九年级数学上第一章证明（二）1.2直角三角形课件（2）北师大版.ppt

1 2直角三角形 2课时 粉红色的回忆利用拼图来验证勾股定理 美国第十七任总统的证法 a b 2 c2 4 ab 2 a2 2ab b2 c2 2ab a2 b2 c2 大正方形的面积可以表示为 也可以表示为 a b 2 c2 4 ab 2 c2 4 ab 2 b a 2 c2 2ab b2 2ab a2 c2 a2 b2 a2 b2 c2 大正方形的面积可以表示为 也可以表示为 c2 4 ab 2 b a 2 四年一度的国际数学家大会于2002年8月20日在北京召开 大会会标如图 它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形 你了解吗 学习目标1 定理 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 定理 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方 定理 如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方 那么这个三角形是直角三角形 判断下列命题的真假 并说明理由 两个锐角对应相等的两个直角三角形全等 斜边及一个锐角对应相等的两个直角三角形全等 两直角边对应相等的两个直角三角形全等 一条直角边和另一条直角边上的中线对应相等的两个直角三角形全等 设矩形的对角线ac与bd的交点为o 那么bo是直角 abc中一条怎样的特殊线段 它与ac有什么大小关系 定理直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 abc 90 oa oc ac 2bo或oa ob oc 学习目标2 特殊的直角三角形的性质 1 在直角三角形中 如果有一个锐角等于300 那么它所对的直角边等于斜边的一半 2 在直角三角形中 如果一条直角边等于斜边的一半 那么它所对的锐角等于300 学习目标3 互逆命题 逆命题互逆定理 逆定理 如果两个角是对顶角 那么这两个角相等 如果两个角相等 那么这两个角是对顶角 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方 如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方 那么这个三角形是直角三角形 勾股定理 勾股定理逆定理 学习目标4 300 特殊图形 d e 3 2 你能求出ad和ab吗 d e 探索1 bc cd ab之间的关系 探索2 cd与ad关系 学习目标5 从前有一天 一个醉汉拿着竹竿进屋 横拿竖拿都进不去 横着比门框宽4尺 竖着比门框高2尺 另一个醉汉教他沿着门的两个对角斜着拿竿 这个醉汉一试 不多不少刚好进去了 你知道竹竿有多长吗 请根据这一问题列出方程 只列不解 问题探讨 三角形全等的判定 公理 三边对应相等的两个三角形全等 sss 公理 两边及其夹角对应相等的两个三角形全等 sas 公理 两角及其夹边对应相等的两个三角形全等 asa 推论 两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 aas 想一想 两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形全等 两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等 如果其中一边的所对的角是直角呢 如果其中一边的所对的角是直角 那么这两个三角形全等 请证明你的结论 命题的证明 命题 两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等 老师提示 举反例证明假命题千万不可忘记噢 证明 这是一个假命题 只要举一个反例即可 如图 由图 1 和图 2 可知 这两个三角形全等 由图 1 和图 3 可知 这两个三角形不全等 因此 两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等 命题的证明 驶向胜利的彼岸 两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等 但如果其中一边的所对的角是直角 那么这两个三角形全等 老师期望 你能写出它的证明过程吗 你能用根据上面的证明用文字写出一个结论吗 已知 如图 在 abc和 a b c 中 ac a c ab a b c c 900 求证 abc a b c 分析 要证明 abc a b c 只要能满足公理 sss sas asa 和推论 aas 中的一个即可 由已知和根据勾股定理易知 第三条边也对应相等 驶向胜利的彼岸 直角三角形全等的判定定理及其三种语言 定理 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 斜边 直角边或hl 如图 在 abc和 a b c 中 c c 900 ac a c ab a b 已知 rt abc rt a b c hl 用三角尺作角平分线 再过点m作oa的垂线 如图 在已知 aob的两边oa ob上分别取点m n 使om on 过点n作ob的垂线 两垂线交于点p 那么射线op就是 aob的平分线 请你证明op平分 aob p 已知 如图 om on pm om pn on 求证 aop bop 先把它转化为一个纯数学问题 问题探讨 如图 已知 acb bda 900 要使 abc bda 还需要什么条件 把它们分别写出来 增加ac bd 增加bc ad 增加 abc bad 增加 cab dba 你能分别写出它们的证明过程吗 若ad bc相交于点o 图中还有全等的三角形吗 o 你能写出图中所有相等的线段 相等的角吗 你能分别写出它们的证明过程吗 问题探讨 已知 如图 d是 abc的bc边上的中点 de ac df ab 垂足分别为e f 且de df 求证 abc是等腰三角形 已知 如图 ab cd de ac bf ac 垂足分别为e f de bf 求证 1 ae af 2 ab cd 四年一度的国际数学家大会于2002年8月20日在北京召开 大会会标如图 它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形 若大正方形的面积为20 每个小直角三角形两条直角边的和是6 求中间小正方形的面积 拓展 若有一个矩形长为5 宽为4 请你把它分割成6块 使得这6块拼成一个正方形 2 1 4 4 定理1直角三角形的两个锐角互余 定理2在直角三角形中 两条直角边的平方和等于斜边的平方 逆命题 定理3在直角三角形中 如果一个锐角等于30 那么它所对的直角边等于斜边的一半 逆命题 定理4直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半特殊图形 直角三角形的性质 课后小结 已知 abc ac2 bc2 ab2求证 c 90 分析 构造一个直角三角形 计算 一天 小华随老师和同学去爬山 回到家 妈妈问 你们爬的山大约有多高 小华说 我也不知道 只是老师带领我们测得小山的坡度约为30 从山下到山顶沿直线大约要走1000米 你能帮小华算出山的高度吗 大家一起练一练 如图 在高为 米 坡角为30 的楼梯表面铺毯 地毯长度约为多米 30 米 反过来怎么样 逆向思维 命题 在直角三角形中 如果一条直角边等于斜边的一半 那么它所对的锐角等于300 是真命题吗 如果是 请你证明它 已知 如图 在 abc acb 900 bc ab 2 求证 a 300 acb 900 cd bc 已知 ab ad 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等 又 bc ab 2 已知 bc bd 2 作图 ab bd 等量代换 ab bd ad 等式性质 abd是等边三角形 等边三角形意义 b 600 等边三角形意义 a 300 直角三角形两锐角互余 证明 延长bc至d 使cd bc 连接ad 几何的三种语言 这是一个通过线段之间的关系来判定一个角的具体度数 300 的根据之一 定理 在直角三角形中 如果一条直角边等于斜边的一半 那么它所对的锐角等于300 在 abc中 acb 900 bc ab 2 已知 a 300 在直角三角形中 如果一条直角边等于斜边的一半 那么它所对的锐角等于300 成功者的摇篮 1 如图 1 四边形abcd是一张正方形纸片 e f分别是ab cd的中点 沿着过点d的折痕将a角翻折 使得a落在ef上 如图 2 折痕交ae于点g 那么 adg等于多少度 你能证明你的结论吗 成功者的摇篮 答 adg等于150 证明 df dc 2 中点意义 a1d ad cd 正方形各边都相等 df a1d 2 等量代换 da1f 300 在直角三角形中 如果一条直角边等于斜边的一半 那么它所对的锐角等于300 又 ad ef a1da da1f 300 两直线平行 内错角相等 adg a1da 2 150 角平分线意义 300 再来 矩形abcd中 ab 6 bc 8 先把它对折 折痕为ef展开后再折成如图所示 使点a落在ef上的点a 处 求第二次折痕bg的长 3 6 回味无穷 直角三角形全等的判定定理 定理 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 斜边 直角边或hl 公理 三边对应相等的两个三角形全等 sss 公理 两边及其夹角对应相等的两个三角形全等 sas 公理 两角及其夹边对应相等的两个三角形全等 asa 推论 两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 aas 综上所述 直角三角形全等的判定条件可归纳为 一边及一个锐角对应相等的两个直角三角形全等 两边对应相等的两个直角三角形全等 切记 命题 两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等 即 ssa 是一个假冒产品 知识的升华 p9习题1 51 2题 祝你成功 习题1 5 1 已知 如图 d是 abc的bc边上的中点 de ac df ab 垂足分别为e f 且de df 求证 abc是等腰三角形 分析 要证明 abc是等腰三角形 就需要证明ab ac 进而需要证明 b c所在的 bdf cde 而 bdf cde的条件 从而需要证明 b c bd cd df de均为已知 因此 abc是等腰三角形可证 老师期望 请将证明过程规范化书写出来 习