或直线在平面内；（2）公理2：可用来确定一个平面，为平面化作准备或用来证明点线共面；（3）公理3：可用来确定两个平面的交线，或证明三点共线，三线共点。2、平行公理主要用来证明空间中线线平行。3、公理2的推论：（1）经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面；（2）经过两条相交直线，有且只有一个平面；（3）经过两条平行直线，有且只有一个平面。4、点共线、线共点、点线共面（1）点共线问题证明空间点共线问题，一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点，再根据公理3证明这些点都在这两个平面的交线上。（2）线共点问题证明空间三线共点问题，先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过这点，把问题转化为证明点在直线上。要点诠释：证明点线共面的常用方法纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内；辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面，再证明其余元素确定平面，最后证明平面、重合。考点二、直线与直线的位置关系（1）位置关系的分类（2）异面直线所成的角定义：设a,b是两条异面直线，经过空间中任一点o作直线aa,bb,把a与b所成的锐角（或直角）叫做异面直线a与b所成的角（或夹角）范围：要点诠释：证明两直线为异面直线的方法：1、定义法（不易操作）2、反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两直线平行或相交，由假设的条件出发，经过严密的推理，导出矛盾，从而否定假设肯定两条直线异面。此法在异面直线的判定中经常用到。3、客观题中，也可用下述结论：过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线，如图：考点三、直线和平面、两个平面的位置关系1、直线和平面的位置关系位置关系直线a 在平面内直线a与平面相交直线a与平面平行公共点有无数个公共点有且只有一个公共点没有公共点符号表示图形表示2、两个平面的位置关系位置关系图示表示法公共点个数两平面平行0两平面相交斜交有无数个公共点在一条直线上垂直有无数个公共点在一条直线上考点四、平行公理、等角定理平行于同一条直线的两条直线互相平行。（但垂直于同一条直线的两直线的位置关系可能平行，可能相交，也可能异面）空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。要点诠释：（1）以空间几何体为载体，考查逻辑推理能力；（2）通过判断位置关系，考查空间想象能力；（3）应用公理、定理证明点共线、线共面等问题；（4）多以选择、填空的形式考查，有时也出现在解答题中。【典型例题】类型一、异面直线的判定例1已知空间四边形abcd.(1)求证：对角线ac与bd是异面直线;(2)若acbd,e,f,g,h分别这四条边ab,bc,cd,da的中点,试判断四边形efgh的形状;(3)若abbccdda,作出异面直线ac与bd的公垂线段.翰林汇【证明】(1)（反证法）假设ac与bd不是异面直线，则ac与bd共面，所以a、b、c、d四点共面这与空间四边形abcd的定义矛盾所以对角线ac与bd是异面直线 (2)解：e,f分别为ab,bc的中点,ef/ac,且ef=ac.同理hg/ac,且hg=ac.ef平行且相等hg,efgh是平行四边形.又f,g分别为bc,cd的中点,fg/bd,efg是异面直线ac与bd所成的角.acbd,efg=90o.efgh是矩形.(3)作法取bd中点e,ac中点f,连ef,则ef即为所求.【点评】在空间四边形中我们通常会遇到上述类似的问题，取中点往往是很有效的方法，特别是遇到等腰三角形的时候。举一反三：【变式】如图所示，正方体abcd-a1b1c1d1中，m、n分别是a1b1、b1c1的中点。问：（1）am和cn是否是异面直线？说明理由；（2）d1b和cc1是否是异面直线？说明理由。【解析】（1）不是异面直线。理由：连接mn、a1c1、ac。m、n分别是a1b1、b1c1的中点，mn/ a1c1，又a1a cc1，a1acc1为平行四边形。a1c1/ac，得到mn/ac，a、m、n、c在同一平面内，故am和cn不是异面直线。（2）是异面直线。证明如下：abcd-a1b1c1d1是正方体，b、c、c1、d1不共面。假设d1b与cc1不是异面直线，则存在平面，使d1b平面，cc1平面，d1、b、c、c1，与abcd-a1b1c1d1是正方体矛盾。假设不成立，即d1b与cc1是异面直线【点评】（1）易证mn/ac，am与cn不异面。（2）由图易判断d1b和cc1是异面直线，证明时常用反证法。类型二、平面的基本性质及平行公理的应用例2如图，四边形abef和abcd都是直角梯形，bad=fab=900，bcad，befa，g、h分别为fa、fd的中点。（1）证明：四边形bchg是平行四边形；（2）c、d、f、e四点是否共面？为什么？【解析】（1）（2）方法一：方法二：如图，延长fe，dc分别与ab交于点m，beaf，b为ma中点。bcad，b为中点，m与重合，即fe与dc交于点m（），c、d、f、e四点共面。【点评】（1）g、h为中点ghad，又bcad ghbc；（2）方法一：证明d点在ef、gj确定的平面内。方法二：延长fe、dc分别与ab交于m，可证m与 重合，从而fe与dc相交。举一反三：【变式】已知，从平面外一点引向量，（1）求证：四点共面；（2）平面平面【解析】法一：（1）四边形是平行四边形，共面；（2），又，所以，平面平面法二：（1） 同理 又 共面；（2）由（1）知：，从而可证同理可证，所以，平面平面类型三、异面直线所成的角例3空间四边形abcd中，ab=cd且ab与cd所成的角为300，e、f分别是bc、ad的中点，求ef与ab所成角的大小。【答案】取ac的中点g，连接eg、fg，则eg/ab，gf/cd，且由ab=cd知eg=fg，gef（或它的补角）为ef与ab所成的角，（或它的补角）为与所成的角。与cd所成的角为300，=300或1500。由eg=fg知efg为等腰三角形，当=300时，gef=750；当=1500时，gef=150。故ef与ab所成的角为150或750。【解析】要求ef与ab所成的角，可经过某一点作两条直线的平行线，考虑到e、f为中点，故可过e或f作ab的平行线。取ac的中点，平移ab、cd，使已知角和所求的角在一个三角形中求解。【点评】（1）求异面直线所成的角，关键是将其中一条直线平移到某个位置使其与另一条直线相交，或将两条直线同时平移到某个位置，使其相交。平移直线的方法有：直接平移中位线平移补形平移；（2）求异面直线所成角的步骤：作：通过作平行线，得到相交直线；证：证明相交直线所成的角为异面直线所成的角；求：通过解三角形，求出该角。类型四、点共线、线共点、线共面问题例4如图，已知：e、f、g、h分别是正方体abcda1b1c1d1的棱ab、bc、cc1、c1d1的中点，证明：fe、hg、dc三线共点证明：连结c1b，he，fg，由题意知hc1平行与eb，四边形hc1be是平行四边形hec1b.又c1ggccfbf，故gfc1b，gfhe，且gfhe，hg与ef相交设交点为k，则khg，hg平面d1c1cd，k平面d1c1cd.kef，ef平面abcd，k平面abcd.平面d1c1cd平面abcddc，kdc，fe、hg、dc三线共点。举一反三：【高清课堂：空间点线面的位置关系例2】【变式】如右图，在四面体abcd中作截面pqr，若pq、cb的延长线交于m，rq、db的延长线交于n，rp、dc的延长线交于k。求证：m、n、k三点共线。【证明】 因为mpq平面pqr，mbc平面bcd，又因为m是平面pqr与平面bcd的一个公共点，即m在平面pqr与平面bcd的交线l上。同理可证：n、k也在l上，所以m、n、k三点共线。例5. 如图，在正方体abcda1b1c1d1中，e为ab中点，f为aa1中点，abecdfa1b1c1d1求证：(1) e、c、d1、f四点共面；(2) ce、d1f、da三线共点【证明】(1) 连结a1b 则efa1b a1bd1cefd1c e、f、d1、c四点共面(2) 面d1a面cadaefd1c 且efd1cd1f与ce相交 又d1f面d1a，ce面acd1f与ce的交点必在da上ce、d1f、da三线共点【高清课堂：空