北京市东城区（南片）高一数学下学期期末考试试题(1).doc

北京市东城区（南片）2013-2014学年下学期高一年级期末考试数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1. 已知点a（1，2），b（3，1），则直线ab的斜率为a. 2b. c. d. 22. 如图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为。则该几何体的俯视图可以是3. 如果等差数列中，那么a. 14b. 21c. 28d. 354. 经过点（1，0），且与直线垂直的直线方程是a. b. c. d. 5. ，下列不等式中一定成立的是a. 若，则b. 若，则c. 若，则d. 若，则6. 设是两个不同的平面，是一条直线，以下命题正确的是a. 若，则b. 若，则c. 若，则d. 若，则7. 已知数列满足，则等于a. b. c. d. 8. 在平面直角坐标系中，直线与圆相交于a，b两点，则弦ab的长等于a. b. c. d. 19. 已知变量满足约束条件，则的最小值为a. 6b. 5c. 1d. 310. 已知点e，f分别是正方体的棱ab，的中点，点m，n分别是线段与上的点，则与平面abcd垂直的直线mn有a. 0条b. 1条c. 2条d. 无数条二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。11. 两条平行直线和间的距离是_。12. 不等式的解集为_。13. 若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，则其侧面积等于_。14. 在空间直角坐标系中，已知点，点m在y轴上，且m到a与到b的距离相等，则m的坐标是_。15. 已知正四棱柱中，则cd与平面所成角的正切值等于_。16. 设不等式组表示的区域为，不等式表示的平面区域为。记为与公共部分的面积，则函数的取值范围是_。三、解答题：本题共5小题，共46分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17. （本题满分9分）设abc的内角a，b，c所对的边分别为，且。（）求c边长；（）求的值。18. （本题满分9分）如图，正方体的棱线长为1，线段上有两个动点e，f，且。（）求证：ef平面abcd；（）求证：acbe；（）三棱锥的体积是否为定值，若是，求出该定值，若不是，说明理由（棱锥的体积）。19. （本题满分9分）如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目（即图中阴影部分），这两栏的面积之和为18000cm2，四周空白的宽度为10cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5cm，怎样确定广告的高与宽的尺寸(单位：cm)，能使矩形广告面积最小?20. （本题满分10分）如图，在平面直角坐标系中，点a（0，3），直线，设圆c的半径为1，圆心在直线上。（）若圆心c也在直线上，过点a作圆c的切线，求切线的方程；（）若圆c上存在唯一一点m，使，求圆c的方程。21. （本题满分9分）如果有穷数列（m为正整数）满足条件，即，我们称其为“对称数列”。例如，数列1，2，5，2，1与数列8，4，2，2，4，8都是“对称数列”。（）设是7项的“对称数列”，其中是等差数列，且。依次写出的每一项；（）设是49项的“对称数列”，其中是首项为1，公比为2的等比数列。求各项的和s；（）设是100项的“对称数列”，其中是首项为2，公差为3的等差数列。求前n项的和。【试题答案】一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分。1. b 2. c 3. c 4. a 5. d 6. d 7. a 8. b 9. b 10. b二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。11. 212. 13. 614. 15. 16. 三、解答题：本大题共5个小题，共46分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17. （本题满分9分）解：（）由已知及余弦定理，得，解得或。5分（）在abc中，由正弦定理得。9分18. （本题满分9分）（）证明：在正方体中，因为bd，所以efbd，因为平面abcd，平面abcd，所以ef平面abcd。3分（）证明：在正方体中，因为平面abcd，所以，又因为abcd为正方形，所以bdac，所以ac平面。而平面。所以acbe。6分（）三棱锥的体积是定值。设交于点o，由（）可知，ao平面bef，且。9分19. （本题满分9分）解：设矩形栏目的高为acm，宽为bcm，则。广告的高为，宽为，其中。广告的面积当且仅当时等号成立，此时，代入式得，从而。即当时，s取得最小值24500。故广告的高为140cm，宽为175cm时，可使广告的面积最小。9分20. （本题满分10分）解：（）由得圆心c为（3，2），因为圆c的半径为1，所以圆c的方程为：。显然切线的斜率一定存在，设所求圆c的切线方程为，即。由，得。解得或者。所以所求圆c的切线方程为：或。5分（）因为圆c的圆心在直线上，所以，设圆心c为，则圆c的方程为：。又因为，所以设m为，则。整理得：设为圆d。所以点m应该既在圆c上又在圆d上，即圆c和圆d有唯一交点。所以或。由，得。由得，或。所以