北京市一五六中高三数学上学期期中试卷 理（含解析）.doc

北京一五六中2015届高三上学期期中数学 试卷（理科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分1（5分）设集合m=x|x22x30，则mn等于（）a（1，1）b（1，3）c（0，1）d（1，0）2（5分）已知数列an为等差数列，且a1=2，a2+a3=13，则a4+a5+a6等于（）a40b42c43d453（5分）阅读程序框图，运行相应的程序，则输出i的值为（）a3b4c5d64（5分）在abc中，角ab是sinasinb的（）a充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件d既不充分又不必要条件5（5分）将函数y=sin2x的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是（）ay=cos2xby=2cos2xcdy=2sin2x=6（5分）如图，向量ab等于（）a4e12e2b2e14e2ce13e2d3e1e27（5分）已知正数x，y满足，则z=4x（）y的最小值为（）abc1d8（5分）直线y=x与函数f（x）=的图象恰有三个公共点，则实数m的取值范围是（）ac二、填空题共6小题，每小题5分，共30分9（5分）已知向量=（sina，cosa），=（1），且a为锐角，则角a=10（5分）已知向量与的夹角是120，|=3，|+|=，则|=11（5分）在各项均为正数的等比数列an中，若a2=2，则a1+2a3的最小值是12（5分）在锐角abc中，角a，b，c的对边分别是a，b，c若a=4，b=5，abc的面积为则c=； sina=13（5分）函数y=sinx（xr）的部分图象如图所示，设o为坐标原点，p是图象的最高点，b是图象与x轴的交点，则tanopb14（5分）在平面直角坐标系中，点集a=（x，y）|x2+y21，b=（x，y）|x4，y0，3x4y0，则（1）点集p=（x，y）|x=x1+3，y=y1+1，（x1，y1）a所表示的区域的面积为；（2）点集q=（x，y）|x=x1+x2，y=y1+y2，（x1，y1）a，（x2，y2）b所表示的区域的面积为三、解答题共6小题，共80分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程15（13分）设函数f（x）=sinxcosx+cos2x+m，xr（）求f（x）的最小正周期及单调递增区间；（）若x时，f（x）min=2，求函数f（x）的最大值，并指出x取何值时，函数f（x）取得最大值16（13分）在等比数列an中，an0（nn*），且a1a3=4，a3+1是a2和a4的等差中项（）求数列an的通项公式；（）若数列bn满足bn=an+1+log2an（n=1，2，3），求数列bn的前n项和sn17（13分）设函数，其中常数a1（1）讨论f（x）的单调性；（2）若当x0时，f（x）0恒成立，求a的取值范围18（13分）如图，港口b在港口o正东方120海里处，小岛c在港口o北偏东60方向和港口b北偏西30方向上，一艘科学考察船从港口o出发，沿北偏东30的oa方向以每小时20海里的速度驶离港口o，一艘快艇从港口b出发，以每小时60海里的速度驶向小岛c，在c岛装运补给物资后给考察船送去，现两船同时出发，补给物资的装船时间需要1小时，问快艇驶离港口b后最少要经过多少时间才能和考察船相遇？19（14分）已知函数f（x）=ax2（a+2）x+lnx（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线方程；（2）求f（x）的单调区间；（3）若对任意x1，x2（0，+），x1x2，且f（x1+2x1f（x2）+2x2）恒成立，求a的取值范围20（14分）给定数列a1，a2，an对i=1，2，n1，该数列前i项的最大值记为ai，后ni项ai+1，ai+2，an的最小值记为bi，di=aibi（）设数列an为3，4，7，1，写出d1，d2，d3的值；（）设a1，a2，an1（n4）是公比大于1的等比数列，且a10证明：d1，d2，dn1是等比数列；（）设d1，d2，dn1是公差大于0的等差数列，且d10证明：a1，a2，an1是等差数列北京一五六中2015届高三上学期期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题共8小题，每小题5分，共40分1（5分）设集合m=x|x22x30，则mn等于（）a（1，1）b（1，3）c（0，1）d（1，0）考点：交集及其运算 专题：计算题分析：先根据二次不等式的解法以及对数不等式化简集合m与n，然后利用交集的定义求出所求即可解答：解：m=x|x22x30=x|（x+1）（x3）0=x|1x3=x|x1，mn=x|1x3故选b点评：本题主要考查了二次不等式的解法以及对数不等式的解法，同时考查了计算能力，属于基础题2（5分）已知数列an为等差数列，且a1=2，a2+a3=13，则a4+a5+a6等于（）a40b42c43d45考点：等差数列的前n项和；等差数列的通项公式 专题：等差数列与等比数列分析：设等差数列an的公差为d，由a1=2，a2+a3=13，可得，解得d，再利用等差数列的通项公式即可得出an解答：解：设等差数列an的公差为d，a1=2，a2+a3=13，解得an=a1+（n1）d=2+（n1）3=3n1a4+a5+a6=3a5=（351）=42故选b点评：本题考查了等差数列的通项公式及其性质，属于基础题3（5分）阅读程序框图，运行相应的程序，则输出i的值为（）a3b4c5d6考点：程序框图 专题：算法和程序框图分析：通过程序框图的要求，写出前四次循环的结果得到输出的值解答：解：该程序框图是循环结构经第一次循环得到i=1，a=2；经第二次循环得到i=2，a=5；经第三次循环得到i=3，a=16；经第四次循环得到i=4，a=65满足判断框的条件，执行是，输出4故选b点评：本题考查解决程序框图中的循环结构时，常采用写出前几次循环结果，找规律4（5分）在abc中，角ab是sinasinb的（）a充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件d既不充分又不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断 专题：简易逻辑分析：先看由角ab能否得到sinasinb：讨论a，b和a两种情况，并结合y=sinx在（0，单调性及0a+b即可得到sinasinb；然后看由sinasinb能否得到ab：根据上一步的讨论方法以及y=sinx的单调性即可得到sinasinb，所以得到角ab是sinasinb的充要条件解答：解：（1）abc中，角ab：若0ab，根据y=sinx在（0，上单调递增得到sinasinb；若0a，0a+b，所以sinasin（b）=sinb；角ab能得到sinasinb；即ab能得到sinasinb；角ab是sinasinb的充分条件；（2）若sinasinb：a，b（0，时，y=sinx在上单调递增，所以由sinasinb，得到ab；a，b时，显然满足ab；即sinasinb能得到ab；ab是sinasinb的必要条件；综合（1）（2）得角ab，是sinasinb的充要条件故选c点评：考查充分条件、必要条件、充要条件的概念，以及正弦函数y=sinx在上的单调性，通过y=sinx在（0，）的图象看函数的取值情况，及条件0a+b5（5分）将函数y=sin2x的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是（）ay=cos2xby=2cos2xcdy=2sin2x=考点：函数y=asin（x+）的图象变换；由y=asin（x+）的部分图象确定其解析式 专题：计算题；三角函数的图像与性质分析：利用函数y=asin（x+）的图象变换规律及三角函数间的关系式即可得到答案解答：解：令y=f（x）=sin2x，则f（x+）=sin2（x+）=cos2x，再将f（x+）的图象向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是y=cos2x+1=2cos2x，故选：b点评：本题考查函数y=asin（x+）的图象变换，考查升幂公式的应用，属于中档题6（5分）如图，向量ab等于（）a4e12e2b2e14e2ce13e2d3e1e2考点：向量的减法及其几何意义 分析：本题是向量的减法运算，不管是怎样的两个向量，通过图形做减法时都要把向量的起点放在一起，差是以减向量的终点为起点，被减向量的终点为终点的一个向量解答：解：由题意知：差向量是从的终点指向的终点的一个向量，把差向量用基底来表示，故选c点评：掌握平面内任一向量都可以用两个不平行向量来表示；掌握基底的概念，并能够用基表示平面内的向量7（5分）已知正数x，y满足，则z=4x（）y的最小值为（）abc1d考点：分段函数的应用 专题：计算题；函数的性质及应用分析：先将z=4x（）y化成z=22xy，再根据约束条件画出可行域，利用几何意义求最值，只需求出直线z1=2xy过点a（1，2）时，z1最小值即可解答：解：根据约束条件画出可行域z=4x（）y化成z=22xy直线z1=2xy过点a（1，2）时，z1最小值是4，z=22xy的最小值是24=，故选：d点评：本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题8（5分）直线y=x与函数f（x）=的图象恰有三个公共点，则实数m的取值范围是（）ac考点：根的存在性及根的个数判断 专题：计算题；函数的性质及应用分析：由直线y=x与函数f（x）=的图象恰有三个公共点，作出图象，结合图象，能得到实数m的取值范围解答：解：解方程组，得，或，由直线y=x与函数f（x）=的图象恰有三个公共点，作出图象，结合图象，知1m2实数m的取值范围是时，f（x）min=2，求函数f（x）的最大值，并指出x取何值时，函数f（x）取得最大值考点：三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象 专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质分析：（1）首先对函数的关系式进行恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的最小正周期和单调区间（2）利用函数的定义域求出函数的值域和最值解答：解：（1）f（x）=sinxcosx+cos2x+m，=，所以：令：，（kz）解得：，所以：函数的单调递增区间为：（kz）（2）因为：x时，所以：，当2x+=时，函数的最小值为：，解得：m=2，所以点评：本题考查的知识要点：三角函数的恒等变换，正弦型函数的单调性的应用，利用三角函数的定义域求函数的值域和最值属于基础题型16（13分）在等比数列an中，an0（nn*），且a1a3=4，a3+1是a2和a4的等差中项（）求数列an的通项公式；（）若数列bn满足bn=an+1+log2an（n=1，2，3），求数列bn的前n项和sn考点：等差数列与等比数列的综合；数列的求和 专题：计算题；转化思想分析：（i）求数列an的通项公式，设出公比为q，由a1a3=4，a3+1是a2和a4的等差中项，这两个方程联立即可求出首项与公比，通项易求（ii）若数列bn满足bn=an+1+log2an（n=1，2，3），由（i）知求数列bn的前n项和sn要用分组求和的技巧解答：解：（i）设等比数列an的公比为q由a1a3=4可得a22=4，（1分）因为an0，所以a2=2（2分）依题意有a2+a4=2（a3+1），得2a3=a4=a3q（3分）因为a30，所以，q=2.（4分）所以数列an通项为an=2n1（6分）（ii）bn=an+1+log2an=2n+n1（18分）可得（12分）=（13分）点评：本题考点是等差数列与等比数列的综合，考查等比数列的通项公式、等差数列的性质以及分组求和的技巧，以及根据题设条件选择方法的能力17（13分）设函数，其中常数a1（1）讨论f（x）的单调性；（2）若当x0时，f（x）0恒成立，求a的取值范围考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性 专题：计算题；压轴题分析：（1）先求出导函数，利用导数大于0对应的为原函数的增区间，导数小于0对应的为原函数的减区间，即可求f（x）的单调性；（2）由（1）知，当x0时，f（x）在x=2a或x=0处取得最小值，所以须满足最小值大于0，解不等式组即可求a的取值范围解答：解：（1）f（x）=x22（1+a）x+4a=（x2）（x2a），（2分）由已知a1，2a2，令f（x）0，解得x2a或x2，令f（x）0，解得2x2a，（5分）故当a1时，f（x）在区间（，2）和（2a，+）上是增函数，在区间（2，2a）上是减函数（6分）（2）由（1）知，当x0时，f（x）在x=2a或x=0处取得最小值（7分）=，f（0）=24a（9分）则即解得1a6，故a的取值范围是（1，6）（14分）点评：本题主要考查利用导数求闭区间上函数的最值以及研究函数的单调性和函数恒成立问题，是对知识的综合考查，也是2015届高考常考题型18（13分）如图，港口b在港口o正东方120海里处，小岛c在港口o北偏东60方向和港口b北偏西30方向上，一艘科学考察船从港口o出发，沿北偏东30的oa方向以每小时20海里的速度驶离港口o，一艘快艇从港口b出发，以每小时60海里的速度驶向小岛c，在c岛装运补给物资后给考察船送去，现两船同时出发，补给物资的装船时间需要1小时，问快艇驶离港口b后最少要经过多少时间才能和考察船相遇？考点：解三角形的实际应用 专题：应用题；解三角形分析：先将相遇点设出，然后根据题意确定各边长和各角的值，然后由余弦定理解决问题解答：解：设快艇驶离港口b后，最少要经过x小时，在oa上的点d处与考察船相遇：如图，连接cd，则快艇沿线段bc，cd航行，在obc中，boc=30，cbo=60bco=90，又bo=120，bc=60，oc=60，故快艇从港口b到小岛c需要1小时，在ocd中，cod=30，od=20x，cd=60（x2），由余弦定理知cd2=od2+oc22odoccoscod，602（x2）2=2+（60）2220x60cos30，解得x=3或x=，x1，x=3故快艇驶离港口b后，最少要经过3小时才能和考察船相遇点评：本题主要考查余弦定理的应用余弦定理在解实际问题时有着广泛的应用，一定要熟练的掌握19（14分）已知函数f（x）=ax2（a+2）x+lnx（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线方程；（2）求f（x）的单调区间；（3）若对任意x1，x2（0，+），x1x2，且f（x1+2x1f（x2）+2x2）恒成立，求a的取值范围考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程 专题：综合题；导数的综合应用分析：（1）a=1时，求出导数f（x），则切线斜率为f（1），易求f（1），利用点斜式即可求得切线方程；（2）易求f（x）的定义域是（0，+），解方程f（x）=0可得x=或x=，按两根、的大小对a分类讨论解不等式f（x）0，f（x）0可得单调区间；（3）设g（x）=f（x）+2x=ax2ax+lnx，由题意知，g（x）在（0，+）上单调递增，只需g（x）0在（0，+）上恒成立，分a=0、a0两种情况讨论，转化为函数最值即可；解答：解：（1）当a=1时，f（x）=x23x+lnx，f（x）=2x3+，因为f（1）=0，f（1）=2，所以切线方程是y=2；（2）函数f（x）=ax2（a+2）x+lnx的定义域是（0，+），f（x）=2ax（a+2）+=（x0），令f（x）=0，即f（x）=0，所以x=或x=，当a2时，令f（x）0得，x或0x，f（x）0得x，当a=2时，f（x）0恒成立，当0a2时，令f（x）0得，x或0x，f（x）0得x，a0时，令f（x）0得0x，f（x）0得x，所以当a2时，f（x）的单调增区间为（0，），（，+）单调减区间为（）；当a=2时，f（x）在（0，+）上单调递增；当0a2时，f（x）在（0，），（，+）上单调递增，在（）上单调递减；当a0时，f（x）在（0，）上单调递增，（）上单调递减（3）设g（x）=f（x）+2x，则g（x）=ax2ax+lnx，只要g（x）在（0，+）上单调递增即可，而g（x）=2axa+=，当a=0时，g（x）=0，此时g（x）在（0，+）上单调递增；当a0时，只需g（x）0在（0，+）上恒成立，因为x（0，+），只要2ax2ax+10，则需要a0，对于函数y=2ax2ax+1，过定点（0，1），对称轴x=0，只需=a28a0，即0a8，综上，0a8点评：本题考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、闭区间上函数的最值，考查恒成立问题，考查分类讨论思想20（14分）给定数列a1，a2，an对i=1，2，n1，该数列前i项的最大值记为ai，后ni项ai+1，ai+2，an的最小值记为bi，di=aibi（）设数列an为3，4，7，1，写出d1，d2，d3的值；（）设a1，a