北京市161中高三数学上学期10月月考试卷（含解析）.doc

北京161中2015届高三上学 期10月月考数学试卷一、选择题共8小题，每小题5分，共40分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1（5分）已知全集u=r，集合a=x|x+10，b=x|x30，那么集合（ua）b=（）ax|1x3bx|1x3cx|x1dx|x32（5分）下列函数中，既是偶函数又在区间（，0）上单调递减的是（）ay=lg|x|by=cy=x2+1dy=ex3（5分）若0mn，则下列结论正确的是（）a2m2nbclog2mlog2nd4（5分）若ba0，则下列不等式中正确的是（）ab|a|b|c+2da+bab5（5分）已知数列an的前n项和为sn，且sn=2an2，则a2等于（）a2b2c1d46（5分）要得到函数y=sin2x的图象，只要将函数y=sin（2x）的图象（）a向左平移单位b向右平移单位c向左平移单位d向右平移单位7（5分）若2a=sin2+cos2，则实数a所在区间是（）a（，1）b（0，）c（，0）d（1，）8（5分）已知集合m=（x，y）|y=f（x），若对于任意（x1，y1）m，存在（x2，y2）m，使得x1x2+y1y2=0成立，则称集合m是“好集合”给出下列4个集合：m=（x，y）|y=ex2m=（x，y）|y=cosxm=（x，y）|y=lnx其中所有“好集合”的序号是（）abcd二、填空题共6小题，每小题5分，共30分9（5分）函数f（x）=+log2（5x）的定义域是10（5分）函数f（x）=cos+sin的图象中相邻的两个对称中心之间的距离是11（5分）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的四个侧面面积中，最大的面积值为12（5分）从4名男生和3名女生中选出3人组成一个学习小组，其中至少有1名女生的不同选法共有种（用数字作答）13（5分）在abc中，abc=，ab=，bc=3，则sinbac=14（5分）按程序框图运算：若x=5，则运算进行次才停止；若运算进行3次才停止，则x的取值范围是三、解答题共6小题，共80分15（13分）已知函数（xr）（）求函数f（x）的最小正周期及函数f（x）的单调递增区间；（）若，求cos2x0的值16（13分）某地区举办科技创新大赛，有50件科技作品参赛，大赛组委会对这50件作品分别从“创新性”和“实用性”两项进行评分，每项评分均按等级采用5分制，若设“创新性”得分为x，“实用性”得分为y，统计结果如下表： y作品数量x实用性1分2分3分4分5分创新性1分131012分107513分210934分1b60a5分00113（1）求“创新性为4分且实用性为3分”的概率；（2）若“实用性”得分的数学期望为，求a、b的值17（14分）如图，在三棱锥pabc中，ac=bc=2，acb=90，侧面pab为等边三角形，侧棱（）求证：pcab；（）求证：平面pab平面abc；（）求二面角bapc的余弦值18（13分）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c在x=1与x=2处都取得极值（）求a，b的值及函数f（x）的单调区间；（）若对x2，3，不等式f（x）+cc2恒成立，求c的取值范围19（14分）已知椭圆+=1（ab0）的离心率e=，椭圆上任意一点到椭圆的两个焦点的距离之和为4，设直线l与椭圆相交于不同的两点a，b，点a的坐标为（a，0）（）求椭圆的标准方程；（）若|ab|=，求直线l的倾斜角20（13分）设集合w由满足下列两个条件的数列an构成：；存在实数m，使anm（ n为正整数）（）在只有5项的有限数列an、bn中，其中a1=1，a2=2，a3=3，a4=4，a5=5；b1=1，b2=4，b3=5，b4=4，b5=1，试判断数列an、bn是否为集合w中的元素；（）设cn是等差数列，sn是其前n项和，c3=4，s3=18，证明数列snw；并写出m的取值范围；（）设数列dnw，且对满足条件的常数m，存在正整数k，使dk=m求证：dk+1dk+2dk+3北京161中2015届高三上学期10月月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题共8小题，每小题5分，共40分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1（5分）已知全集u=r，集合a=x|x+10，b=x|x30，那么集合（ua）b=（）ax|1x3bx|1x3cx|x1dx|x3考点：交、并、补集的混合运算 专题：计算题分析：先对两个集合进行化简，再根据集合运算的性质求集合（cua）b解答：解：a=x|x+10=（，1），b=x|x30=（，3），cua=1，+）（cua）b=1，3）故选a点评：本题考点是交并补集的混合运算，根据集合去处的性质求集合，属于集合中的基本题型2（5分）下列函数中，既是偶函数又在区间（，0）上单调递减的是（）ay=lg|x|by=cy=x2+1dy=ex考点：函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明 专题：计算题；函数的性质及应用分析：逐一考查各个选项中函数的奇偶性、以及在区间（，0）上的单调性，从而得出结论解答：解：由于y=lg|x|，有f（x）=f（x）是偶函数，且在区间（，0）上，f（x）=lgx是单调递减，故a正确；由于y=是奇函数，故排除b；由于函数f（x）=x2+1是偶函数，且满足在（，0）上是单调递增函数，故c不满足条件；由于y=ex不满足f（x）=f（x），不是偶函数，故排除d故选：a点评：本题主要考查函数的单调性和奇偶性的综合应用，属于中档题3（5分）若0mn，则下列结论正确的是（）a2m2nbclog2mlog2nd考点：指数函数的单调性与特殊点 分析：根据指数函数与对数函数的底数大于1时单调递增，底数大于0小于1时单调递减的性质进行做题解答：解：观察a，c两个选项，由于底数21，故相关的函数是增函数，由0mn，2m2n，log2mlog2n，所以a，c不对又观察b，d两个选项，两式底数满足，故相关的函数是一个减函数，由0mn，n，所以b不对d对故选d点评：指数函数与对数函数的单调性是经常被考查的对象，要注意底数大于1时单调递增，底数大于0小于1时单调递减的性质4（5分）若ba0，则下列不等式中正确的是（）ab|a|b|c+2da+bab考点：不等关系与不等式 专题：常规题型分析：利用不等式的基本性质，两个负数取倒数或去绝对值不等式方向应该改变，得到ab不正确，在根据均值不等式得到c是正确的，对于显然知道a+b0而ab0故d也不正确解答：解：ba0取倒数后不等式方向应该改变即，故a不正确ba0两边同时乘以1后不等式方向应该改变ba0即|a|b|，故b不正确ba0根据均值不等式知：+2故c正确ba0a+b0，ab0a+bab 故d不正确故选c点评：本题考查了不等式的基本性质，属于基础题5（5分）已知数列an的前n项和为sn，且sn=2an2，则a2等于（）a2b2c1d4考点：数列递推式 专题：点列、递归数列与数学归纳法分析：利用sn=2an2，n分别取1，2，则可求a2的值解答：解：n=1时，s1=2a12，a1=2，n=2时，s2=2a22，a2=a1+2=4故选d点评：本题考查数列递推式，考查学生的计算能力，属于基础题6（5分）要得到函数y=sin2x的图象，只要将函数y=sin（2x）的图象（）a向左平移单位b向右平移单位c向左平移单位d向右平移单位考点：函数y=asin（x+）的图象变换 专题：三角函数的图像与性质分析：由条件利用函数y=asin（x+）的图象变换规律，可得结论解答：解：将函数y=sin（2x）的图象向左平移单位，可得函数y=sin2（x+）=sin2x的图象，故选：a点评：本题主要考查函数y=asin（x+）的图象变换规律，属于基础题7（5分）若2a=sin2+cos2，则实数a所在区间是（）a（，1）b（0，）c（，0）d（1，）考点：两角和与差的正弦函数；函数零点的判定定理 专题：计算题分析：利用两角和的正弦函数化简等式的右侧，确定右侧的范围，然后利用指数函数的性质确定左侧的范围，得到选项即可解答：解：sin2+cos2=2sin（2+），又2+，12sin（2+），即12a，0a故选：b点评：本题考查三角函数的化简求值，两角和的正弦函数的应用，指数函数的基本性质，考查计算能力，属于基础题8（5分）已知集合m=（x，y）|y=f（x），若对于任意（x1，y1）m，存在（x2，y2）m，使得x1x2+y1y2=0成立，则称集合m是“好集合”给出下列4个集合：m=（x，y）|y=ex2m=（x，y）|y=cosxm=（x，y）|y=lnx其中所有“好集合”的序号是（）abcd考点：命题的真假判断与应用；元素与集合关系的判断 专题：阅读型；新定义分析：对于，利用渐近线互相垂直，判断其正误即可对于，画出图象，说明满足好集合的定义，即可判断正误；对于，画出函数图象，说明满足好集合的定义，即可判断正误；对于，画出函数图象，取一个特殊点即能说明不满足好集合定义解答：解：对于y=是以x，y轴为渐近线的双曲线，渐近线的夹角为90，在同一支上，任意（x1，y1）m，不存在（x2，y2）m，满足好集合的定义；对任意（x1，y1）m，在另一支上也不存在（x2，y2）m，使得x1x2+y1y2=0成立，所以不满足好集合的定义，不是好集合对于m=（x，y）|y=ex2，如图（2）在曲线上两点构成的直角始存在，例如取m（0，1），n（ln2，0），满足好集合的定义，所以正确对于m=（x，y）|y=cosx，如图（3）对于任意（x1，y1）m，存在（x2，y2）m，使得x1x2+y1y2=0成立，例如（0，1）、（，0），yox=90，满足好集合的定义，旋转90，都能在图象上找到满足题意的点，所以集合m是好集合；对于m=（x，y）|y=lnx，如图（4）取点（1，0），曲线上不存在另外的点，使得两点与原点的连线互相垂直，所以不是好集合故选b点评：本题考查了命题真假的判断与应用，考查了元素与集合的关系，考查了数形结合的思想，解答的关键是对新定义的理解，是中档题二、填空题共6小题，每小题5分，共30分9（5分）函数f（x）=+log2（5x）的定义域是0，5）考点：函数的定义域及其求法 专题：计算题；函数的性质及应用分析：根据二次根式的性质，对数函数的性质，得到不等式组，解出即可解答：解：由题意得：，解得：0x5，则有定义域为0，5）故答案为：0，5）点评：本题考查了函数的定义域问题，考查了二次根式的性质，对数函数的性质，是一道基础题10（5分）函数f（x）=cos+sin的图象中相邻的两个对称中心之间的距离是考点：两角和与差的正弦函数 专题：三角函数的图像与性质分析：化简可得f（x）=sin（+），可得周期t，而所求即为半周期解答：解：由三角函数公式化简可得f（x）=cos+sin=（cos+sin）=sin（+），函数f（x）的周期为t=5，函数图象中相邻的两个对称中心之间的距离为=故答案为：点评：本题考查三角函数的图象和性质，涉及公式的化简和周期性，属基础题11（5分）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的四个侧面面积中，最大的面积值为10考点：由三视图求面积、体积 专题：计算题；空间位置关系与距离分析：三视图中长对正，高对齐，宽相等；由三视图想象出直观图，一般需从俯视图构建直观图解答：解：由题意，该四棱锥的四个侧面面积中，较大的两个面的面积分别为s1=4=10，s2=3=6，610，故答案为：10点评：三视图中长对正，高对齐，宽相等；由三视图想象出直观图，一般需从俯视图构建直观图，本题考查了学生的空间想象力，识图能力及计算能力12（5分）从4名男生和3名女生中选出3人组成一个学习小组，其中至少有1名女生的不同选法共有31种（用数字作答）考点：计数原理的应用 专题：排列组合分析：由题意知这3人中至少有1名女生的对立事件是只选男生，即则这3人中至少有1名女生等于从全部方案中减去只选男生的方案数，由排列的方法计算全部方案与只选男生的方案数解答：解：从4名男生和3名女生中选出3人，组成一个学习小组，有c73种选法，其中只选派男生的方案数为c43，这3人中至少有1名女生与只选男生为对立事件，则这3人中至少有1名女生等于从全部方案中减去只选男生的方案数，即合理的选则方案共有c73c43=31种结果，故答案为：31点评：本题考查排列组合的运用，本题解题的关键是看出要求的事件的对立事件，遇到求出现至多或至少这种语言时，一般要用间接法来解，正难则反13（5分）在abc中，abc=，ab=，bc=3，则sinbac=考点：正弦定理 专题：三角函数的求值分析：利用余弦定理列出关系式，将各自的值代入求出b的值，再利用正弦定理即可求出sinbac的值解答：解：在abc中，abc=，ab=c=，bc=a=3，由余弦定理得：b2=a2+c22accosabc=9+26=5，即b=，则由正弦定理=得：sinbac=故答案为：点评：此题考查了正弦、余弦定理，熟练掌握定理是解本题的关键14（5分）按程序框图运算：若x=5，则运算进行4次才停止；若运算进行3次才停止，则x的取值范围是（10，28考点：循环结构 专题：图表型分析：本题的考查点是计算循环的次数，及变量初值的设定，在算法中属于难度较高的题型，处理的办法为：模拟程序的运行过程，用表格将程序运行过程中各变量的值进行管理，并分析变量的变化情况，最终得到答案解答：解：（1）程序在运行过程中各变量的值如下表示：x x 是否继续循环循环前 5第一圈 15 13 是第二圈 39 37 是第三圈 111 109 是第四圈 327 325 否故循环共进行了4次；（2）由（1）中数据不难发现第n圈循环结束时，经x=（x01）3n+1：x 是否继续循环循环前x0/第一圈 （x01）3+1 是第二圈 （x01）32+1 是第三圈 （x01）33+1 否则可得（x01）32+1244且（x01）33+1244解得：10x028故答案为：4，（10，28点评：算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新2015届高考中的一个热点，应高度重视程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：分支的条件循环的条件变量的赋值变量的输出其中前两点考试的概率更大此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误要判断循环的次数，可以根据循环变量的初值、终值及步长代入循环次数公式解答，但公式一般只适用于累加（乘）问题，对于本题的第一步，则应采用模拟法解答三、解答题共6小题，共80分15（13分）已知函数（xr）（）求函数f（x）的最小正周期及函数f（x）的单调递增区间；（）若，求cos2x0的值考点：正弦函数的单调性；诱导公式的作用；二倍角的正弦；二倍角的余弦；三角函数的周期性及其求法 专题：计算题分析：（）利用三角函数的恒等变换化简 f（x）的解析式为，由此求得周期，令（kz），求出x的范围，即得函数f（x）的单调递增区间（）解法一：由已知得，平方可得，再根据，利用同角三角函数的基本关系求出cos2x0的值解法二：由已知得，根据角的范围，利用同角三角函数的基本关系求出的值，由，再利用二倍角公式运算求出结果解答：解：（） f（x）=2sinxcosx2sin2x+1 （1分）=sin2x+cos2x （2分）=（3分）故函数f（x）的最小正周期（5分）令（kz），（6分） 可得 ，即 ，kz，所以，函数f（x）的单调递增区间为（kz）（8分）（）解法一：由已知得，（9分） 两边平方，可得 ，所以， （11分） 因为，所以，所以，（13分）解法二：因为，所以（9分）又因为，解得 （10分）所以，（11分）所以，=（13分）点评：本题主要考查三角函数的恒等变换，正弦函数的周期性和单调性，属于中档题16（13分）某地区举办科技创新大赛，有50件科技作品参赛，大赛组委会对这50件作品分别从“创新性”和“实用性”两项进行评分，每项评分均按等级采用5分制，若设“创新性”得分为x，“实用性”得分为y，统计结果如下表： y作品数量x实用性1分2分3分4分5分创新性1分131012分107513分210934分1b60a5分00113（1）求“创新性为4分且实用性为3分”的概率；（2）若“实用性”得分的数学期望为，求a、b的值考点：离散型随机变量的期望与方差；等可能事件的概率 专题：计算题分析：（1）由题意从表中可以看出，“创新性4分且实用性3分”的作品数量6件，利用古典概型可知创新性4分且实用性3分”的概率值；（2）由题意及图表可知“实用性”得y1分，2分，3分，4分5分，五个等级，且每个等级分别5件，b+4件，15件，15件，a+8件，利用古典概型求出每一个值对应的事件的概率，利用分布列及期望定义即可求得解答：解：（1）从表中可以看出，“创新性4分且实用性3分”的作品数量6件，“创新性4分且实用性3分”的概率（2）由表可知“实用性”得y1分，2分，3分，4分5分，五个等级，且每个等级分别5件，b+4件，15件，15件，a+8件“实用性”得y的分布列为：y12345p又“实用性”得分的数学期望，+作品数量共50件，a+b=3解a=1，b=2点评：此题考查了古典概型随机事件的概率公式，离散型随机变量的定义及其分布列，随机变量的期望，还考查了学生的理解与计算能力17（14分）如图，在三棱锥pabc中，ac=bc=2，acb=90，侧面pab为等边三角形，侧棱（）求证：pcab；（）求证：平面pab平面abc；（）求二面角bapc的余弦值考点：二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定 专题：计算题；证明题分析：（）由题意，证明pcab可通过证明ab平面pcd，用线面垂直证线线垂直；（ii）要证明两个平面垂直，可以证明两个平面所成的二面角是直角，根据三边长满足勾股定理得到直角，得到结论（iii）方法一：过d作depa于e，连接ce，则cepa所以dec是二面角bapc的平面角，在三角形中求角即可；方法二：（空间向量法）以d为原点建立如图所示的空间直角坐标系，给出各点的坐标，建立方程求出两个平面的法向量，用公式求出二面角的余弦值，解答：解：（）设ab中点为d，连接pd，cd，（1分）因为ap=bp，所以pdab又ac=bc，所以cdab（2分）因为pdcd=d，所以ab平面pcd因为pc平面pcd，所以pcab（4分）（）由已知acb=90，ac=bc=2，所以，又pab为正三角形，且pdab，所以（6分）因为，所以pc2=cd2+pd2所以cdp=90由（）知cdp是二面角pabc的平面角所以平面pab平面abc（8分）（）方法1：由（）知cd平面pab过d作depa于e，连接ce，则cepa所以dec是二面角bapc的平面角（10分）在rtcde中，易求得因为，所以（12分）所以即二面角bapc的余弦值为（13分）方法2：由（）（）知dc，db，dp两两垂直（9分）以d为原点建立如图所示的空间直角坐标系易知d（0，0，0），所以，（10分）设平面pac的法向量为n=（x，y，z），则即令x=1，则y=1，所以平面pac的一个法向量为（11分）易知平面pab的一个法向量为所以（12分）由图可知，二面角bapc为锐角所以二面角bapc的余弦值为（13分）点评：本题考查二面角的求法，面面垂直的判定，线线垂直的判定，考查推理论证的能力及运算求解的能力，解答本题关键是掌握求二面角的方法几何法与向量法，掌握几何法的步骤作角、证角、求解以及向量法的求解步骤建立坐标系，求出两平面的法向量的坐标，用公式求出两平面夹角的余弦值18（13分）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c在x=1与x=2处都取得极值（）求a，b的值及函数f（x）的单调区间；（）若对x2，3，不等式f（x）+cc2恒成立，求c的取值范围考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性；不等式的证明 专题：计算题分析：（1）求出f（x）并令其=0得到方程，把x=1和x=2代入求出a、b即可；（2）求出函数的最大值为f（1），要使不等式恒成立，既要证f（1）+cc2，即可求出c的取值范围解答：解：（）f（x）=3x2+2ax+b，由题意：即解得，f（x）=3x23x6令f（x）0，解得1x2；令f（x）0，解得x1或x2，f（x）的减区间为（1，2）；增区间为（，1），（2，+）（）由（）知，f（x）在（，1）上单调递增；在（1，2）上单调递减；在（2，+）上单调递增x2，3时，f（x）的最大值即为f（1）与f（3）中的较大者.；当x=1时，f（x）取得最大值要使，只需，即：2c27+5c解得：c1或c的取值范围为点评：考查学生利用导数求函数极值的能力，利用导数研究函数单调性的能力，以及掌握不等式的证明方法19（14分）已知椭圆+=1（ab0）的离心率e=，椭圆上任意一点到椭圆的两个焦点的距离之和为4，设直线l与椭圆相交于不同的两点a，b，点a的坐标为（a，0）（）求椭圆的标准方程；（）若|ab|=，求直线l的倾斜角考点：椭圆的简单性质 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（1）椭圆+=1（ab0）根据a2=b2+c2，=，2a=4，求解（2）联立方程组消去y并整理，得（1+4k2）x2+16k2x+（16k24）=0，运用韦达定理，弦长公式求解解答：解：（1）椭圆+=1（ab0）的离心率e=，椭圆上任意一点到椭圆的两个焦点的距离之和为4，a=2，c=，b=1，椭圆的标准方程：=1，（2）设直线l与椭圆相交于不同的两点a，b，点a的坐标为（a，0）点a的坐标为（2，0），直线l的方程为：y=k（x+2），（）（i）由（）可知点a的坐标是（2，0）设点b的坐标为（x1，y1），直线l的斜率为k则直线l的方程为y=k（x+2）于是a、b两点的坐标满足方程组消去y并整理，得（1+4k2）x2+16k2x+（16k24）=0由2x1=，得x1=从而y1=所以|ab|=由|ab|=，得=整理得32k49k223=0，即（k21）（32k2+23）=0，解得k