北京市东城区高三数学第二次月考试题北师大版.doc

北京市东城区2014届高三（上）第二次月考数学试卷参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1已知圆的直角坐标方程为x2+y22y=0在以原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，该圆的方程为（）a=2cosb=2sinc=2cosd=2sin答案：b2若集合a0，m2，b=1，2，则“m=1”是“ab=0，1，2”的（）a充要条件b充分不必要条件c必要不充分条件d既不充分又不必要条件答案：b3下列函数中，与函数y=x相同的函数是（）ay=by=cy=lg10xdy=2log2x答案：c4下列函数中，在区间（0，+）上是增函数的是（）ay=x2by=x22cy=dy=log2答案：b5和直线3x4y+5=0关于x轴对称的直线的方程为（）a3x+4y5=0b3x+4y+5=0c3x+4y5=0d3x+4y+5=0解答：解：和直线3x4y+5=0关于x轴对称的直线，其斜率与直线3x4y+5=0的斜率相反，设所求直线为3x+4y+b=0，两直线在x轴截距相等，所以所求直线是3x+4y+5=0故选b6实数+lg4+2lg5的值为（）a2b5c10d20答案：d7若函数f（x）=logax（0a1）在区间a，2a上的最大值是最小值的3倍，则a等于（）abcd答案：a8已知函数则“2a0”是“f（x）在r上单调递增”的（）a充分而不必要条件b必要而不充分条件c充分必要条件d既不充分也不必要条件解答：解：函数f（x）=x2+ax+1在1，+）上单调递增则a2函数f（x）=ax2+x+1在（，1）上单调递增则a0而函数在r上单调递增则a0a02a0“2a0”是“f（x）在r上单调递增”的必要而不充分条件故选：b9双曲线=1的渐近线与圆x2+（y2）2=1相切，则双曲线离心率为（）abc2d3解答：解：双曲线=1（a0，b0）的渐近线为bxay=0，依题意，直线bxay=0与圆x2+（y2）2=1相切，设圆心（0，2）到直线bxay=0的距离为d，则d=1，双曲线离心率e=2故选c10已知函数，若方程f（x）=x+a有且只有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（）a（，1b（0，1）c0，+）d（，1）解答：解：函数的图象如图所示，当a1时，函数y=f（x）的图象与函数y=x+a的图象有两个交点，即方程f（x）=x+a有且只有两个不相等的实数根故选：d二、填空题（本大题共7小题，每小题5分，共35分）11函数的定义域为（，112（5分）若点在幂函数y=f（x）的图象上，则f（x）=13（5分）已知f（x）=2x3+ax2+b1是奇函数，则ab=1解答：解：f（x）是r上的奇函数，f（0）=0，得b1=0，解得b=1f（x）=2x3+ax2又f（x）+f（x）=0，2x3+ax2+2x3+ax2=0，化为ax2=0，对于任意实数r都成立a=0ab=1故答案为114已知，如果f（x0）=3，那么x0=解答：解：f（x）=，若x00，f（x0）=3，x0=；同理若x00，f（x0）=x0+1=3，x0=2故答案为：2，15（5分）（坐标系与参数方程选做题）参数方程（为参数）表示的图形上的点到直线 y=x的最短距离为16经过点m（2，1），并且与圆x2+y26x8y+24=0相切的直线方程是x=2或4x3y5=0解答：解：圆x2+y26x8y+24=0化为标准方程为（x3）2+（y4）2=1，圆心（3，4），半径r=1当斜率不存在时，x=2是圆的切线，满足题意；斜率存在时，设方程为y1=k（x2），即kxy+12k=0由圆心到直线距离d=r，可得=1k=，直线方程为4x3y5=0综上，所求切线方程为x=2或4x3y5=0故答案为：x=2或4x3y5=017如图，已知椭圆的左顶点为a，左焦点为f，上顶点为b，若bao+bfo=90，则该椭圆的离心率是解答：解：设椭圆的右焦点为f，由题意得 a（a，0）、b（0，b），f（c，0），bao+bfo=90，且bfo=bfo，bao+bfo=90，=0，（a，b）（c，b）=acb2=aca2+c2=0，e1+e2=0，解得 e=，故答案为：三、解答题（本大题共6小题，共75分）18（10分）定义在r上的奇函数f（x），当x0时，f（x）=x2x1（）求f（x）的解析式；（）写出函数f（x）的单调区间（不用证明）解答：解：（）设x0，则x0，由题意可得 f（x）=（x）2（x）1=f（x），f（x）=x2x+1再由f（0）=0，可得 f（x）=（）结合函数f（x）的图象可得函数f（x）的单调增区间为：（，）、（，+），减区间为 （，0）、（0，）19（13分）已知函数f（x）=lg（1+x）+lg（1x）（）求函数f（x）的定义域；（）判断函数f（x）的奇偶性；（）判断f（x）在（0，1）内的单调性并证明解答：解：（1）由函数的解析式可得 ，解得1x1，故函数的定义域为（1，1）（2）由于函数的定义域关于原点对称，且f（x）=lg（1x）+lg（1+x）=f（x），故函数为偶函数（3）由于函数f（x）=lg（1+x）+lg（1x）=lg（1x2），可得函数f（x）在（0，1）内的单调递减证明：当 0x1时，令t=1x2，则t=2x0，故函数t在（0，1）内的单调递减，再结合复合函数的单调性可得f（x）在（0，1）内的单调递减20（13分）已知f（x）=4x2+4ax4aa2在区间0，1内有最大值5，求a的值及函数表达式f（x）解答：解f（x）=44a，此抛物线顶点为当1，即a2时，f（x）取最大值4a2令4a2=5，得a2=1，a=12（舍去）当01，即0a2时，x=时，f（x）取最大值为4a、令4a=5，得a=（0，2）当0，即a0时，f（x）在0，1内递减，x=0时，f（x）取最大值为4aa2，令4aa2=5，得a2+4a25=0，解得a=5，或a=1，其中5（，0综上所述，a=或a=5时，f（x）在0，1内有最大值5f（x）=4x2+5x或f（x）=4x220x521（13分）m为何值时，直线2xy+m=0与圆x2+y2=5（）无公共点；（）截得的弦长为2；（）交点处两条半径互相垂直解答：解：由圆方程得：圆心（0，0），半径r=，圆心到直线2xy+m=0的距离d=，（）若直线与圆无公共点，则有dr，即，解得：m5或m5；（）根据题意得：2=2，即5=1，解得：m=2；（）根据题意得：弦长的平方等于2r2，即（2）2=2r2，4（5）=10，解得：m=22（13分）已知f（x）=2+log3x，x1，9，求y=f（x）2+f（x2）的最大值及y取最大值时x的值解答：解：f（x）=2+log3x，x1，9，y=f（x）2+f（x2）=（2+log3x）2+（2+log3x2）=（log3x）2+6log3x+6，令t=log3x由题意可得即1x3，则t0，1y=t2+6t+6=（t+3）23在0，1上单调递增当t=1即x=3时，函数有最大值，ymax=1323（13分）已知椭圆的右焦点为f（1，0），m为椭圆的上顶点，o为坐标原点，且omf是等腰直角三角形（）求椭圆的方程；（）是否存在直线l交椭圆于p，q两点，且使点f为pqm的垂心（垂心：三角形三边高线的交点）？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由解答：解：（）由omf是等腰直角三角形，得b=1，a=b=，故椭圆方程为 （5分）（）假设存在直线l交椭圆于p，q两点，且使点f为pqm的垂心，设p（x1，y1），q（x2，y2），因为m（0，1），f（1，0），所以kpq=1 （7分）于是设直线l的方程为y=x+m，代入椭圆方程，消元可得3x