北京市十三中九年级数学上学期期中试题（含解析） 新人教版.doc

北京市十三中2015-2016学年九年级数学上学期期中试题一、选择题（每小题3分，共30分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的1若o的半径为5cm，点a到圆心o的距离为4cm，那么点a与o的位置关系是（）a点a在圆外b点a在圆上c点a在圆内d不能确定2将抛物线y=4x2向右平移1个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线是（）ay=4（x+1）2+3by=4（x1）2+3cy=4（x+1）23dy=4（x1）233在rtabc中，c=90，若bc=1，ac=2，则sina的值为（）abcd24如图，电线杆上的路灯距离地面8米，身高1.6米的小明（ab）站在距离电线杆的底部（点o）20米的a处，则小明的影子am长为（）a4米b5米c6米d8米5如图，a，b两地被池塘隔开，小明通过下列方法测出了a、b间的距离：先在ab外选一点c，然后测出ac，bc的中点m，n，并测量出mn的长为12m，由此他就知道了a、b间的距离有关他这次探究活动的描述错误的是（）aab=24mbmnabccmncabdcm：ma=1：26如图，在平行四边形abcd中，e为cd上一点，连结ae，bd，且ae，bd交于点f，sdef：sabf=4：25，求de：dc的值为（）a4：25b2：5c2：7d4：297如图，o的半径为5，ab为弦，ocab，垂足为e，如果ce=2，那么ab的长是（）a4b8c6d108如图，abc中，bac=90，adbc于d，若ab=2，bc=3，则dc的长是（）abcd9已知抛物线和直线l在同一直角坐标系中的图象如图所示，抛物线的对称轴为直线x=1，p1（x1，y1）、p2（x2，y2）是抛物线上的点，p3（x3，y3）是直线l上的点，且1x1x2，x31，则y1、y2、y3的大小关系为（）ay1y2y3by3y1y2cy3y2y1dy2y1y310如图，正方形abcd中，ab=8cm，对角线ac，bd相交于点o，点e，f分别从b，c两点同时出发，以1cm/s的速度沿bc，cd运动，到点c，d时停止运动，设运动时间为t（s），oef的面积为s（cm2），则s（cm2）与t（s）的函数关系可用图象表示为（）abcd二、填空题（每小题3分，共18分）11如图，在平面直角坐标系中，p是1的边oa上一点，点p的坐标为（3，4），则tan1的值为12如图，bd平分abc，且ab=4，bc=6，则当bd=时，abddbc13如图，ab是o的直径，cd是o的弦，ab、cd的延长线交于点e若ab=2de，e=18，则c的度数为14将抛物线y=2x2+4沿x轴翻折后的抛物线的解析式为15如图，二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象经过点（，0），对称轴为直x=1，下列5个结论：abc0；a+2b+4c=0；2ab0；3b+2c0；abm（amb），其中正确的结论为（注：只填写正确结论的序号）16如图，点a1、a2、a3、，点b1、b2、b3、，分别在射线om、on上，a1b1a2b2a3b3a4b4如果a1b1=2，a1a2=2oa1，a2a3=3oa1，a3a4=4oa1，那么a2b2=，anbn=（n为正整数）三、解答题（共72分，17-26题每小题5分，27题7分，28题7分，29题8分）17计算：2sin60+3tan302tan60cos4518已知：二次函数y=ax23x+a21的图象开口向上，并且经过原点o（0，0）（1）求a的值；（2）用配方法求出这个二次函数图象的顶点坐标19如图，在平面直角坐标系中，a（1，1），b（2，1）（1）以原点o为位似中心，把线段ab放大到原来的2倍，请在图中画出放大后的线段cd；（2）在（1）的条件下，写出点a的对应点c的坐标为，点b的对应点d的坐标为20如图，在abc中，c=90，tana=，d为ac上一点，bdc=60，dc=2，求ad的长21已知：如图，abcd，ad、bc交于点e，f为bc上一点，且eaf=c（1）求证：aefbaf；（2）若ef=2，be=4，求af22如图，在四边形abcd中，c=60，b=d=90，ad=2ab，cd=3，求bc的长23某商业公司为指导某种应季商品的生产和销售，对三月份至七月份该商品的销售和生产进行了调研，结果如下：一件商品的售价m（元）与时间t（月）的关系可用一条线段上的点来表示（如图1）；一件商品的成本q（元）与时间t（月）的关系可用一条抛物线上的点来表示，其中6月份成本最高（如图2）（1）一件商品在3月份出售时的利润是多少元？（利润=售价成本）（2）求图2中表示一件商品的成本q（元）与时间t（月）之间的函数关系式；（3）你能求出3月份至7月份一件商品的利润w（元）与时间t（月）之间的函数关系式吗？若该公司能在一个月内售出此种商品30 000件，请你计算一下该公司在一个月内最少获利多少元？24阅读理解：如图1，在四边形abcd的边ab上任取一点e（点e不与点a、点b重合），分别连接ed，ec，可以把四边形abcd分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把e叫做四边形abcd的边ab上的相似点；如果这三个三角形都相似，我们就把e叫做四边形abcd的边ab上的强相似点解决问题：（1）如图1，a=b=dec=55，试判断点e是否是四边形abcd的边ab上的相似点，并说明理由；（2）如图2，在矩形abcd中，ab=5，bc=2，且a，b，c，d四点均在正方形（网格中每个小正方形的边长为1）的格点（即每个小正方形的顶点）上，试在图2中画出矩形abcd的边ab上的一个强相似点e；拓展探究：（3）如图3，将矩形abcd沿cm折叠，使点d落在ab边上的点e处若点e恰好是四边形abcm的边ab上的一个强相似点，试探究ab和bc的数量关系25瞭望台ab高20m，从瞭望台底部b测得对面塔顶c的仰角为60，从瞭望台顶部a测得塔顶c的仰角为45，已知瞭望台与塔cd地势高低相同求塔高cd26已知二次函数y=x2kx+k1（k2）（1）求证：抛物线y=x2kx+k1（k2）与x轴必有两个交点；（2）抛物线与x轴交于a、b两点（点a在点b的左侧），与y轴交于点c，若tanoac=3，求抛物线的表达式27已知二次函数y=ax2+bx+3（a0）图象的对称轴是直线x=2，且经过点b（3，0）（1）求这个二次函数的解析式；（2）若y0，请直接写出x的取值范围；（3）若抛物线y=ax2+bx+3t（a0，t为实数）在的范围内与x轴有公共点，求出t的取值范围28类比、转化、从特殊到一般等思想方法，在数学学习和研究中经常用到，如下是一个案例，请补充完整原题：如图1，在abcd中，点e是bc边上的中点，点f是线段ae上一点，bf的延长线交射线cd于点g，若=3，求的值（1）尝试探究在图1中，过点e作ehab交bg于点h，则ab和eh的数量关系是，cg和eh的数量关系是，的值是（2）类比延伸如图2，在原题的条件下，若=m（m0），则的值是（用含m的代数式表示），试写出解答过程（3）拓展迁移如图3，梯形abcd中，dcab，点e是bc延长线上一点，ae和bd相交于点f，若=a， =b（a0，b0），则的值是（用含a，b的代数式表示）29在平面直角坐标系xoy中，抛物线y=mx2+（m+2）x+2过点（2，4），且与x轴交于a、b两点（点a在点b左侧），与y轴交于点c点d的坐标为（2，0），连接ca，cb，cd（1）求证：aco=bcd；（2）p是第一象限内抛物线上的一个动点，连接dp交bc于点e当bde是等腰三角形时，直接写出点e的坐标；连接cp，当cdp的面积最大时，求点e的坐标2015-2016学年北京十三中九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共30分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的1若o的半径为5cm，点a到圆心o的距离为4cm，那么点a与o的位置关系是（）a点a在圆外b点a在圆上c点a在圆内d不能确定【考点】点与圆的位置关系【分析】要确定点与圆的位置关系，主要确定点与圆心的距离与半径的大小关系；利用dr时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当dr时，点在圆内判断出即可【解答】解：o的半径为5cm，点a到圆心o的距离为4cm，dr，点a与o的位置关系是：点a在圆内，故选：c【点评】此题主要考查了对点与圆的位置关系的判断关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当dr时，点在圆外；当d=r时，点在圆上，当dr时，点在圆内2将抛物线y=4x2向右平移1个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线是（）ay=4（x+1）2+3by=4（x1）2+3cy=4（x+1）23dy=4（x1）23【考点】二次函数图象与几何变换【分析】根据向右平移横坐标加，向上平移纵坐标加求出平移后的抛物线的顶点坐标，然后利用顶点式解析式写出即可【解答】解：抛物线y=4x2向右平移1个单位，再向上平移3个单位的顶点坐标为（1，3），得到的抛物线的解析式为y=4（x1）2+3故选b【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，此类题目利用顶点的变化确定函数解析式的变化是解题的关键，平移的规律：左加右减，上加下减3在rtabc中，c=90，若bc=1，ac=2，则sina的值为（）abcd2【考点】锐角三角函数的定义；勾股定理【分析】首先利用勾股定理求得ab的长度，然后利用三角函数的定义求解【解答】解：在直角abc中，ab=，则sina=故选a【点评】本题考查三角函数的定义，理解定义是关键4如图，电线杆上的路灯距离地面8米，身高1.6米的小明（ab）站在距离电线杆的底部（点o）20米的a处，则小明的影子am长为（）a4米b5米c6米d8米【考点】相似三角形的应用【分析】根据相似三角形对应边成比例列式计算即可得解【解答】解：由题意得， =，即=，解得am=5故选b【点评】本题考查了相似三角形的应用，利用相似三角形对应边成比例列出比例式是解题的关键5如图，a，b两地被池塘隔开，小明通过下列方法测出了a、b间的距离：先在ab外选一点c，然后测出ac，bc的中点m，n，并测量出mn的长为12m，由此他就知道了a、b间的距离有关他这次探究活动的描述错误的是（）aab=24mbmnabccmncabdcm：ma=1：2【考点】三角形中位线定理；相似三角形的应用【专题】几何图形问题【分析】根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得mnab，mn=ab，再根据相似三角形的判定解答【解答】解：m、n分别是ac，bc的中点，mnab，mn=ab，ab=2mn=212=24m，cmncab，m是ac的中点，cm=ma，cm：ma=1：1，故描述错误的是d选项故选：d【点评】本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，相似三角形的判定，熟记定理并准确识图是解题的关键6如图，在平行四边形abcd中，e为cd上一点，连结ae，bd，且ae，bd交于点f，sdef：sabf=4：25，求de：dc的值为（）a4：25b2：5c2：7d4：29【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质【分析】由条件可证明defbaf，结合面积比可求得相似比，可求得答案【解答】解：四边形abcd为平行四边形，deab，defbaf，sdef：sabf=（）2=4：25，=，故选b【点评】本题主要考查相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键7如图，o的半径为5，ab为弦，ocab，垂足为e，如果ce=2，那么ab的长是（）a4b8c6d10【考点】垂径定理；勾股定理【分析】连接oa，由于半径ocab，利用垂径定理可知ab=2ae，又ce=2，oc=5，易求oe，在rtaoe中利用勾股定理易求ae，进而可求ab【解答】解：连接oa，半径ocab，ae=be=ab，oc=5，ce=2，oe=3，在rtaoe中，ae=4，ab=2ae=8，故选b【点评】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键8如图，abc中，bac=90，adbc于d，若ab=2，bc=3，则dc的长是（）abcd【考点】相似三角形的判定与性质【分析】由已知先证abcdac，可证，即可求dc的长【解答】解：adbcadc=90bac=90adc=bac=90c=cabcdacab=2，bc=3ac=dc=故选d【点评】此题考查了相似三角形的判定和性质，有两角对应相等则此两个三角形相似；相似三角形的对应边成比例9已知抛物线和直线l在同一直角坐标系中的图象如图所示，抛物线的对称轴为直线x=1，p1（x1，y1）、p2（x2，y2）是抛物线上的点，p3（x3，y3）是直线l上的点，且1x1x2，x31，则y1、y2、y3的大小关系为（）ay1y2y3by3y1y2cy3y2y1dy2y1y3【考点】二次函数图象上点的坐标特征【专题】压轴题【分析】因为抛物线的对称轴为直线x=1，且1x1x2，当x1时，由图象知，y随x的增大而减小，根据图象的单调性可判断y2y1；结合x31，即可判断y2y1y3【解答】解：对称轴为直线x=1，且1x1x2，当x1时，y2y1，又因为x31，由一次函数的图象可知，此时点p3（x3，y3）在二次函数图象上方，所以y2y1y3故选d【点评】本题考查了一次函数、二次函数概念图象及性质，需要灵活掌握10如图，正方形abcd中，ab=8cm，对角线ac，bd相交于点o，点e，f分别从b，c两点同时出发，以1cm/s的速度沿bc，cd运动，到点c，d时停止运动，设运动时间为t（s），oef的面积为s（cm2），则s（cm2）与t（s）的函数关系可用图象表示为（）abcd【考点】动点问题的函数图象【专题】压轴题【分析】由点e，f分别从b，c两点同时出发，以1cm/s的速度沿bc，cd运动，得到be=cf=t，则ce=8t，再根据正方形的性质得ob=oc，obc=ocd=45，然后根据“sas”可判断obeocf，所以sobe=socf，这样s四边形oecf=sobc=16，于是s=s四边形oecfscef=16（8t）t，然后配方得到s=（t4）2+8（0t8），最后利用解析式和二次函数的性质对各选项进行判断【解答】解：根据题意be=cf=t，ce=8t，四边形abcd为正方形，ob=oc，obc=ocd=45，在obe和ocf中，obeocf（sas），sobe=socf，s四边形oecf=sobc=82=16，s=s四边形oecfscef=16（8t）t=t24t+16=（t4）2+8（0t8），s（cm2）与t（s）的函数图象为抛物线一部分，顶点为（4，8），自变量为0t8故选：b【点评】本题考查了动点问题的函数图象：先根据几何性质得到与动点有关的两变量之间的函数关系，然后利用函数解析式和函数性质画出其函数图象，注意自变量的取值范围二、填空题（每小题3分，共18分）11如图，在平面直角坐标系中，p是1的边oa上一点，点p的坐标为（3，4），则tan1的值为【考点】锐角三角函数的定义；坐标与图形性质【分析】根据在直角三角形中，锐角的正切为对边比邻边，可得答案【解答】解：如图：tan1=，故答案为：【点评】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边12如图，bd平分abc，且ab=4，bc=6，则当bd=2时，abddbc【考点】相似三角形的判定【分析】根据两边对应成比例，夹角相等，两三角形相似，列出比例式进行计算即可得解【解答】解：bd平分abc，abd=cbd，abddbc，=，ab=4，bc=6，=，解得bd=2故答案为：2【点评】本题考查了相似三角形的判定，主要利用了两边对应成比例，夹角相等，两三角形相似，熟记判定方法是解题的关键13如图，ab是o的直径，cd是o的弦，ab、cd的延长线交于点e若ab=2de，e=18，则c的度数为36【考点】圆的认识【分析】根据ab=2de得de等于圆的半径，在edo和ceo中，根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和求解【解答】解：连接od，ab=2de，od=de，e=eod，在edo中，odc=e+eod=36，oc=od，c=odc=36故答案为：36【点评】本题主要考查了三角形的外角和定理，外角等于不相邻的两个内角的和14将抛物线y=2x2+4沿x轴翻折后的抛物线的解析式为y=2x24【考点】二次函数图象与几何变换【分析】根据平面直角坐标系中，点关于x轴对称的特点得出答案【解答】解：将抛物线y=2x2+4沿x轴翻折，翻折后的抛物线解析式为y=2x2+4，即y=2x24故答案为y=2x24【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，点关于x轴对称的特点：两点x坐标相同，y坐标互为相反数是解题的关键15如图，二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象经过点（，0），对称轴为直x=1，下列5个结论：abc0；a+2b+4c=0；2ab0；3b+2c0；abm（amb），其中正确的结论为（注：只填写正确结论的序号）【考点】二次函数图象与系数的关系【专题】数形结合【分析】根据抛物线开口方向得到a0，根据抛物线对称轴为直线x=1得到b=2a，则b0，根据抛物线与y轴的交点在x轴下方得到c0，所以abc0；由x=，y=0，得到a+b+c=0，即a+2b+4c=0；由a=b，a+b+c0，得到b+2b+c0，即3b+2c0；由x=1时，函数最大小，则ab+cm2amb+c（m1），即abm（amb）【解答】解：抛物线开口向上，a0，抛物线对称轴为直线x=1，b=2a，则2ab=0，所以错误；b0，抛物线与y轴的交点在x轴下方，c0，abc0，所以错误；x=时，y=0，a+b+c=0，即a+2b+4c=0，所以正确；a=b，a+b+c0，b+2b+c0，即3b+2c0，所以正确；x=1时，函数最大小，ab+cm2amb+c（m1），abm（amb），所以错误故答案为【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数y=ax2+bx+c（a0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小，当a0时，抛物线向上开口；当a0时，抛物线向下开口；iai还可以决定开口大小，iai越大开口就越小一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab0），对称轴在y轴右（简称：左同右异）抛物线与y轴交于（0，c）抛物线与x轴交点个数：=b24ac0时，抛物线与x轴有2个交点；=b24ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；=b24ac0时，抛物线与x轴没有交点16如图，点a1、a2、a3、，点b1、b2、b3、，分别在射线om、on上，a1b1a2b2a3b3a4b4如果a1b1=2，a1a2=2oa1，a2a3=3oa1，a3a4=4oa1，那么a2b2=6，anbn=n（n+1）（n为正整数）【考点】相似三角形的判定与性质【专题】规律型【分析】根据oa1=1，求出a1a2、a2a3、a3a4的值，推出anan1的值，根据平行线分线段成比例定理得出=，代入求出a2b2=6=2（2+1），a3b3=12=3（3+1），a4b4=20=4（4+1），推出anbn=n（n+1）即可【解答】解：oa1=1，a1a2=21=2，a2a3=31=3，a3a4=4，an2an1=n1，an1an=n，a1b1a2b2a3b3a4b4，=，=，a2b2=6=2（2+1），a3b3=12=3（3+1），a4b4=20=4（4+1），anbn=n（n+1），故答案为：6，n（n+1）【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理的应用，解此题的关键是根据求出的结果得出规律，题型较好，但是有一定的难度三、解答题（共72分，17-26题每小题5分，27题7分，28题7分，29题8分）17计算：2sin60+3tan302tan60cos45【考点】特殊角的三角函数值【分析】首先把特殊角的三角函数值代入，然后计算求解即可【解答】解：原式=2+32=2【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，正确记忆函数值是关键18已知：二次函数y=ax23x+a21的图象开口向上，并且经过原点o（0，0）（1）求a的值；（2）用配方法求出这个二次函数图象的顶点坐标【考点】二次函数的性质；二次函数的三种形式【分析】（1）根据二次函数图象开口向上判断出a0，再把原点坐标代入函数解析式求解即可；（2）根据配方法的操作整理成顶点式解析式，然后写出顶点坐标即可【解答】解：（1）图象开口向上，a0，函数图象经过原点o（0，0），a21=0，解得a1=1，a2=1（舍去），a=1；（2）y=x23x=x23x+=（x）2，故抛物线顶点坐标为（，）【点评】本题考查了二次函数的性质以及三种形式的转化，熟记性质并熟练掌握配方法的操作是解题的关键19如图，在平面直角坐标系中，a（1，1），b（2，1）（1）以原点o为位似中心，把线段ab放大到原来的2倍，请在图中画出放大后的线段cd；（2）在（1）的条件下，写出点a的对应点c的坐标为（2，2）或（2，2），点b的对应点d的坐标为（4，2）或（4，2）【考点】作图-位似变换【分析】（1）利用位似图形的性质得出原点两侧各有一个图形，进而得出答案；（2）利用所画图形得出对应点坐标即可【解答】解：（1）如图所示：（2）点a的对应点c的坐标为（2，2）或（2，2），点b的对应点d的坐标为（4，2）或（4，2）故答案为：（2，2）或（2，2），（4，2）或（4，2）【点评】此题主要考查了位似图形的性质，准确找出对应点的位置以及坐标是解题的关键20如图，在abc中，c=90，tana=，d为ac上一点，bdc=60，dc=2，求ad的长【考点】解直角三角形【分析】根据已知条件和特殊角的三角函数值求出bc，再根据tana=，求出ac，最后根据ad=accd，即可得出答案【解答】解：在bdc中，c=90，bdc=60，dc=2，tan60=，bc=6，在abc中，tana=，=，ac=15，ad=accd=152【点评】此题考查了解直角三角形，用到的知识点是特殊角的三角函数值，关键是根据题意求出bc的值21已知：如图，abcd，ad、bc交于点e，f为bc上一点，且eaf=c（1）求证：aefbaf；（2）若ef=2，be=4，求af【考点】相似三角形的判定与性质【分析】（1）根据平行线的性质和等量关系可得eaf=b，再由公共角，由aa可证aefbaf；（2）根据相似三角形的性质可得，再代入数据计算即可求解【解答】（1）证明：abcd，b=c，eaf=c，eaf=b，又efa=efa，aefbaf；（2）解：由（1）得，af2=fefb=12，af2=2【点评】主要考查了相似三角形的判定及其性质的应用问题；解题的关键是灵活运用有关定理来分析、判断、推理或解答；对综合的分析问题解决问题的能力提出了较高的要求22如图，在四边形abcd中，c=60，b=d=90，ad=2ab，cd=3，求bc的长【考点】解直角三角形【分析】延长da、cb交于点e，解直角三角形求出de、ec，求出e=30，解直角三角形求出eb，即可求出答案【解答】解：延长da、cb交于点e，在rtcde中，tanc=，cosc=，de=3，ec=6，ad=2ab设ab=k，则ad=2k，c=60，b=d=90，e=30，在rtabe中，sine=tane=，ae=2ab=2k，eb=ab=k，de=4k=3，解得：k=，eb=，bc=6=【点评】本题考查了解直角三角形的应用，主要考查学生进行计算的能力，是一道比较好的题目，关键是构造直角三角形23某商业公司为指导某种应季商品的生产和销售，对三月份至七月份该商品的销售和生产进行了调研，结果如下：一件商品的售价m（元）与时间t（月）的关系可用一条线段上的点来表示（如图1）；一件商品的成本q（元）与时间t（月）的关系可用一条抛物线上的点来表示，其中6月份成本最高（如图2）（1）一件商品在3月份出售时的利润是多少元？（利润=售价成本）（2）求图2中表示一件商品的成本q（元）与时间t（月）之间的函数关系式；（3）你能求出3月份至7月份一件商品的利润w（元）与时间t（月）之间的函数关系式吗？若该公司能在一个月内售出此种商品30 000件，请你计算一下该公司在一个月内最少获利多少元？【考点】二次函数的应用【专题】数形结合【分析】（1）从图易知3月份每件商品售价6元，成本1元，易求利润；（2）根据图象特征抛物线的顶点为（6，4），可设抛物线的解析式为q=a（t6）2+4，将点（3，1）代入可得出函数解析式（3）根据利润的计算方法，显然需求直线解析式，再求差，运用函数性质计算利润【解答】解：（1）由图象知：3月份每件商品售价6元，成本1元，故可得，一件商品在3月份出售时的利润为5元（2）由图知，抛物线的顶点为（6，4），故可设抛物线的解析式为q=a（t6）2+4抛物线过（3，1）点，a（36）2+4=1解得故抛物线的解析式为q=（t6）2+4，即，其中t=3，4，5，6，7（3）设每件商品的售价m（元）与时间t（月）之间的函数关系式为m=kt+b线段经过（3，6）、（6，8）两点，解得，其中t=3，4，5，6，7故可得：一件商品的利润w（元）与时间t（月）的函数关系式为：w=mq=即，其中t=3，4，5，6，7当t=5时，w有最小值为元，即30000件商品一个月内售完至少获利=110000（元）答：该公司一个月内至少获利110000元【点评】此题考查了二次函数的应用，及待定系数法求二次函数解析式的知识，难点在第3个问题：表示利润，注意配方法求二次函数最值的应用，难度较大24阅读理解：如图1，在四边形abcd的边ab上任取一点e（点e不与点a、点b重合），分别连接ed，ec，可以把四边形abcd分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把e叫做四边形abcd的边ab上的相似点；如果这三个三角形都相似，我们就把e叫做四边形abcd的边ab上的强相似点解决问题：（1）如图1，a=b=dec=55，试判断点e是否是四边形abcd的边ab上的相似点，并说明理由；（2）如图2，在矩形abcd中，ab=5，bc=2，且a，b，c，d四点均在正方形网格（网格中每个小正方形的边长为1）的格点（即每个小正方形的顶点）上，试在图2中画出矩形abcd的边ab上的一个强相似点e；拓展探究：（3）如图3，将矩形abcd沿cm折叠，使点d落在ab边上的点e处若点e恰好是四边形abcm的边ab上的一个强相似点，试探究ab和bc的数量关系【考点】相似形综合题【专题】压轴题【分析】（1）要证明点e是四边形abcd的ab边上的相似点，只要证明有一组三角形相似就行，很容易证明adebec，所以问题得解（2）根据两个直角三角形相似得到强相似点的两种情况即可（3）因为点e是梯形abcd的ab边上的一个强相似点，所以就有相似三角形出现，根据相似三角形的对应线段成比例，可以判断出ae和be的数量关系，从而可求出解【解答】解：（1）点e是四边形abcd的边ab上的相似点理由：a=55，ade+dea=125dec=55，bec+dea=125ade=bec（2分）a=b，adebec点e是四边形abcd的ab边上的相似点（2）作图如下：（3）点e是四边形abcm的边ab上的一个强相似点，aembceecm，bce=ecm=aem由折叠可知：ecmdcm，ecm=dcm，ce=cd，bce=bcd=30，be=ce=ab在rtbce中，tanbce=tan30，【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，梯形的性质以及理解相似点和强相似点的概念等，从而可得到结论25瞭望台ab高20m，从瞭望台底部b测得对面塔顶c的仰角为60，从瞭望台顶部a测得塔顶c的仰角为45，已知瞭望台与塔cd地势高低相同求塔高cd【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题【分析】可先由cd及仰角60的正切值表示bd，再由bd及两仰角的正切值可表示出ab，即bdtan60bdtan45=ab，求得cd【解答】解：设塔高cd为x，则bd=x，由bdtan60bdtan45=ab，bd=x代入，得：xx=20，解得：x=30+10答：塔高cd为（30+10）米【点评】本题考查仰角的定义，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形26已知二次函数y=x2kx+k1（k2）（1）求证：抛物线y=x2kx+k1（k2）与x轴必有两个交点；（2）抛物线与x轴交于a、b两点（点a在点b的左侧），与y轴交于点c，若tanoac=3，求抛物线的表达式【考点】抛物线与x轴的交点【专题】计算题【分析】（1）先计算判别式的值得到=（k2）2，利用k2，可判断0，于是根据=b24ac0时，抛物线与x轴有2个交点即可得到结论；（2）根据抛物线与x轴的交点问题，解方程x2kx+k1=0得x=k1或x=1，利用k2，点a在点b的左侧得到a（1，0），b（k1，0），再表示出c（0，k1），然后根据正切的定义得到=3，再解方程求出k即可得到抛物线的表达式【解答】（1）证明：=（k）241（k1）=（k2）2，又k2，（k2）20，即0抛物线y=x2kx+k1与x轴必有两个交点；（2）解：抛物线y=x2kx+k1与x轴交于a、b两点，令y=0，有x2kx+k1=0，解得x=k1或x=1，k2，点a在点b的左侧，a（1，0），b（k1，0），抛物线与y轴交于点c，c（0，k1），在rtaoc中，tanoac=3，=3，解得k=4抛物线的表达式为y=x24x+3【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程；=b24ac决定抛物线与x轴的交点个数：=b24ac0时，抛物线与x轴有2个交点；=b24ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；=b24ac0时，抛物线与x轴没有交点也考查了三角函数的定义27已知二次函数y=ax2+bx+3（a0）图象的对称轴是直线x=2，且经过点b（3，0）（1）求这个二次函数的解析式；（2）若y0，请直接写出x的取值范围；（3）若抛物线y=ax2+bx+3t（a0，t为实数）在的范围内与x轴有公共点，求出t的取值范围【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数的性质【分析】（1）由抛物线的对称性可求得点b对称点的坐标，从而然后依据待定系数法可求得二次函数的解析式；（2）y0，即抛物线位于x轴上方，从而可求得x的取值范围；（3）由（1）可知y=ax2+bx+3t的解析式为y=x24x+3t，当=0时，可求得t=1，将x=0，y=0代入可求得t=3，从而可得到1t3【解答】解：（1）对称轴为x=2，点b（3，0），抛物线经过点（1，0）将（1，0）、（3，0）代入得：9a+3b+3=0且a+b+3=0解得a=1，b=2y=x24x+3（2）y0，抛物线位于x轴的上方x的取值范围是x1或x3（3）由（1）ax2+bx+c=x24x+3y=x24x+3t当=0时，该函数图象与x轴只有一个交点此时，=（4）24（3t）=0即4+4t=0t=1当该函数图象过（0，0）时，将（0，0）代入y=x24x+3t0=3tt=3t的取值范围是：1t3【点评】本题主要考查的是抛物线与x轴的交点，利用数形结合思想求得x和t的取值范围是解题的关键28类比、转化、从特殊到一般等思想方法，在数学学习和研究中经常用到，如下是一个案例，请补充完整原题：如图1，在abcd中，点e是bc边上的中点，点f是线段ae上一点，bf的延长线交射线cd于点g，若=3，求的值（1）尝试探究在图1中，过点e作ehab交bg于点h，则ab和eh的数量关系是ab=3eh，cg和eh的数量关系是cg=2eh，的值是（2）类比延伸如图2，在原题的条件下，若=m（m0），则的值是（用含m的代数式表示），试写出解答过程（3）拓展迁移如图3，梯形abcd中，dcab，点e是bc延长线上一点，ae和bd相交于点f，若=a， =b（a0，b0），则的值是ab（用含a，b的代数式表示）【考点】相似形综合题【分析】（1）本问体现“特殊”的情形， =3是一个确定的数值如答图1，过e点作平行线，构造相似三角形，利用相似三角形和中位线的性质，分别将各相关线段均统一用eh来表示，最后求得比值；（2）本问体现“一般”的情形， =m不再是一个确定的数值，但（1）问中的解题方法依然适用，如答图2所示（3）本问体现“类比”与“转化”的情形，将（1）（2）问中的解题方法推广转化到梯形中，如答图3所示【解答】解：（1）依题意，过点e作ehab交bg于点h，如图1所示则有abfehf，=3，ab=3ehabcd，ehab，ehcd，又e为bc中点，eh为bcg的中位线，cg=2eh故答案为：ab=3eh；cg=2eh；（2）如图2所示，作ehab交bg于点h，则efhafbab=mehab=cd，cd=mehehabcd，behbcg=2，cg=2eh=故答案为：（3）如图3所示，过点e作ehab交bd的延长线于点h，则有ehabcdehcd，bcdbeh，=b，cd=beh又，ab