高等代数教案 北大版 第六章

精选文库 授课内容第六章 线性空间 第一讲 集合映射教学时数2授课类型讲授教学目标通过本节的学习,掌握集合映射的有关定义、运算,求和号与乘积号的定义教学重点集合映射的有关定义教学难点集合映射的有关定义教学方法与手段 讲授法 启发式教学过程1.集合的运算,集合的映射(像与原像、单射、满射、双射)的概念定义:(集合的交、并、差) 设是集合,与的公共元素所组成的集合成为与的交集,记作；把和B中的元素合并在一起组成的集合成为与的并集,记做；从集合中去掉属于的那些元素之后剩下的元素组成的集合成为与B的差集,记做.定义:(集合的映射) 设、为集合.如果存在法则,使得中任意元素在法则下对应中唯一确定的元素(记做),则称是到的一个映射,记为如果,则称为在下的像,称为在下的原像.的所有元素在下的像构成的的子集称为在下的像,记做,即.若都有 则称为单射.若 都存在,使得,则称为满射.如果既是单射又是满射,则称为双射,或称一一对应.2.求和号与求积号(1)求和号与乘积号的定义为了把加法和乘法表达得更简练,我们引进求和号和乘积号.设给定某个数域上个数,我们使用如下记号:, .当然也可以写成, .(2)求和号的性质容易证明,.事实上,最后一条性质的证明只需要把各个元素排成如下形状:分别先按行和列求和,再求总和即可.讨论、练习与作业课后反思 授课内容第二讲 线性空间的定义与简单性质教学时数2授课类型讲授教学目标通过本节的学习,掌握线性空间的定义与简单性质教学重点线性空间的定义与简单性质教学难点线性空间的定义与简单性质教学方法与手段 讲授法 启发式教学过程一.线性空间的定义(1)定义1(线性空间) 设V是一个非空集合,且V上有一个二元运算“+”,又设K为数域,V中的元素与K中的元素有运算数量乘法“”,且“+”与“”满足如下性质:1、 加法交换律 ,有；2、 加法结合律 ,有；3、 存在“零元”,即存在,使得；4、 存在负元,即,存在,使得；5、 “1律” ；6、 数乘结合律 ,都有；7、 分配律 ,都有；8、 分配律 ,都有,则称V为K上的一个线性空间,我们把线性空间中的元素称为向量.注意:线性空间依赖于“+”和“”的定义,不光与集合V有关.(2)零向量和负向量的唯一性,向量减法的定义,线性空间的加法和数乘运算与通常数的加、乘法类似的性质命题1 零元素唯一,任意元素的负元素唯一.证明:设与均是零元素,则由零元素的性质,有；,设都是的负向量,则,于是命题得证.由于负向量唯一,我们用代表的负向量.定义2(减法) 我们定义二元运算减法“-”如下:定义为. 命题2 线性空间中的加法和数乘满足如下性质:1、 加法满足消去律 ；2、 可移项 ；3、 可以消因子 且,则；4、 .(3)线性空间的例子例1令V表示在上可微的函数所构成的集合,令,V中加法的定义就是函数的加法,关于K的数乘就是实数遇函数的乘法,V构成K上的线性空间.二 线性空间中线性组合和线性表出的定义,向量组的线性相关与线性无关的定义以及等价表述,向量组的秩,向量组的线性等价；极大线性无关组.定义3(线性组合) 给定V内一个向量组,又给定数域K内s个数,称为向量组的一个线性组合.定义4(线性表出) 给定V内一个向量组,设是V内的一个向量,如果存在K内s个数,使得,则称向量可以被向量组线性表出.定义5(向量组的线性相关与线性无关) 给定V内一个向量组,如果对V内某一个向量,存在数域K内不全为零的数,使得,则称向量组线性相关；若由方程必定推出,则称向量组线性无关.命题3 设,则下述两条等价:1)线性相关；2)某个可被其余向量线性表示.证明同向量空间.定义6(线性等价) 给定V内两个向量组 (), (),如果()中任一向量都能被()线性表示,反过来,()中任一向量都能被()线性表示,则称两向量组线性等价.定义7(极大线性无关部分组) 给定V内一个向量组,如果它有一个部分组满足如下条件:(i)、线性无关；(ii)、原向量组中任一向量都能被线性表示,则称此部分组为原向量组的一个极大线性无关部分组.由于在向量空间中我们证明的关于线性表示和线性等价的一些命题中并没有用到的一些特有的性质,于是那些命题在线性空间中依然成立.定义8(向量组的秩) 一个向量组的任一极大线性无关部分组中均包含相同数目的向量,其向量数目成为该向量组的秩.例2 求证:向量组的秩等于2(其中).证明:方法一:设R,满足,则,假若不全为零,不妨设,则有,而由于,等号左边为严格单调函数,矛盾于等号右边为常数.于是.所以线性无关,向量组的秩等于2.证毕.方法二:若在上,两端求导数,得,以代入,有而,于是.证毕.讨论、练习与作业课后反思 授课内容第三讲 维数、基与坐标教学时数2授课类型讲授教学目标通过本节的学习,掌握线性空间的基与维数,向量的坐标的有关定义及性质教学重点基与维数、向量坐标的有关定义教学难点基与维数、向量坐标的有关定义教学方法与手段 讲授法 启发式教学过程一 、 基和维数设V是数域F上一个向量空间,1，2，nV令L(1,2，n)=，则L(1，2，n)是V的一个子空间，叫做由1,2,n生成的子空间，其中向量1，2，,n叫做这个子空间的一组生成元例1 在Fx中，由多项式1，x，xn-1所生成的子空间为L(1，x，xn-1)=a0+a1x+an-1xn-1| aiF，就是F上一切次数小于n的多项式连同零多项式所成的子空间Fxn设是向量组1,2,n的一个极大无关组由命题3，子空间L(1，2，n)的每一个向量都可以由线性表示另一方面的任意一个线性组合自然是L(1，2,n)中的向量因此我们有命题1 设1，2，n是向量空间V的一组不全为零的向量，而是它的一个极大无关组则L(1，2，n)=L() 根据这个命题，若子空间L(1，2，n)不等于零空间，则它总可以由一组线性无关的生成元生成一个向量空间V本身也可能由其中某n个向量生成，因此引入以下的定义1 设1，2，n是数域F上向量空间V的向量组，满足以下条件：1)1，2，n线性无关；2)V中每一个向量都可以由1，2，n线性表示，则称1，2，n 是V的一个基例2 在空间V2里，由原点出发的任意两个不共线的向量1，2都构成一个基；在V3里，由原点出发的任意三个不共面的向量1，2，3都构成一个基例3 在数域F上的mn矩阵空间Fmn里，A=(aij)mnFmn，都可以表成A=且若即(aij)mn是零矩阵，则aij=0，i=1，m，j=1，n因此,是Fmn的一个基数域F上的一个向量空间若有基，当然不只有一个基然而根据基的定义，一个向量空间的任意两个基是彼此等价的于是由推论1，一个向量空间的任意两个基所含向量的个数是相等的因此引入定义2 一个向量空间V的一个基所含向量的个数叫做V的维数，记作dimV零空间的维数定义为0这样，空间V2的维数是2，V3的维数是3；Fn的维数是n；向量空间Fmn的维数是mn例4 求数域F上所有n阶反对称矩阵组成的向量空间V的一个基及其维数解 任一n阶反对称矩阵A具有形式因此 由于 ，所以都是反对称矩阵假设，由于是Mn(F)的一个基，所以线性无关，从而由可推出 故线性无关又由便可得出，是V的一个基，且若一个向量空间不能由有限个向量生成，则它自然也不能由有限个线性无关的向量生成对这一情形，就说这个向量空间是无限维的例5 Fx作为F上向量空间是无限维的事实上，假设Fx由有限个多项式f1(x)，f2(x)，ft(x)生成自然可以设这些多项式都不为零令n是这t个多项式的次数中最大的，则Fx中次数大于n的多项式不可能由这t个多项式线性表示这就导致矛盾，故Fx是无限维的由此易见1中向量空间Ca，b也是无限维的命题2 在n维向量空间V中，任意n个线性无关的向量都是V的一个基证 设1，n是V中n个线性无关的向量任取V，只要证可由1，n线性表示，则1，n便是V的一个基因为dimV=n，所以V有一个基于是向量组1,n，可由1，n线性表出因为n+1n,所以由定理2推得，1，n，线性相关由于1，n线性无关，所以由命题4知道，可由1，n线性表示 由命题2的证明易见命题3 n维向量空间中个数多于n的任意向量组一定线性相关 定理1 在n维向量空间V中，任意一个线性无关的向量组1，r都可以扩充成V的一个基证 若r=n，则1，n是V的一个基下设rn此时由dimV=n知道V有一个基于是,由定理6.2.2，不妨设向量组与等价此时，线性无关，因此，由命题2知道它是由1，r 扩充的V的一个基 二、 坐标基的重要意义主要在于以下的定理2 设是向量空间V的一个基则V的每一个向量可以唯一地表成基向量的线性组合证 因为是V的生成元，所以aV都可以表成的线性组合 现证这种表示法是唯一的若还可以表成则但线性无关，故，即，i=1，n设V是数域F上一个n维向量空间，1，2，n是V的一个基于是V的每一向量可以唯一地表成因此，取定V的基1，2，n之后，对V的每一个向量，有唯一的n元数组(x1，x2，,xn)与它对应此时，xi叫做向量关于基1，2，n的第i个坐标；(x1,x2,xn)叫做向量在基1,2,n下的坐标例6 取定V3中三个不共面的向量1，2，3则V3的每一向量可以唯一地表成的形式向量在基1，2，3下的坐标就是(x1，x2，x3)例7 Fn的向量=在标准单位基下的坐标就是设n维向量空间V的向量，在基下的坐标分别是(x1，x2，xn)和(y1，y 2，yn)： 则 若kF，则 于是得到定理3 设V是数域F上一个n维向量空间，是V的一个基若，V，它们在基下的坐标分别是和，则+在这个基下的坐标就是(x1+y1，x2+y2，xn+yn)；又若kF则k在这个基下的坐标就是 三、 子空间的维数由定理2和定理1得到命题4 设V是F上n维向量空间，W是V的一个子空间，则；并且W的一个基可以扩充为V的一个基 命题5 同命题4所设，则W=V，当且仅当=证 必要性是显然的反之，即=n，1,2,n是W的一个基，则它是V的一个线性无关向量组于是，由命题6.3.2知道它也是V的一个基因此，W=L(1，n)=V定理4 V中向量组1，2，s生成的线性子空间L(1，2，s)的维数等于向量组1，2，s的秩；向量组1，2，s的一个极大线性无关组就是L(1，2，s)的一个基证 设向量组1，2，s的一个极大线性无关组是，由线性表示的传递性，1，s中每一个向量可以由线性表出，从而是L(1，2，s)的一个基由此得出L(1，2，s)的维数等于向量组1，2，s的秩 命题6 向量空间V中两个向量组1，2，s与生成的子空间相同的充分且必要条件是这两个向量组等价证 必要性 若L(1，2，s)=L()，则易见这两个向量组等价充分性 若1，2，s与等价，则由线性表出的传递性，L(1,2,，s)中任一向量可由线性表出，因此L(1,2,，s)L()同理，有L()L(1，2,，s)所以L(1，s)= L() 讨论、练习与作业课后反思 授课内容第四讲 基变换与坐标变换教学时数2授课类型讲授教学目标通过本节的学习,掌握基变换与过渡矩阵的定义、运算, 坐标变换公式教学重点基变换与过渡矩阵的定义、运算, 坐标变换公式教学难点坐标变换公式的应用教学方法与手段 讲授法 启发式教学过程一、线性空间的基变换,基的过渡矩阵设V/K是n维线性空间,设和是两组基,且将其写成矩阵形式.定义11 我们称矩阵为从到的过渡矩阵.命题6 设在n维线性空间V/K中给定一组基.T是K上一个n阶方阵.命则有是V/K的一组基,当且仅当T可逆.证明:若是线性空间V/K的一组基,则线性无关.考察同构映射,构造方程, 其中,线性无关.构成了过渡矩阵的列向量,所以过渡矩阵可逆；反过来,若过渡矩阵可逆,则构造方程,其中,两边用作用,得到,.证毕.二、向量的坐标变换公式；中的两组基的过渡矩阵(1)向量的坐标变换公式设V/K有两组基为和,又设在下的坐标为,即,在下的坐标为,即.现在设两组基之间的过渡矩阵为T,即记,于是.于是,由坐标的唯一性,可以知道,这就是坐标变换公式.(2)中两组基的过渡矩阵的求法我们设中两组基分别为 和 而 按定义,T的第i个列向量分别是在基下的坐标.将和看作列向量分别排成矩阵；,则有,将A和B拼成分块矩阵,利用初等行变换将左边矩阵A化为单位矩阵E,则右边出来的就是过渡矩阵T,示意如下:.讨论、练习与作业课后反思 授课内容第五讲 线性子空间，子空间的交与和教学时数2授课类型讲授教学目标通过本节的学习,掌握线性子空间的定义、判别定理，掌握子空间的交与和的定义、性质及维数公式教学重点线性子空间的定义、判别定理，子空间的交与和的定义及维数公式教学难点线性子空间的判别定理，子空间的交与和的定义及维数公式教学方法与手段 讲授法 启发式教学过程一、线性空间的子空间的定义定义12(子空间) 设V是数域K上的一个线性空间,M时V的一个非空子集.如果M关于V内的加法与数乘运算也组成数域K上的一个线性空间,则称为V的一个子空间.命题7 设V是K上的线性空间,又设一个非空集合,则是子空间当且仅当下述两条成立:i)对减法封闭； ii)对于K中元素作数乘封闭.证明:必要性由定义直接得出； 充分性:各运算律在V中已有,所以W满足运算律的条件. 只需要证明且对于任意,且对加法封闭即可. 事实上,由于关于数乘封闭,则；,于是对于,W关于加法封闭.于是W是V的一个子空间. 证毕.事实上,W关于加法和数乘封闭也可以得出上述结论.命题8 设W是V的一个有限维子空间,则W的任一组基可以扩充为V的一组基.证明:设,若,则命题为真；若,对作归纳:设为W的一组基,取,则线性无关.于是令,易见,W是V的一个子空间,且,此时,对其用归纳假设即可.二、子空间的交与和,生成元集定义13 设,则是V的一个子空间,称为由生成的子空间,记为.易见,生成的子空间的维数等于的秩.定义14(子空间的交与和) 设为线性空间V/K的子空间,定义,称为子空间的交；,称为子空间的和.命题9 和都是V的子空间.证明:由命题4.7,只需要证明和关于加法与数乘封闭即可.事实上,则,.由于均是V的子空间,则,于是,关于加法封闭；,于是,关于数乘封闭.,则由的定义,使得,而,则,关于加法封闭；,使得,由于,则,关于数乘封闭.证毕.命题10 设是V的子空间,则和均为V的子空间.三.维数公式.定理1 设V为有限维线性空间,为子空间,则.这个定理中的公式被称为维数公式.证明:设,取的一组基(若=0,则,基为空集),将此基分别扩充为的基,只需要证明是的一组基即可.首先,易见中的任一向量都可以被线性表出.事实上,则,其中,而 于是可被线性表出.只要再证明向量组线性无关即可.设,其中.则(*)于是,于是,记为.则可被线性表示,设,代入(*),有,由于是的一组基,所以线性无关,则,代回(*),又有,于是向量组线性无关.证毕.推论1 设都是有限为线性空间V的子空间,则:.证明:对t作归纳.讨论、练习与作业课后反思 授课内容第六讲 子空间的直和教学时数2授课类型讲授教学目标通过本节的学习,掌握子空间的直和与补空间的定义及性质教学重点子空间的直和的四个等价定义教学难点子空间的直和的四个等价定义教学方法与手段 讲授法 启发式教学过程一、子空间的直和与直和的四个等价定义定义 设V是数域K上的线性空间,是V的有限为子空间.若对于中任一向量,表达式.是唯一的,则称为直和,记为或.定理 设为数域K上的线性空间V上的有限为子空间,则下述四条等价:1)是直和；2)零向量表示法唯一；3)；4).证明: 显然.设则.由2)知,零向量的表示法唯一,于是,即的表示法唯一.由直和的定义可知,是直和.假若存在某个,使得,则存在向量且,于是存在,使得.由线性空间的定义,则,与零向量的表示法唯一矛盾,于是.若2)不真,则有,其中且.于是,与3)矛盾,于是2)成立.对m作归纳.=2时,由维数公式得到.设已证,则对于,而,都有；由归纳假设,可以得到.,都有,于是.证毕.推论 设为V的有限维子空间,则下述四条等价:i)是直和；ii)零向量的表示法唯一；iii)；iv).二、直和因子的基与直和的基命题 设,则的基的并集为V的一组基.证明: 设是的一组基,则V中任一向量可被线性表出.又,由命题4.5,它们线性无关,于是它们是V的一组基. 证毕.三、补空间的定义及存在性定义 设为V的子空间,若子空间满足,则称为的补空间.命题 有限维线性空间的任一非平凡子空间都有补空间.证明: 设为K上的n为线性空间V的非平凡子空间,取的一组基,将其扩为V的一组基取,则有,且,于是,即是的补空间.证毕.讨论、练习与作业课后反思 授课内容第七讲 线性空间的同构教学时数2授课类型讲授教学目标通过本节的学习,掌握线性空间同构的有关定义及线性空间同构的判定教学重点线性空间同构的判定教学难点线性空间同构的判定教学方法与手段 讲授法