北京市高三数学 最新模拟试题分类汇编5 数列 理.doc

北京2013届高三理科数学最新模拟试题分类汇编5：数列一、选择题 （2013届北京西城区一模理科）等比数列中，则“”是“”的（）a充分而不必要条件b必要而不充分条件c充分必要条件d既不充分也不必要条件【答案】b （2013北京海淀二模数学理科试题及答案）若数列满足:存在正整数,对于任意正整数都有成立,则称数列为周期数列,周期为. 已知数列满足,则下列结论中错误的是（）a若,则可以取3个不同的值 b若,则数列是周期为的数列 c且,存在,是周期为的数列 d且,数列是周期数列【答案】d （2013届东城区一模理科）已知数列中，那么数列的前项和等于（）abcd【答案】c （2013北京顺义二模数学理科试题及答案）已知数列中,等比数列的公比满足,且,则（）abcd【答案】b （2013届房山区一模理科数学）已知为等差数列，为其前项和.若，则（）abcd【答案】d （2013北京海淀二模数学理科试题及答案）已知数列是公比为的等比数列,且,则的值为（）abc或d或【答案】d （2013北京房山二模数学理科试题及答案）已知数列的前项和为,则（）abcd【答案】c （2013北京昌平二模数学理科试题及答案）设等比数列的公比为,其前项的积为,并且满足条件,.给出下列结论: ; ; 的值是中最大的; 使成立的最大自然数等于198.其中正确的结论是（）abcd【答案】b （2013届北京丰台区一模理科）设为等比数列的前项和，则（）a2b3c4d5【答案】b二、填空题（北京市石景山区2013届高三一模数学理试题）在等差数列an中,al=-2013,其前n项和为sn,若=2,则的值等于_.【答案】 （2013届北京西城区一模理科）设等差数列的公差不为，其前项和是若，则_【答案】； （2013北京房山二模数学理科试题及答案）在数列中,如果对任意的,都有(为常数),则称数列为比等差数列,称为比公差.现给出以下命题:若数列满足,则该数列不是比等差数列;若数列满足,则数列是比等差数列,且比公差;等比数列一定是比等差数列,等差数列一定不是比等差数列;若是等差数列,是等比数列,则数列是比等差数列.其中所有真命题的序号是_ . 【答案】 （2013届北京西城区一模理科）记实数中的最大数为，最小数为.设的三边边长分别为，且，定义的倾斜度为（）若为等腰三角形，则_；（）设，则的取值范围是_【答案】， （2013届北京市延庆县一模数学理） 2 4 （14题图） 以下是面点师一个工作环节的数学模型：如图，在数轴上截取与闭区间对应的线段，对折后（坐标4所对应的点与原点重合）再均匀地拉成4个单位长度的线段，这一过程称为一次操作（例如在第一次操作完成后，原来的坐标1、3变成2，原来的坐标2变成4，等等）.那么原闭区间上（除两个端点外）的点，在第次操作完成后，恰好被拉到与4重合的点所对应的坐标为，则 ； .【答案】； （这里为中的所有奇数）（2013届东城区一模理科）数列an的各项排成如图所示的三角形形状，其中每一行比上一行增加两项，若， 则位于第10行的第8列的项等于 ，在图中位于 （填第几行的第几列）【答案】 第行的第列（北京市朝阳区2013届高三第一次综合练习理科数学）在等比数列中,则_,为等差数列,且,则数列的前5项和等于_. 【答案】2,10 （2013北京东城高三二模数学理科）各项均为正数的等比数列的前项和为,若,则的值为_,的值为_. 【答案】 ,; （2013北京西城高三二模数学理科）在等差数列中,则_;设,则数列的前项和_. 【答案】 ,; （2013届门头沟区一模理科）在等差数列中，则等于 【答案】 （2013北京朝阳二模数学理科试题）数列的前项组成集合,从集合中任取个数,其所有可能的个数的乘积的和为(若只取一个数,规定乘积为此数本身),记.例如当时,;当时,.则当时,_;试写出_.【答案】63, 三、解答题（2013届房山区一模理科数学）对于实数，将满足“且为整数”的实数称为实数的小数部分，用记号表示例如对于实数，无穷数列满足如下条件：， 其中 （）若，求数列的通项公式；（）当时，对任意的，都有，求符合要求的实数构成的集合；（）若是有理数，设 （是整数，是正整数，,互质），对于大于的任意正整数，是否都有成立，证明你的结论【答案】（） ， .2分若，则 所以 3分（） ， 所以 ，从而 当，即时， 所以解得： （，舍去） .4分当 ，即 时，所以 解得 （ ，舍去） 5分 当 时，即 时， 解得 （ ，舍去） 6分综上，集合，. 7分（）结论成立. 8分由是有理数，可知对一切正整数，为0或正有理数，可设（是非负整数，是正整数，且互质）由，可得； 9分若，设（，是非负整数）则 ，而由得，故，可得 11分若则， 若均不为0，则这正整数互不相同且都小于，但小于的正整数共有个，矛盾. 故中至少有一个为0，即存在，使得.从而数列中以及它之后的项均为0，所以对于大于的自然数，都有 13分（2013北京昌平二模数学理科试题及答案）本小题满分14分)设数列对任意都有(其中、是常数) .(i)当,时,求;(ii)当,时,若,求数列的通项公式;(iii)若数列中任意(不同)两项之和仍是该数列中的一项,则称该数列是“封闭数列”.当,时,设是数列的前项和,试问:是否存在这样的“封闭数列” ,使得对任意,都有,且.若存在,求数列的首项的所有取值;若不存在,说明理由.【答案】解:(i)当,时, , 用去代得, 得, 在中令得,则0, 数列是以首项为1,公比为3的等比数列,= (ii)当,时, 用去代得, 得, , . 用去代得, 得,即,. 数列是等差数列., 公差, (iii)由(ii)知数列是等差数列,. 又是“封闭数列”,得:对任意,必存在使 ,得,故是偶数, 又由已知,故.一方面,当时,对任意,都有. 另一方面,当时,则, 取,则,不合题意. 当时,则 , 当时, , 又,或或或 （2013届北京海滨一模理科）设为平面直角坐标系上的两点，其中.令，若,且，则称点为点的“相关点”，记作：. 已知为平面上一个定点，平面上点列满足：，且点的坐标为，其中.（）请问：点的“相关点”有几个？判断这些“相关点”是否在同一个圆上，若在同一个圆上，写出圆的方程；若不在同一个圆上，说明理由；（）求证：若与重合，一定为偶数；（）若，且，记，求的最大值.【答案】解：（）因为为非零整数）故或，所以点的相关点有8个2分又因为，即所以这些可能值对应的点在以为圆心，为半径的圆上4分（）依题意与重合则，即，两式相加得（*）因为故为奇数，于是（*）的左边就是个奇数的和，因为奇数个奇数的和还是奇数，所以一定为偶数8分（）令，依题意，因为10分因为有，且为非零整数，所以当的个数越多，则的值越大，而且在这个序列中，数字的位置越靠前，则相应的的值越大而当取值为1或的次数最多时，取2的次数才能最多，的值才能最大.当时，令所有的都为1，都取2，则.当时，若，此时，可取个1，个，此时可都取2，达到最大此时=若,令,其余的中有个，个1.相应的，对于，有,其余的都为2，则当时，令则相应的取则=+综上，13分（2013北京海淀二模数学理科试题及答案）(本小题满分13分)123101设是由个实数组成的行列的数表,如果某一行(或某一列)各数之和为负数,则改变该行(或该列)中所有数的符号,称为一次“操作”. () 数表如表1所示,若经过两次“操作”,使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负实数,请写出每次“操作”后所得的数表(写出一种方法即可);表1() 数表如表2所示,若必须经过两次“操作”,才可使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负整数,求整数的所有可能值;()对由个实数组成的行列的任意一个数表,能否经过有限次“操作”以后,使得到的数表每行的各数之 表2和与每列的各数之和均为非负整数?请说明理由. 【答案】(i)解:法1: 法2: 法3: (ii) 每一列所有数之和分别为2,0,0,每一行所有数之和分别为,1; 如果首先操作第三列,则 则第一行之和为,第二行之和为, 这两个数中,必须有一个为负数,另外一个为非负数, 所以 或 当时,则接下来只能操作第一行, 此时每列之和分别为 必有,解得 当时,则接下来操作第二行 此时第4列和为负,不符合题意 如果首先操作第一行 则每一列之和分别为, 当时,每列各数之和已经非负,不需要进行第二次操作,舍掉 当时,至少有一个为负数, 所以此时必须有,即,所以或 经检验,或符合要求 综上: (iii)能经过有限次操作以后,使得得到的数表所有的行和与所有的列和均为非负实数.证明如下: 记数表中第行第列的实数为(),各行的数字之和分别为,各列的数字之和分别为,数表中个实数之和为,则.记 . 按要求操作一次时,使该行的行和(或该列的列和)由负变正,都会引起(和)增大,从而也就使得增加,增加的幅度大于等于,但是每次操作都只是改变数表中某行(或某列)各数的符号,而不改变其绝对值,显然,必然小于等于最初的数表中个实数的绝对值之和,可见其增加的趋势必在有限次之后终止.终止之时,必是所有的行和与所有的列和均为非负实数,否则,只要再改变该行或该列的符号,就又会继续上升,导致矛盾,故结论成立 （2013届北京丰台区一模理科）设满足以下两个条件的有穷数列为n（n=2,3,4,）阶“期待数列”： ； .（）分别写出一个单调递增的3阶和4阶“期待数列”；（）若某2k+1()阶“期待数列”是等差数列，求该数列的通项公式；（）记n阶“期待数列”的前k项和为，试证：（1）； （2） 【答案】解：（）数列为三阶期待数列1分数列为四阶期待数列,.3分(其它答案酌情给分)（）设等差数列的公差为， ，所以，即， 4分当d=0时,与期待数列的条件矛盾， 5分当d0时,据期待数列的条件得： 由得，7分当d0时，同理可得由得，8分（）（1）当k=n时，显然成立；9分当kn时，据条件得，即， ,11分 14分（2013北京房山二模数学理科试题及答案）设,对于项数为的有穷数列,令为中的最大值,称数列为的“创新数列”.例如数列3,5,4,7的创新数列为3,5,5,7.考查自然数的所有排列,将每种排列都视为一个有穷数列.()若,写出创新数列为3,5,5,5,5的所有数列;()是否存在数列的创新数列为等比数列?若存在,求出符合条件的创新数列;若不存在,请说明理由;()是否存在数列,使它的创新数列为等差数列?若存在,求出所有符合条件的数列的个数;若不存在,请说明理由.【答案】()由题意,创新数列为3,5,5,5,5的所有数列有6个, 3,5,1,2,4; 3,5,1,4,2; 3,5,2,1,4; 3,5,2,4,1; 3,5,4,1,2; 3,5,4,2,1; ()存在数列的创新数列为等比数列. 设数列的创新数列为, 因为为前个自然数中最大的一个,所以.若为等比数列, 设公比为,因为,所以 当时,为常数列满足条件,即为数列 当时,为增数列,符合条件的数列只能是, 又不满足等比数列.综上符合条件的创新数列只有一个. ()存在数列,使它的创新数列为等差数列, 设数列的创新数列为,因为为前个自然数中最大的一个, 所以.若为等差数列,设公差为, 因为,所以.且 当时,为常数列满足条件,即为数列(或写通项公式), 此时数列是首项为的任意一个排列,共有个数列; 当时,符合条件的数列只能是,此时数列是, 有1个; 当时, 又 这与矛盾,所以此时不存在. 综上满足条件的数列的个数为个(或回答个). （2013届东城区一模理科）设是由个有序实数构成的一个数组，记作：.其中 称为数组的“元”，称为的下标. 如果数组中的每个“元”都是来自 数组中不同下标的“元”，则称为的子数组. 定义两个数组，的关系数为.（）若，设是的含有两个“元”的子数组，求的最大值；（）若，且，为的含有三个“元”的子数组，求的最大值；（）若数组中的“元”满足.设数组含有四个“元”，且，求与的所有含有三个“元”的子数组的关系数的最大值.【答案】解：（）依据题意，当时，取得最大值为2 （）当是中的“元”时，由于的三个“元”都相等及中三个“元”的对称性，可以只计算的最大值，其中由，得 当且仅当，且时，达到最大值，于是 当不是中的“元”时，计算的最大值，由于，所以，当且仅当时，等号成立即当时，取得最大值，此时综上所述，的最大值为1 （）因为满足由关系的对称性，只需考虑与的关系数的情况当时，有即，且，时，的最大值为当时，得最大值小于所以的最大值为（2013北京东城高三二模数学理科）已知数列,.()求,;()是否存在正整数,使得对任意的,有;()设,问是否为有理数,说明理由.【答案】(共13分)解:(); . ()假设存在正整数,使得对任意的,有. 则存在无数个正整数,使得对任意的,有. 设为其中最小的正整数. 若为奇数,设(), 则. 与已知矛盾. 若为偶数,设(),则,而 从而. 而,与为其中最小的正整数矛盾. 综上,不存在正整数,使得对任意的,有. ()若为有理数,即为无限循环小数, 则存在正整数,对任意的,且,有. 与()同理,设为其中最小的正整数. 若为奇数,设(), 当时,有.与已知矛盾. 若为偶数,设(), 当时,有,而 从而. 而,与为其中最小的正整数矛盾. 故不是有理数 （北京市朝阳区2013届高三第一次综合练习理科数学）设是数的任意一个全排列,定义,其中.()若,求的值;()求的最大值;()求使达到最大值的所有排列的个数.北京市朝阳区高三年级第一次综合练【答案】解:() ()数的倍与倍分别如下: 其中较大的十个数之和与较小的十个数之和的差为,所以. 对于排列,此时, 所以的最大值为 ()由于数所产生的个数都是较小的数,而数所产生的个数都是较大的数,所以使取最大值的排列中,必须保证数互不相邻,数也互不相邻;而数和既不能排在之一的后面,又不能排在之一的前面.设,并参照下面的符号排列 其中任意填入个中,有种不同的填法;任意填入个圆圈中,共有种不同的填法;填入个之一中,有种不同的填法;填入个中,且当与在同一个时,既可以在之前又可在之后,共有种不同的填法,所以当时,使达到最大值的所有排列的个数为,由轮换性知,使达到最大值的所有排列的个数为 （北京市顺义区2013届高三第一次统练数学理科试卷（解析）已知为等差数列,且.(i)求数列的前项和;(ii)求数列的前项和.【答案】解:(i)设等差数列的公差为, 因为, 所以 解得, 所以, 因此 记数列的前项和为, 当时, 当时, 当时, =, 又当时满足此式, 综上, (ii)记数列的前项和为. 则, , 所以. 由(i)可知, 所以, 故 （北京市顺义区2013届高三第一次统练数学理科试卷（解析）已知数列的前项和为,且点在函数的图像上.(i)求数列的通项公式;(ii)设数列满足:,求数列的前项和公式;(iii)在第(ii)问的条件下,若对于任意的不等式恒成立,求实数的取值范围【答案】解:(i)由题意可知,. 当时, 当时,也满足上式, 所以 (ii)由(i)可知,即. 当时, 当时,所以, 当时, 当时,所以, 当时(为偶数),所以 以上个式子相加,得 . 又, 所以,当为偶数时,. 同理,当为奇数时, , 所以,当为奇数时, 因此,当为偶数时,数列的前项和 ; 当为奇数时,数列的前项和 . 故数列的前项和 (iii)由(ii)可知 当为偶数时, 所以随的增大而减小, 从而,当为偶数时,的最大值是. 当为奇数时, 所以随的增大而增大, 且. 综上,的最大值是1. 因此,若对于任意的,不等式恒成立,只需, 故实数的取值范围是 （2013北京朝阳二模数学理科试题）已知实数()满足,记.()求及的值;()当时,求的最小值;()求的最小值.注:表示中任意两个数,()的乘积之和.【答案】解:()由已知得. ()设. 当时,. 若固定,仅让变动,此时, 因此. 同理. . 以此类推,我们可以看出,的最小值必定可在某一组取值的所达到, 于是. 当()时, .因为,所以,且当,时,. 因此 ()设 . 固定,仅让变动,此时 , 因此. 同理. . 以此类推,我们可以看出,的最小值必定可在某一组取值的所达到,于是. 当()时, . 当为偶数时, 若取,则,所以. 当为奇数时,因为,所以, 若取,则, 所以 （2013北京丰台二模数学理科试题及答案）已知等差数列的通项公式为an=3n-2,等比数列中,.记集合 ,把集合u中的元素按从小到大依次排列,构成数列.()求数列bn的通项公式,并写出数列的前4项;()把集合中的元素从小到大依次排列构成数列,求数列的通项公式,并说明理由;()求数列的前n项和【答案】解:()设等比数列的公比为q, ,则q3=8,q=2,bn=2n-1, 数列的前4项为1,4,7,10,数列bn的前4项为1,2,4,8, 数列的前4项为1,2,4,7; ()据集合b中元素2,8,32,128a,猜测数列的通项公式为dn =22n-1. dn=b2n ,只需证明数列bn中,b2n-1a,b2na(). 证明如下: b2n+1-b2n-1=22n-22n-2=4n-4n-1