北京市怀柔区高二数学下学期期末考试试题 理（含解析）.doc

2012-2013学年北京市怀柔区高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）若，则等于（）ab2cd3考点：空间向量的夹角与距离求解公式专题：空间向量及应用分析：利用向量模的计算公式即可得出解答：解：由=故选c点评：熟练掌握向量模的计算公式是解题的关键2（5分）（2011怀柔区一模）复数=（）aib1cid1考点：复数代数形式的乘除运算专题：计算题分析：复数的分子、分母同乘分母的共轭复数，化简为a+bi（a，br）的形式即可得到选项解答：解：复数=i故选c点评：本题是基础题，考查复数代数形式的乘除运算，注意共轭复数的应用，考查计算能力3（5分）函数y=x2+1的极值点为（）a2b0c1d2考点：利用导数研究函数的极值专题：计算题分析：根据所给的函数，对函数求导，使得导函数等于0，求出对应的x的值，这里不用检验，极值点一定存在解答：解：函数y=x2+1，y=2x令函数的导函数等于0，得到x=0，即函数的极值点是0，故选b点评：本题考查利用导数研究函数的极值，本题解题的关键是求出函数的导数，使得导函数等于0，求出结果，要检验点的两端的导函数的符号4（5分）（2011怀柔区一模）若=（1，2，3），=（2，a1，a2），则“a=1”是“”的（）a充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件d既不充分也不必要条件考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系；充要条件专题：计算题分析：利用向量垂直的充要条件，列出方程求出向量垂直的充要条件，判断出前者成立是否能推出后者，后者成立是否能推出前者，根据充要条件的定义得到结论解答：解：的充分不必要条件故选a点评：解决向量垂直的充要条件一般利用数量积为0；对应坐标的乘积的和为05（5分）曲线f（x）=x2+3x在点p（1，4）处的切线方程为（）a5x+y1=0b5xy1=0c5xy+1=0d5x+y+1=0考点：利用导数研究曲线上某点切线方程专题：导数的综合应用分析：由求导公式和法则求出导数，再求出f（1），再代入点斜式方程化为一般式即可解答：解：由题意得，f（x）=2x+3，则f（1）=5，在点p（1，4）处的切线方程为：y4=5（x1），即5xy+1=0，故选b点评：本题考查了导数的几何意义，以及点斜式方程的应用，属于基础题6（5分）从4名男同学中选出2人，6名女同学中选出3人，并将选出的5人排成一排，则不同的排法共有（）a2400种b24400种c1400种d14400种考点：排列、组合及简单计数问题专题：概率与统计分析：先选出5人，再进行全排，利用分步计数原理，即可得到结论解答：解：从4名男生中选出2人，有=6种结果，从6名女生中选出3人，有=20种结果，根据分步计数原理知选出5人，再把这5个人进行排列共有620=14400故选d点评：本题考查分步计数原理，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题7（5分）若函数在区间（2，3）上是减函数，则k的取值范围是（）a1，+）b0，1c（，0d2，+）考点：函数的单调性与导数的关系专题：导数的综合应用分析：由题意可得f（x）0在（2，3）上恒成立令g（x）=x22kx+（2k1），则，解出即可解答：解：f（x）=x22kx+（2k1），函数在区间（2，3）上是减函数，f（x）0在（2，3）上恒成立即x22kx+（2k1）0在（2，3）上恒成立令g（x）=x22kx+（2k1），则，解得k2故选d点评：熟练掌握利用导数研究函数的单调性、二次函数的性质是解题的关键8（5分）如图，用长为90，宽为48的长方形铁皮做一个无盖的长方体容器，先在四角分别截去都是相同的一个小正方形，然后把四边翻转90角，再焊接而成，当长方体容器的容积为最大时，其高为（）a10b30c36d10或36考点：函数模型的选择与应用；基本不等式专题：函数的性质及应用分析：设长方体的高为x，表示出长方体容器的容积，利用导数的方法，即可求解解答：解：由题意，设长方体的高为x，则长方体底面的长和宽分别是：902x和482x，（0x24）所以长方体的底面积为：（902x）（482x）所以长方体容器的容积为v=x（902x）（482x）=4x3276x2+4320xv=12x2552x+4320=12（x36）（x10）函数在（0，10）上单调递增，在（10，24）上单调递减当x=10时，容积最大，最大是v=19600cm3，故选a点评：本题考查函数模型的建立，考查导数知识的应用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题二、填空题：本大题共6小题，每题5分，共20分.9（5分）=105考点：组合及组合数公式专题：概率与统计分析：利用组合数性质及其计算公式即可得出解答：解：=105故答案为105点评：熟练掌握组合数性质及其计算公式是解题的关键10（5分）函数y=的导数是考点：导数的乘法与除法法则专题：导数的概念及应用分析：利用导数的运算法则就看得出解答：解：y=，故答案为点评：熟练掌握导数的运算法则是解题的关键11（5分）从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球，则所取的3个球中至少有1个白球的概是考点：古典概型及其概率计算公式专题：概率与统计分析：先求出所取的3个球中没有白球的概，再用1减去它，即得所取的3个球中至少有1个白球的概率解答：解：所有的取法共有=10种，而没有白球的取法只有一种，故所取的3个球中没有白球的概率是，故所取的3个球中至少有1个白球的概是 1=，故答案为 点评：本题主要考查等可能事件的概率，古典概型和对立事件，所求的事件的概率等于用1减去它的对立事件概率12（5分）随机变量x的分布列为：x012p则ex=，dx=考点：离散型随机变量的期望与方差专题：计算题分析：根据条件中所给的分布列，写出变量的期望值所用的表示式，得到结果，根据前面做出的期望值，写出方差的表示式，得到结果解答：解：根据分布列所给的数据，得到ex=dx=，故答案为：；点评：本题考查求变量的期望值和方差，本题解题的关键是条件中给出分布列，这样题目的运算量就少了一大部分13（5分）若二项式的展开式中所有二项式系数的和等于256，则展开式中含x3的项为16x3考点：二项式定理专题：计算题分析：根据展开式中所有二项式系数的和等于2n=256，求得 n=8在展开式的通项公式中，令x的幂指数等于3，求得r的值，即可求得展开式中含x3的项解答：解：由于二项式的展开式中所有二项式系数的和等于2n=256，n=8展开式的通项公式为 tr+1=（2）r=（2）r，令=3，求得r=1，故展开式中含x3的项为2x3=16x3，故答案为16x3点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题14（5分）在北京举办的第七届中国花博会期间，某展区用同样的花盆摆成了若干如下图所示的图案，中第个图案只一个花盆；第个，第个，的图案分别按图所示的方式固定摆放从第个图案的第一个花盆开始，以后每一个图案的花盆都自然摆放在它们的周围，若以an表示第n个图案的花盆总数，则a3=19；an=3n23n+1（答案用n表示）考点：归纳推理专题：规律型分析：观察图形很容易看出第一个图象由一盆花，第二个图形比第一个图形多放了6盆，第三个图形比第二个图形多放了26盆，可得后面图形花盆数前面图形花盆数存在关系，anan1=6（n1），利用累加法可得答案解答：解：由图知a1=1a2a1=6=6（21），a3a2=12=6（31），anan1=6（n1），an=1+6+12+6（n1）=1+=3n23n+1a3=19故答案为 19，3n23n+1点评：本题是一道找规律的题目，对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15（13分）如图，在空间直角坐标系xoy中，正方体abcda1b1c1d1的棱长为1，e1在a1b1上，f1在c1d1上，且b1e1=d1f1=（）求向量，的坐标；（）求be1与df1所成的角的余弦值考点：异面直线及其所成的角；空间向量运算的坐标表示专题：计算题分析：（）由题意可得点得b，e1，d，f1的坐标，由向量的坐标运算可得，的坐标；（）由（）所得的，与的坐标，由夹角公式可得这两个向量夹角的余弦值，进而可得所求解答：解：（）由题意可得b（1，1，0），e1（1，1），d（0，0，0），f1（0，故，（5分）（）由（）可知，所以，故be1与df1所成的角的余弦值为（13分）点评：本题考查异面直线所成的角，涉及向量的坐标运算，属中档题16（13分）甲、乙两人在罚球线投球命中的概率分别为，投中得1分，投不中得0分（）甲、乙两人在罚球线各投球一次，求两人都没有投中的概率的概率；（）甲、乙两人在罚球线各投球一次，求两人得分之和x的数学期望考点：离散型随机变量的期望与方差专题：计算题分析：（i）由题意知本题是一个相互独立事件同时发生的概率，两个人都没有投中的概率等于两个人投不中的概率的乘积（ii）根据题意看出变量的可能取值，结合变量对应的事件写出变量对应的概率，利用期望值公式得到结果解答：解：（）依题意，甲、乙两人在罚球线各投球一次，两人都没有投中的概率为（）x的可能取值为0，1，2.；所以点评：本题考查离散型随机变量的期望和相互独立事件同时发生的概率，本题解题的关键是看出变量对应的事件，结合事件得到概率17（13分）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c，当x=1时，f（x）的极大值为7；当x=3时，f（x）有极小值求：（1）a，b，c的值；（2）函数f（x）的极小值考点：函数在某点取得极值的条件；函数解析式的求解及常用方法；利用导数研究函数的极值专题：计算题分析：（1）因为当x=1时，f（x）有极大值，当x=3时，f（x）有极小值，所以把x=1和3代入导数，导数都等于0，就可得到关于a，b，c的两个等式，再根据极大值等于7，又得到一个关于a，b，c的等式，三个等式联立，即可求出a，b，c的值（2）因为函数再x=3处有极小值，所以把x=3代入原函数，求出的函数值即为函数的极小值解答：解：（1）f（x）=x3+ax2+bx+cf（x）=3x2+2ax+b而x=1和x=3是极值点，所以解之得：a=3，b=9又f（1）=1+ab+c=13+9+c=7，故得c=2（2）由（1）可知f（x）=x33x29x+2而x=3是它的极小值点，所以函数f（x）的极小值为25点评：本题主要考查导数在求函数的极值中的应用，做题时要细心理解极值与导数的对应关系及极值的判断规则是解题的关键，本题是导数应用题，常见题型18（13分）如图，李先生家住h小区，他工作在c科技园区，从家开车到公司上班路上有l1、l2两条路线，l1路线上有a1、a2、a3三个路口，各路口遇到红灯的概率均为；l2路线上有b1、b2两个路口，各路口遇到红灯的概率依次为，（1）若走l1路线，求最多遇到1次红灯的概率；（2）若走l2路线，求遇到红灯次数x的数学期望；（3）按照“平均遇到红灯次数最少”的要求，请你帮助李先生从上述两条路线中选择一条最好的上班路线，并说明理由考点：二项分布与n次独立重复试验的模型；离散型随机变量的期望与方差专题：概率与统计分析：（1）利用二项分布即可得出；（2）利用相互独立事件的概率计算公式及离散型随机变量的期望计算公式即可得出；（3）由于走路线l1时服从二项分布即可得出期望，比较走两条路的数学期望的大小即可得出要选择的路线解答：解：（1）设“走l1路线最多遇到1次红灯”为事件a，包括没有遇到红灯和只遇到红灯一次两种情况则，所以走l1路线，最多遇到1次红灯的概率为（2）依题意，x的可能取值为0，1，2，随机变量x的分布列为：x012p所以（3）设选择l1路线遇到红灯次数为y，随机变量y服从二项分布y，所以因为exey，所以选择l2路线上班最好点评：熟练掌握二项分布列、相互独立事件的概率计算公式及离散型随机变量的期望计算公式及其意义是解题的关键19（14分）如图，已知四棱锥pabcd的底面是矩形，pa平面abcd，ad=2，ab=1，e，f分别是线段abbc的中点（）证明：pffd；（）若pb与平面abcd所成的角为45，求二面角apdf的余弦值；（）在棱pa上是否存在点g，使得eg平面pfd？若存在，请找出点g的位置并加以说明；若不存在，请说明理由考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的性质专题：空间位置关系与距离；空间角分析：（i）连接af，证明df平面paf，即可证明pffd；（）建立空间直角坐标系因为pa平面abcd，所以pba是pb与平面abcd所成的角，确定平面pfd的法向量、平面pfd的法向量，利用向量的夹角公式，可求二面角apdf的余弦值；（）解法1：利用向量法，求出平面pfd的法向量，利用，可得结论；解法2：几何法，利用面面平行，可得结论解答：（）证明：连接af，则，又ad=2，df2+af2=ad2，dfaf又pa平面abcd，dfpa，又paaf=a，df平面pafpf平面paf，dfpf（5分）（）解：因为四边形abcd是矩形，pa平面abcd，则如图建立空间直角坐标系因为pa平面abcd，所以pba是pb与平面abcd所成的角，即pba=45，所以pa=ab=1，以a（0，0，0），b（1，0，0），f（1，1，0），d（0，2，0），p（0，0，1）所以，设平面pfd的法向量为，由得，令x=1，解得：y=1，z=2，所以又因为ab平面pad，所以是平面pad的法向量，易得，所以由图知，所求二面角apdf的余弦值为（10分）（）解法1：在棱pa上存在点g，使得eg平面pfd设点p（0，0，a），g（0，0，b），则，因为，则设平面pfd的法向量为，由得，令x=1，解得：，所以令得，即，所以从而满足的点g为所求（14分）解法2：过点e作ehfd交ad于点h，则再过点h作hgdp交pa于点g，则，平面ehg平面pfd，egpfd从而满足的点g为所求（14分）点评：本题考查线面垂直，考查面面角，考查线面平行，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题20（14分）已知函数f（x）