北京市一五六中高三数学上学期期中试卷 文（含解析）.doc

北京一五六中2015届高三上学期期中数学试卷（文科） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1（5分）已知函数的定义域为m，g（x）=ln（1+x）的定义域为n，则mn=（）ax|x1bx|x1cx|1x1d2（5分）已知直线l1：2xmy+1=0与l2：x+（m1）y1=0，则“m=2”是“l1l2”的（）a充分不必要条件b必要不充分条件c充分且必要条件d既不充分又不必要条件3（5分）已知m、n为两条不同直线，、为两个不同平面，则下列命题中正确的是（）amn，mnb，m，nmncm，mnndm，n，m，n4（5分）如果方程x2+=2表示焦点在x轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是（）a（0，2）b（1，+）c（0，1）d（1，2）5（5分）已知平面向量，满足|=1，|=2，且（），则与的夹角是（）abcd6（5分）函数f（x）=12sin2（x）是（）a最小正周期为的偶函数b最小正周期为的奇函数c最小正周期为的偶函数d最小正周期为的奇函数7（5分）点p（2，t）在不等式组表示的平面区域内，则点p（2，t）到直线3x+4y+10=0距离的最大值为（）a2b4c6d88（5分）对于函数f（x），若存在区间m=a，b，（ab），使得y|y=f（x），xm=m，则称区间m为函数f（x）的一个“稳定区间”下列所给出的函数中不存在“稳定区间”的是（）af（x）=exbf（x）=x2cf（x）=cosxdf（x）=x二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9（5分）i是虚数单位，若，则乘积ab的值是10（5分）以点（1，2）为圆心且与直线x+y3=0相切的圆的方程是11（5分）已知函数，则曲线y=f（x）在点（1，f（1）处得切线方程为12（5分）某几何体的三视图如图所示，则它的体积是13（5分）在锐角abc中，角a，b，c的对边分别是a，b，c若a=4，b=5，abc的面积为则c=； sina=14（5分）2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为，那么cos2的值等于三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15（13分）已知在等比数列an中，a1=1，且a2是a1和a31的等差中项（）求数列an的通项公式；（）若数列bn满足bn=2n1+an（nn*），求bn的前n项和sn16（13分）函数f=（x）=asin（x+）（a0，0，|）部分图象如图所示（1）求的最小周期及解析式（2）设g（x）=f（x）2cos2x，求函数g（x）在区间0，上的最大值和最小值17（13分）在四棱锥eabcd中，底面abcd是正方形，ac与bd交于点o，ec底面abcd，f为be的中点（）求证：de平面acf；（）求证：bdae；（）若ab=ce，在线段eo上是否存在点g，使cg平面bde？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由18（14分）已知函数（）若x=1时，f（x）取得极值，求a的值；（）求f（x）在0，1上的最小值；（）若对任意mr，直线y=x+m都不是曲线y=f（x）的切线，求a的取值范围19（14分）已知椭圆的中心在坐标原点o，长轴长为，离心率，过右焦点f的直线l交椭圆于p，q两点（1）求椭圆的方程；（2）当直线l的斜率为1时，求poq的面积；（3）若以op，oq为邻边的平行四边形是矩形，求满足该条件的直线l的方程20（13分）设集合w由满足下列两个条件的数列an构成：；存在实数m，使anm（ n为正整数）（）在只有5项的有限数列an、bn中，其中a1=1，a2=2，a3=3，a4=4，a5=5；b1=1，b2=4，b3=5，b4=4，b5=1，试判断数列an、bn是否为集合w中的元素；（）设cn是等差数列，sn是其前n项和，c3=4，s3=18，证明数列snw；并写出m的取值范围；（）设数列dnw，且对满足条件的常数m，存在正整数k，使dk=m求证：dk+1dk+2dk+3北京一五六中2015届高三上学期期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1（5分）已知函数的定义域为m，g（x）=ln（1+x）的定义域为n，则mn=（）ax|x1bx|x1cx|1x1d考点：交集及其运算；函数的定义域及其求法 分析：根据题目中使函数有意义的x的值求得函数的定义域m和n，再求它们的交集即可解答：解：函数的定义域是指使函数式有意义的自变量x的取值范围，由1x0求得函数的定义域m=x|x1，和由1+x0 得，n=x|x1，它们的交集mn=x|1x1故选c点评：本题属于以函数的定义为平台，求集合的交集的基础题，也是2015届高考常会考的题型2（5分）已知直线l1：2xmy+1=0与l2：x+（m1）y1=0，则“m=2”是“l1l2”的（）a充分不必要条件b必要不充分条件c充分且必要条件d既不充分又不必要条件考点：直线的一般式方程与直线的垂直关系 分析：先证明充分性是否成立，即由m=2能否推出 l1l2；再证必要性是否成立，即由l1l2 能否推出 m=2，从而做出结论解答：解：当 m=2时，直线l1：2x2y+1=0，l2：x+y1=0，两直线的斜率之积等于1，故l1l2，充分性成立当l1l2时，m10，m0，由斜率之积的等于1得：=1，m=2 或 m=1，故不能由l1l2 推出 m=2，故必要性不成立综上，“m=2”是“l1l2”的充分不必要条件，故选 a点评：本题考查充分条件、必要条件的定义，两直线垂直的条件和性质3（5分）已知m、n为两条不同直线，、为两个不同平面，则下列命题中正确的是（）amn，mnb，m，nmncm，mnndm，n，m，n考点：命题的真假判断与应用 专题：证明题分析：由线面垂直的几何特征，及线面垂直的第二判定定理，可判断a的真假；根据面面平行的几何特征及线线位置关系的定义，可判断b的真假；根据线面垂直及线线垂直的几何特征，及线面平行的判定方法，可判断c的真假；根据面面平行的判定定理，可以判断d的真假解答：解：若mn，m根据线面垂直的第二判定定理可得n，故a正确；若，m，n，则mn或m，n异面，故b错误；若m，mn，则n或n，故c错误；由m，n，m，n，若a，b相交，则可得，若ab，则与可能平行也可能相交，故d错误；故选a点评：本题以命题的真假判定为载体考查了空间线面关系的判定，熟练掌握空间线面位置关系的判定，性质及几何特征是解答的关键4（5分）如果方程x2+=2表示焦点在x轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是（）a（0，2）b（1，+）c（0，1）d（1，2）考点：椭圆的简单性质 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：方程x2+=2即为+=1，由题意可得02k2，解出即可解答：解：方程x2+=2即为+=1，表示焦点在x轴上的椭圆，即有02k2，即0k1故选：c点评：熟练掌握椭圆的标准方程及其性质是解题的关键5（5分）已知平面向量，满足|=1，|=2，且（），则与的夹角是（）abcd考点：平面向量数量积的运算 专题：平面向量及应用分析：先由（），得到=1，再根据向量的夹角公式，计算可得解答：解：设向量则与的夹角为，0，（），（）=0，即（）2+=0，=1，cos=，=，故选：b点评：本题考查平面向量数量积的运算、夹角公式，属基础题6（5分）函数f（x）=12sin2（x）是（）a最小正周期为的偶函数b最小正周期为的奇函数c最小正周期为的偶函数d最小正周期为的奇函数考点：三角函数的周期性及其求法；二倍角的余弦；余弦函数的奇偶性 专题：计算题；综合题分析：化简函数是用一个角的一个三角函数的形式表示，然后求出周期，判断奇偶性解答：解：函数=所以函数是最小正周期为的奇函数故选b点评：本题考查三角函数的周期性及其求法，二倍角的余弦，正弦函数的奇偶性，是基础题7（5分）点p（2，t）在不等式组表示的平面区域内，则点p（2，t）到直线3x+4y+10=0距离的最大值为（）a2b4c6d8考点：简单线性规划 专题：计算题；作图题分析：作出不等式组表示的平面区域与x=2的直线，由图形判断出其上到直线3x+4y+10=0距离的最大的点的位置求出其坐标算出最大值即可解答：解：先作出不等式组表示的平面区域与x=2的直线如图由图知点p（2，t）到直线3x+4y+10=0距离最大的点的坐标是a（2，1）最大值为=4故选b点评：本题考查简单线性规划的应用，利用图形求一线上的点到另一个线的最大距离，求解此类题的关键是做出图形，由图形作出判断求出点再代入公式求最值本题易因为理解失误出错，如不理解p（2，t）即是直线x=2上的一个点8（5分）对于函数f（x），若存在区间m=a，b，（ab），使得y|y=f（x），xm=m，则称区间m为函数f（x）的一个“稳定区间”下列所给出的函数中不存在“稳定区间”的是（）af（x）=exbf（x）=x2cf（x）=cosxdf（x）=x考点：函数的值域 专题：新定义；函数的性质及应用分析：根据函数“稳定区间”的定义，即存在区间m使函数的定义域与值域均为m由此对4个函数逐一加以研究，可得对于函数f（x）=x2存在m=0，1符合题意；函数f（x）=cosx存在m=0，1符合题意；而函数f（x）=ex不存在“稳定区间”f（x）=x有很多稳定区间，解答：解：对于a，因为f（x）=ex是r上的增函数，且exx恒成立，故不存在区间m=a，b使得当xm时值域恰好是m因此可得f（x）=ex不存在稳定区间f（x）=x2，存在稳定区间0，1，函数在（0，1）上是减函数，且f（0）=cos0=1，f（1）=cos=0当区间m=0，1时，可得函数的值域为=m，可得f（x）=cosx存在稳定区间0，1，f（x）=x有很多稳定区间，故选：a点评：本题给出函数“稳定区间”的概念，要我们在几个函数中找出存在“稳定区间”函数的个数着重考查了基本初等函数的图象与性质、函数的定义域与值域等知识，属于中档题二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9（5分）i是虚数单位，若，则乘积ab的值是3考点：复数相等的充要条件 专题：计算题分析：首先进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，整理出复数的代数形式的标准形式，根据两个复数相等的充要条件，得到a，b的值，求出结果解答：解：=，a=1，b=3，ab=3，故答案为：3点评：本题考查复数的代数形式的除法运算和复数相等的充要条件，本题解题的关键是整理出复数的代数形式的标准形式，本题是一个基础题10（5分）以点（1，2）为圆心且与直线x+y3=0相切的圆的方程是（x+1）2+（y2）2=2考点：直线与圆的位置关系；圆的标准方程 专题：计算题分析：直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径，所以利用点到直线的距离公式求出圆心到已知直线的距离d，即为所求圆的半径r，然后由圆心和求出的r写出圆的标准方程即可解答：解：由所求的圆与直线x+y3=0相切，得到圆心（1，2）到直线x+y3=0的距离d=r，则所求圆的方程为：（x+1）2+（y2）2=2故答案为：（x+1）2+（y2）2=2点评：此题考查了直线与圆的位置关系，以及圆的标准方程，直线与圆位置关系判别方法为：当dr时，直线与圆相离；当d=r时，直线与圆相切；当0dr时，直线与圆相交（d为圆心到直线的距离，r为圆的半径），同时要求学生会根据圆心和半径写出圆的标准方程11（5分）已知函数，则曲线y=f（x）在点（1，f（1）处得切线方程为y=x+2考点：利用导数研究曲线上某点切线方程 专题：计算题；导数的概念及应用分析：求导数，确定切线斜率，求得切点坐标，即可得到切线方程解答：解：求导数可得，当x=1时，f（1）=1f（1）=1曲线y=f（x）在点（1，f（1）处得切线方程为y1=（x1），即y=x+2故答案为：y=x+2点评：本题考查导数的几何意义，考查学生的计算能力，属于基础题12（5分）某几何体的三视图如图所示，则它的体积是12考点：由三视图求面积、体积 专题：空间位置关系与距离分析：根据几何体的三视图，得出该几何体的结构特征是什么，从而求出它的体积解答：解：根据几何体的三视图，得；该几何体是平放的直四棱柱，该四棱柱的底面为直角梯形，梯形的上底长为2，下底长为2+2=4，高为2；四棱柱的高是2；该四棱柱的体积为v=（4+2）22=12故答案为：12点评：本题考查了空间几何体的三视图的应用问题，是基础题目13（5分）在锐角abc中，角a，b，c的对边分别是a，b，c若a=4，b=5，abc的面积为则c=； sina=考点：三角形中的几何计算 专题：计算题分析：利用三角形的面积公式求出sinc，然后求出cosc，利用余弦定理求出c的值，利用正弦定理求出sina解答：解：因为a=4，b=5，abc的面积为所以，所以sinc=，所以cosc=由余弦定理可知，c2=a2+b22abcosc=16+2520=21所以c=由正弦定理可知sina=故答案为：；点评：本题考查三角形的面积公式，正弦定理、余弦定理的应用，考查计算能力14（5分）2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为，那么cos2的值等于考点：两角和与差的余弦函数；两角和与差的正弦函数 专题：综合题；压轴题分析：根据两正方形的面积分别求出两正方形的边长，根据小正方形的边长等于直角三角形的长直角边减去短直角边，利用三角函数的定义表示出5cos5sin=1，两边平方并利用同角三角函数间的基本关系及二倍角的正弦函数公式化简可得sin2的值，然后根据的范围求出2的范围即可判断出cos2的正负，利用同角三角函数间的基本关系由sin2即可求出cos2的值解答：解：大正方形面积为25，小正方形面积为1，大正方形边长为5，小正方形的边长为15cos5sin=1，cossin=两边平方得：1sin2=，sin2=是直角三角形中较小的锐角，0cos2=故答案为：点评：此题考查学生灵活运用同角三角函数间的基本关系及二倍角的正弦函数公式化简求值，是一道中档题本题的突破点是将已知的两等式两边平方三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15（13分）已知在等比数列an中，a1=1，且a2是a1和a31的等差中项（）求数列an的通项公式；（）若数列bn满足bn=2n1+an（nn*），求bn的前n项和sn考点：数列的求和；等差数列的性质 专题：计算题分析：（i）设等比数列an的公比为q，由a2是a1和a31的等差中项，a1=1，知2a2=a1+（a31）=a3，由此能求出数列an的通项公式（）由bn=2n1+an，知（2n1+2n1）=1+3+5+（2n1）+（1+2+22+2n1），由等差数列和等比数列的求和公式能求出sn解答：解：（i）设等比数列an的公比为q，a2是a1和a31的等差中项，a1=1，2a2=a1+（a31）=a3，=2，=2n1，（nn*）（）bn=2n1+an，（2n1+2n1）=1+3+5+（2n1）+（1+2+22+2n1）=+=n2+2n1点评：本题考查等差数列的通项公式的求法和数列求和的应用，解题时要认真审题，仔细解答，熟练掌握等差数列和等比数列的通项公式和前n项和公式的灵活运用16（13分）函数f=（x）=asin（x+）（a0，0，|）部分图象如图所示（1）求的最小周期及解析式（2）设g（x）=f（x）2cos2x，求函数g（x）在区间0，上的最大值和最小值考点：由y=asin（x+）的部分图象确定其解析式；两角和与差的正弦函数 专题：计算题；三角函数的图像与性质分析：（1）利用函数的图象，求出a，t，然后求出，利用f（）=2，求出，即可求出函数的解析式（2）通过g（x）=f（x）2cos2x，利用两角和与差的三角函数化简函数为一个角的一个三角函数的形式，通过0，求出相位的范围，然后求出函数的最大值和最小值解答：解：（1）由图可得a=2，所以t=因为所以=2 （2分）当时，f（x）=2，可得 ，因为，所以 （4分）所以f（x）的解析式为 （5分）（2）=（8分）= （10分）因为，所以当，即x=时，函数g（x）有最大值，最大值为：2 （12分）当，即x=0时，函数g（x）有最小值，最小值为1（13分）点评：本题考查三角函数的解析式的求法，两角和与差的三角函数应用，正弦函数的单调性，考查计算能力17（13分）在四棱锥eabcd中，底面abcd是正方形，ac与bd交于点o，ec底面abcd，f为be的中点（）求证：de平面acf；（）求证：bdae；（）若ab=ce，在线段eo上是否存在点g，使cg平面bde？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由考点：直线与平面垂直的性质；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定 专题：空间位置关系与距离分析：（）利用线面平行的判定定理证明de平面acf；（）利用线面垂直的判定定理先证明bd平面ace，然后利用线面垂直的性质证明bdae；（）利用线面垂直的性质，先假设cg平面bde，然后利用线面垂直的性质，确定g的位置即可解答：解：（i）连接of由abcd是正方形可知，点o为bd中点又f为be的中点，所以ofde又of面acf，de面acf，所以de平面acf（4分）（ii） 证明：由ec底面abcd，bd底面abcd，ecbd，由abcd是正方形可知，acbd，又acec=c，ac、e平面ace，bd平面ace，又ae平面ace，bdae（9分）（iii）：在线段eo上存在点g，使cg平面bde理由如下：取eo中点g，连接cg，在四棱锥eabcd中，ab=ce，co=ab=ce，cgeo由（）可知，bd平面ace，而bd平面bde，平面ace平面bde，且平面ace平面bde=eo，cgeo，cg平面ace，cg平面bde故在线段eo上存在点g，使cg平面bde由g为eo中点，得（14分）点评：本题主要考查了空间直线和平面垂直的判定定理和性质定理的应用，要求熟练掌握相应的定理，综合性较强，难度较大18（14分）已知函数（）若x=1时，f（x）取得极值，求a的值；（）求f（x）在0，1上的最小值；（）若对任意mr，直线y=x+m都不是曲线y=f（x）的切线，求a的取值范围考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的极值 专题：导数的概念及应用分析：（）由已知当x=1时，f（x）取得极值，所以必有f（1）=0，据此可求出a的值，再验证a的值是否满足取得的极值条件即可（）先对函数f（x）求导得f（x），需要对a进行分类讨论，看其在区间（0，1）或其子区间上f（x）与0进行比较，可得到其单调性，进而求出其最小值（）因为mr，直线y=x+m都不是曲线y=f（x）的切线，所以f（x）=x2a1对xr成立，进而求出a的取值范围即可解答：解：（i）f（x）=x2a，当x=1时，f（x）取得极值，f（1）=1a=0，a=1又当x（1，1）时，f（x）0，x（1，+）时，f（x）0，f（x）在x=1处取得极小值，即a=1符合题意 （ii） 当a0时，f（x）0对x（0，1成立，f（x）在（0，1上单调递增，f（x）在x=0处取最小值f（0）=1当a0时，令f（x）=x2a=0，当0a1时，当时，f（x）0，f（x）单调递减，时，f（x）0，f（x）单调递增所以f（x）在处取得最小值当a1时，x（0，1）时，f（x）0，f（x）单调递减所以f（x）在x=1处取得最小值综上所述：当a0时，f（x）在x=0处取最小值f（0）=1当0a1时，f（x）在处取得最小值当a1时，f（x）在x=1处取得最小值（iii）因为mr，直线y=x+m都不是曲线y=f（x）的切线，所以f（x）=x2a1对xr成立，只要f（x）=x2a的最小值大于1即可，而f（x）=x2a的最小值为f（0）=a所以a1，即a1点评：深刻理解导数的几何意义及熟练利用导数求极值、最值是解题的关键分类讨论思想和转化思想是解题常用的思想方法，应熟练掌握19（14分）已知椭圆的中心在坐标原点o，长轴长为，离心率，过右焦点f的直线l交椭圆于p，q两点（1）求椭圆的方程；（2）当直线l的斜率为1时，求poq的面积；（3）若以op，oq为邻边的平行四边形是矩形，求满足该条件的直线l的方程考点：直线与圆锥曲线的综合问题；直线的一般式方程；椭圆的标准方程 专题：综合题分析：（1）由已知，设出椭圆的方程，分析可得椭圆长轴长为，离心率，可得a、c的值，进而可得b的值，代入所设的椭圆方程即可得答案；（2）根据题意，设p（x1，y1），q（x2，y2），联立两者方程即，可得3y2+2y1=0，解得；由三角形面积公式，计算可得答案；（3）根据题意，分情况讨论，当直线l与x轴垂直时，易得其不合题意，当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y=k（x1）联立，可得（1+2k2）x24k2x+2k22=0；表示出两根之和、之积；又由y1=k（x11），y2=k（x21）；可得根据矩形的性质，结合向量的数量积的运算，可得k2=2，可得k的值，进而可得直线的方程解答：解：（1）由已知，椭圆方程可设为长轴长为，离心率，所求椭圆方程为（2）因为直线l过椭圆右焦点f（1，0），且斜率为1，所以直线l的方程为y=x1设p（x1，y1），q（x2，y2），由得3y2+2y1=0，解得（3）当直线l与x轴垂直时，直线l的方程为x=1，此时poq小于90，op，oq为邻边的平行四边形不可能是矩形当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y=k（x1）由可得（1+2k2）x24k2x+2k22=0y1=k（x11），y2=k（x21）因为以op，oq为邻边的平行四边形是矩形由得k2=2，所求直线的方程为点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题直线与圆锥曲线的综合问题是支撑圆锥曲线知识体系的重点内容，问题的解决具有入口宽、方法灵活多样等，