北京市高考数学 二模试题解析分类汇编系列六 14 导数 文.doc

【解析分类汇编系列六：北京2013（二模）数学文】14：导数一、填空题 （2013北京昌平二模数学文科试题及答案）对于三次函数,给出定义:设是函数的导数,是函数的导数,若方程有实数解为函数的“拐点”.某同学经过探究发现:任何一个三次函数都有“拐点”;任何一个三次函数都有对称中心,且“拐点”就是对称中心.给定函数,请你根据上面探究结果,解答以下问题:函数的对称中心坐标为_;计算=_.，由，解得。，所以函数的拐点为，所以该函数的对称中心为。所以有，所以，所以。 （2013北京房山二模数学文科试题及答案）对于三次函数,给出定义:设是函数的导数,是的导数,若方程有实数解,则称点为函数的“拐点”.某同学经过探究发现:任何一个三次函数都有“拐点”;任何一个三次函数都有对称中心,且拐点就是对称中心.若,则该函数的对称中心为_,计算_. ，由，解得。，所以函数的拐点为，所以该函数的对称中心为。所以有，所以，所以。二、解答题 （2013北京顺义二模数学文科试题及答案）已知函数,其中为正实数,是的一个极值点.()求的值;()当时,求函数在上的最小值.解: ()因为是函数的一个极值点,所以 因此,解得 经检验,当时,是的一个极值点,故所求的值为 ()由()可知, 令,得 与的变化情况如下:+0-0+所以,的单调递增区间是 单调递减区间是 当时,在上单调递减,在上单调递增 所以在上的最小值为 当时,在上单调递增, 所以在上的最小值为 （2013北京顺义二模数学文科试题及答案）已知函数,其中为常数,函数的图象与坐标轴交点处的切线为,函数的图象与直线交点处的切线为,且.()若对任意的,不等式成立,求实数的取值范围.()对于函数和公共定义域内的任意实数.我们把 的值称为两函数在处的偏差.求证:函数和在其公共定义域的所有偏差都大于2.解()函数的图象与坐标轴的交点为, 又 函数的图象与直线的交点为, 又 由题意可知,又,所以 不等式可化为 即 令,则, 又时, 故在上是减函数,即在上是减函数 因此,在对任意的,不等式成立, 只需 所以实数的取值范围是 ()证明:和的公共定义域为,由()可知, 令,则,在上是增函数 故,即 令,则, 当时,;当时, 有最大值,因此 由得,即 又由得 由得 故函数和在其公共定义域的所有偏差都大于2 （2013北京海淀二模数学文科试题及答案）已知函数. (1)当时,若曲线在点处的切线与曲线在点处的切线平行,求实数的值;(ii)若,都有,求实数的取值范围.解:(i)当因为, 若函数在点处的切线与函数在点处的切线平行, 所以,解得 此时在点处的切线为 在点 处的切线为 所以 (ii)若,都有 记, 只要在上的最小值大于等于0 则随的变化情况如下表:0极大值 当时,函数在上单调递减,为最小值 所以,得 所以 当时,函数在上单调递减,在上单调递增 , 为最小值,所以,得 所以 综上, （2013北京房山二模数学文科试题及答案）已知函数在处取得极值.()求的值; ()求函数在上的最小值;()求证:对任意,都有. () 由已知得即 解得: 当时,在处函数取得极小值,所以 (), .-0+减增所以函数在递减,在递增 当时,在单调递增, 当时, 在单调递减,在单调递增,. 当时, 在单调递减, 综上 在上的最小值 ()由()知, . 令 得 因为 所以 所以,对任意,都有 （2013北京朝阳二模数学文科试题）已知函数,().()求函数的单调区间;()求证:当时,对于任意,总有成立.解:()函数的定义域为,. 当时, 当变化时,的变化情况如下表:00当时, 当变化时,的变化情况如下表:00综上所述, 当时,的单调递增区间为,单调递减区间为,; 当时,的单调递增区间为,单调递减区间为. ()由()可知,当时, 在上单调递增,;在上单调递减,且. 所以时,. 因为,所以,令,得. 当时,由,得;由,得, 所以函数在上单调递增,在上单调递减. 所以. 因为, 所以对于任意,总有. 当时,在上恒成立, 所以函数在上单调递增,. 所以对于任意,仍有. 综上所述,对于任意,总有 （2013北京丰台二模数学文科试题及答案）已知函数 .()若直线与曲线相切,切点是p(2,0),求直线的方程; ()讨论的单调性.解:()p(2,0)在函数f(x)的图象上,f(2)=0 ,即, f(x)=, , 直线l的方程为y=x-2,即x-y-2=0 ()的定义域为, , 由得, 当时,在(0,+)上恒成立,当且仅当x=1时, 的单调递增区间是(0,+); 当a=0时, 的单调递增区间是(1,+),的单调递减区间是(0,1); 当时, 的单调递增区间是(0,a)和(1,+),的单调递减区间是(a,1); 当时, 的单调递增区间是(0,1)和(a,+),的单调递减区间是(1,a). （2013北京昌平二模数学文科试题及答案）已知函数()若在处的切线与直线平行,求的单调区间;()求在区间上的最小值.解:(i)的定义域为 由在处的切线与直线平行,则 此时令 与的情况如下:()10+所以,的单调递减区间是(),单调递增区间是 (ii)由 由及定义域为,令 若在上,在上单调递增,; 若在上,单调递减;在上,单调递增,因此在上,; 若在上,在上单调递减, 综上,当时,当时,当时, （2013北京东城高三二模数学文科）已知函数.()求的单调区间;()如果是曲线上的点,且,若以 为切点的切线的斜率恒成立,求实数的最小值. (共14分) 解:() ,定义域为, 则. 因为,由得, 由得, 所以的单调递增区间为 ,单调递减区间为. ()由题意,以为切点的切线的斜率满足 , 所以对恒成立. 又当时, , 所以的最小值为 （2013北京西城高三二模数学文科）已知函数,其中.()若,求曲线在点处的切线方程;()求在区间上的最小值. ()解:的定义域为, 且 当时, 所以曲线在点处的切线方程为 , 即 ()解:方程的判别式, 令 ,得 ,或 和的情况如下: 故的单调增区间为,;单调减区间为. 当时,此时在区