北京市高三数学一轮复习 专题突破训练 导数及其应用 文.doc

北京市2016届高三数学文一轮复习专题突破训练导数及其应用1、（2015年北京高考）设函数，（）求的单调区间和极值；（）证明：若存在零点，则在区间上仅有一个零点2、（2014年北京高考）已知函数.（）求在区间上的最大值；（）若过点存在3条直线与曲线相切，求t的取值范围；（）问过点分别存在几条直线与曲线相切？（只需写出结论）3、（2013年北京高考）已知函数f(x)x2xsin xcos x.(1)若曲线yf(x)在点(a，f(a)处与直线yb相切，求a与b的值；(2)若曲线yf(x)与直线yb有两个不同交点，求b的取值范围4、（昌平区2015届高三上期末）已知函数（i）求函数的最大值；（）设 其中，证明: 1.5、（朝阳区2015届高三一模）已知函数，（）当时，求曲线在点处的切线方程；（）当时，求证：在上为增函数；（）若在区间上有且只有一个极值点，求的取值范围6、（东城区2015届高三二模）已知函数 ,，（，为常数）（）若在处的切线过点，求的值；（）设函数的导函数为，若关于的方程有唯一解，求实数的取值范围；（）令，若函数存在极值，且所有极值之和大于，求实数的取值范围7、（房山区2015届高三一模）已知函数，是常数，r（）求曲线在点处的切线的方程；（）求函数的单调区间；（iii）证明:函数的图象在直线的下方8、（丰台区2015届高三一模）已知函数.（）当时，求曲线在点处的切线方程；（）如果函数在上单调递减，求的取值范围；（）当时，讨论函数零点的个数9、（丰台区2015届高三二模）已知函数 （）求的单调区间；（）证明：，；（）写出集合（b为常数且）中元素的个数（只需写出结论）10、（海淀区2015届高三一模）已知函数. （）求函数的单调区间；（）若存在两条直线，都是曲线的切线，求实数的取值范围；（）若，求实数的取值范围.11、（海淀区2015届高三二模）已知函数，其中.（）求的单调区间；（）若对任意的，总存在，使得，求实数值.12、（石景山区2015届高三一模）已知函数.（）若函数在定义域内单调递增，求实数a的取值范围；（）若，且关于x的方程在上恰有两个不等的实根，求实数b的取值范围；（）设各项为正数的数列满足，求证：.13、（西城区2015届高三二模）已知函数，其中.（）当时，求函数的图象在点处的切线方程；（）当时，证明：存在实数，使得对任意的，都有成立；（）当时，是否存在实数，使得关于的方程仅有负实数解？当时的情形又如何？(只需写出结论)14、已知函数是常数（）求函数的图象在点处的切线的方程；（）证明函数的图象在直线的下方； （）若函数有零点，求实数的取值范围 15、已知函数.（）若求函数上的最大值；（）若对任意，有恒成立，求的取值范围.参考答案1、所以，的单调递减区间是，单调递增区间是；在处取得极小值.（）由（）知，在区间上的最小值为.因为存在零点，所以，从而.当时，在区间上单调递减，且，所以是在区间上的唯一零点.当时，在区间上单调递减，且，所以在区间上仅有一个零点.综上可知，若存在零点，则在区间上仅有一个零点. 2、解：（） 由得.令，得或.因为， 所以 在区间上的最大值为 .（） 设过点的直线与曲线相切于点 则且切线斜率为 所以切线方程为，因此 .整理得.设 则“过点存在3条直线与曲线相切”等价于“有3个不同零点”.与的情况如下：0100 所以，是的极大值，是的极小值当，即时，此时在区间和上分别至多有1个零点，所以 至多有2个零点当，即时，此时在区间和上分别至多有1个零点，所以 至多有2个零点当且，即时，因为，所以 分别在区间，和上恰有个零点.由于在区间和上单调，所以分别在区间和上恰有1个零点.综上可知，当过点存在条直线与曲线相切时，的取值范围是 .（） 过点 存在条直线与曲线相切；过点 存在条直线与曲线相切；过点 存在条直线与曲线相切.：3、解：由f(x)x2xsin xcos x，得f(x)x(2cos x)(1)因为曲线yf(x)在点(a，f(a)处与直线yb相切，所以f(a)a(2cos a)0，bf(a)解得a0，bf(0)1.(2)令f (x)0，得x0.f(x)与f(x)的情况如下：x(，0)0(0，)f(x)0f(x)1所以函数f(x)在区间(，0)上单调递减，在区间(0，)上单调递增，f(0)1是f(x)的最小值当b1时，曲线yf(x)与直线yb最多只有一个交点；当b1时，f(2b)f(2b)4b22b14b2b1b，f(0)11时，曲线yf(x)与直线yb有且仅有两个不同交点综上可知，如果曲线yf(x)与直线yb有两个不同交点，那么b的取值范围是(1，)4、解：（） 2分 当时，f(x)0，f(x)单调递增； 4分 当时，f(x)0，f(x)单调递减 6分 00极大值所以f(x)的最大值为f(0)07分（）由（）知，当时，9分当时，等价于 设，则当时，则从而当时，在单调递减12分当时，即，故g(x)1综上，总有g(x)1 14分5、解：函数定义域为，.（）当时，.所以.所以曲线在点处的切线方程是，即. 3分（） 当时，.设，则.令得，或，注意到，所以.令得，注意到，得.所以函数在上是减函数，在上是增函数.所以函数在时取得最小值，且.所以在上恒大于零.于是，当，恒成立.所以当时，函数在上为增函数. 7分（）问另一方法提示：当时，.由于在上成立，即可证明函数在上为增函数.（）（）. 设，.(1) 当时，在上恒成立，即函数在上为增函数.而，则函数在区间上有且只有一个零点，使,且在上，在上，故为函数在区间上唯一的极小值点;（2）当时，当时，成立，函数在区间上为增函数，又此时，所以函数在区间恒成立，即，故函数在区间为单调递增函数，所以在区间上无极值；（3）当时，.当时，总有成立，即成立，故函数在区间上为单调递增函数，所以在区间上无极值.综上所述. 13分6、解：（）设在处的切线方程为，因为，所以，故切线方程为.当时，将 代入，得 3分（），由题意得方程有唯一解，即方程有唯一解令，则， 所以在区间上是增函数，在区间上是减函数.又，故实数的取值范围是 8分（） 所以.因为存在极值，所以在上有根，即方程在上有根，则有.显然当时，无极值，不合题意；所以方程必有两个不等正根记方程的两根为，则 ,解得，满足.又，即，故所求的取值范围是 14分7、解：（） 2分，所以切线的方程为，即 4分（）定义域为（1）当时，在为增函数（2）当时，令得，或当时，在为增函数当时，在上是增数，在是减函数 9分（）令则最大值，所以且，即函数的图像在直线的下方 13分8、解：（）当时，所以，所以切线方程为 3分（）因为在上单调递减，等价于在恒成立， 变形得 恒成立，而（当且仅当，即时，等号成立） 所以 8分（）令，得极小值所以= （）当时，所以在定义域内无零点；（）当时，所以在定义域内有唯一的零点；（）当时， 因为，所以在增区间内有唯一零点； ，设，则，因为，所以，即在上单调递增，所以，即，所以在减区间内有唯一的零点所以时在定义域内有两个零点综上所述：当时，在定义域内无零点；当时，在定义域内有唯一的零点；当时，在定义域内有两个零点 13分（若用其他方法解题，请酌情给分）9、解：（） 令，则， +-+极大极小所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为 , 4分 （）证明：由（）知的单调递增区间为，单调递减区间为，所以当时， 因为当时，所以当时， 所以-所以对，都有- 10分（）当时，集合的元素个数为0；当或时，集合的元素个数为1；当时，集合的元素个数为2；当时，集合的元素个数为3 13分10、解：（）. 1分 当时，则函数的单调递减区间是. 2分当时，令，得. 当变化时，的变化情况如下：极小值所以 的单调递减区间是，单调递增区间是. 4分（）因为 存在两条直线，都是曲线的切线，所以 至少有两个不等的正实根. 5分令得，记其两个实根分别为.则 解得. 7分当时，曲线在点处的切线分别为，.令.由得（不妨设），且当时，即在上是单调函数.所以 .所以 ，是曲线的两条不同的切线.所以 实数的取值范围为. 9分（）当时，函数是内的减函数.因为 ，而，不符合题意. 11分当时，由（）知：的最小值是.（）若，即时，所以，符合题意.（）若，即时，.所以，符合题意.（）若，即时，有.因为 ，函数在内是增函数，所以 当时，.又因为 函数的定义域为，所以 .所以 符合题意.综上所述，实数的取值范围为. 14分11、解：（） 2分当时，对，所以 的单调递减区间为；4分当时，令，得.因为 时，；时，.所以 的单调递增区间为，单调递减区间为. 6分（）用分别表示函数在上的最大值，最小值.当且时，由（）知：在上，是减函数. 所以 .因为 对任意的， ，所以对任意的，不存在，使得. 8分当时，由（）知：在上，是增函数，在上，是减函数.所以 .因为 对，所以 对，不存在，使得. 10分当时，令.由（）知：在上，是增函数，进而知是减函数. 所以 ,，. 因为 对任意的，总存在，使得，即，所以 即 所以 ，解得. 13分综上所述，实数的值为.12、（）函数的定义域为， 2分依题意在时恒成立，则在时恒成立，当时，取最小值，. 4分（）已知条件等价于方程在上有两个不同的实根，设，时，时， 6分由，得则 8分（）先证：当时，.令，可证时单调递增，时单调递减，时.所以时，. 9分用以上结论，由可得.，故 10分所以当时，相乘得. 12分又故，即. 13分【注：若有其它解法，请酌情给分】13、（）解：当时，函数， 求导，得， 2分 因为， 3分 所以函数的图象在点处的切线方程为.4分（）证明：当时，的定义域为. 求导，得， 5分 令，解得， 6分 当变化时，与的变化情况如下表：+00+ 8分 所以函数在，上单调递增，在上单调递减. 又因为，当时，；当时， 所以当时，；当时，. 记，其中为两数， 中最大的数， 综上，当时，存在实数，使得对任意的实数，不等式 恒成立. 10分（）解：当与时，不存在实数，使得关于实数的方程仅 有负实数解. 1