北京市昌平区高三数学上学期期末质量抽测试题 文（含解析）.doc

昌平区20152016学年第一学期高三年级期末质量抽测数学试卷（文科） （满分150分，考试时间 120分钟）2016.1考生须知：1 本试卷共6页，分第卷选择题和第卷非选择题两部分。2 答题前考生务必将答题卡上的学校、班级、姓名、考试编号用黑色字迹的签字笔填写。3 答题卡上第i卷(选择题)必须用2b铅笔作答，第ii卷(非选择题)必须用黑色字迹的签字笔作答，作图时可以使用2b铅笔。请按照题号顺序在各题目的答题区内作答，未在对应的答题区域内作答或超出答题区域作答的均不得分。4 修改时，选择题部分用塑料橡皮擦涂干净，不得使用涂改液。保持答题卡整洁，不要折叠、折皱、破损。不得在答题卡上做任何标记。5 考试结束后，考生务必将答题卡交监考老师收回，试卷自己妥善保存。第卷（选择题 共40分）一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项)（1）若集合，则a bc d或【考点】集合的运算【试题解析】或，所以。【答案】b（2）下列函数中，为偶函数的是（ ） a. b. c. d. 【考点】函数的奇偶性【试题解析】因为偶函数的图像关于y轴对称，所以结合函数图像知：是偶函数。【答案】d（3）已知向量，若，则的值为 a. b. c. d. 【考点】平面向量坐标运算【试题解析】若，则【答案】c（4）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是 a.36 b.18 c.12 d6【考点】空间几何体的表面积与体积空间几何体的三视图与直观图【试题解析】由题知：【答案】d（5）设，则的大小关系为 a b c d【考点】对数与对数函数指数与指数函数【试题解析】因为所以。【答案】c（6）在等比数列中，则“”是“”的a充分不必要条件 b必要不充分条件 c充要条件 d既不充分也不必要条件【考点】充分条件与必要条件【试题解析】在等比数列中，则成立，反过来若，则，故不成立，所以“”是“”的充分不必要条件。【答案】a（7）若满足 且的最大值为6，则的值为 a b1 c d【考点】线性规划【试题解析】作可行域：a(-2，1)，b(k，k+3)，c(k，-k-1)由图知：当目标函数线过b点时，目标函数值最大，为【答案】b（8）2015年12月7日，北京首次启动空气重污染红色预警.其应急措施包括：全市范围内将实施机动车单双号限行（即单日只有单号车可以上路行驶，双日只有双号车可以上路行驶），其中北京的公务用车在单双号行驶的基础上，再停驶车量总数的30% .现某单位的公务车，职工的私家车数量如下表： 公务车 私家车 单号（辆） 10 135 双号（辆） 20 120 根据应急措施，12月8日，这个单位需要停驶的公务车和私家车一共有a154 辆 b149辆 c145辆 d140辆【考点】函数综合【试题解析】因为12月8日是双号，所以停驶的私家车有135辆，停驶的公务车有：10+辆。所以12月8日，这个单位需要停驶的公务车和私家车一共有135+19=154辆。【答案】a 第卷（非选择题 共110分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）（9）已知复数，则_.【考点】复数乘除和乘方【试题解析】所以【答案】（10）若直线与圆相切，则的值是_.【考点】直线与圆的位置关系【试题解析】由题知：圆心为（2，-3），半径为因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离为：，解得：的值是-12或-2。【答案】12或2（11）执行如图所示的程序框图，输出的值为_【考点】算法和程序框图【试题解析】由图知：s=1，i=1，是；i=2，s=是；i=3，s=是；i=4，s=否，故输出的s值为4【答案】4（12）若双曲线的左支上一点到右焦点的距离是6，则点到左焦点的距离为 .【考点】双曲线【试题解析】由双曲线的定义知：【答案】2（13）在中，则 ； .【考点】倍角公式余弦定理【试题解析】由余弦定理得：所以a=b，所以【答案】3； （14）某大学进行自主招生时，要进行逻辑思维和阅读表达两项能力的测试.学校对参加测试的200名学生的逻辑思维成绩、阅读表达成绩以及这两项的总成绩进行了排名.其中甲、乙、丙三位同学的排名情况如下图所示：从这次测试看，甲、乙两位同学，总成绩排名更靠前的是_；甲、丙两位同学，逻辑思维成绩排名更靠前的是_.【考点】函数图象【试题解析】显然，由图1知：甲、乙两位同学中总成绩排名更靠前的是乙；由图1、2知：甲、丙两位同学中逻辑思维成绩排名更靠前的是甲。【答案】乙；甲三、解答题（本大题共6小题，共80分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)(15) （本小题满分13分）已知函数（i）求的最小正周期；（ii）求的单调递增区间.【考点】三角函数的图像与性质恒等变换综合【试题解析】(1) 所以 最小正周期 (2)由得 所以函数的单调递增区间是【答案】见解析（16）（本小题满分13分） 在等差数列中,（i）求数列的通项公式；（ii）设数列，且数列是等比数列.若求数列的前项和.【考点】公式法，分组求和等差数列【试题解析】（i）设等差数列的公差为，由 得 所以 (ii) 由得.得.因为是等比数列，所以 所以 所以 【答案】见解析 (17) （本小题满分13分）小王为了锻炼身体，每天坚持“健步走”, 并用计步器进行统计.小王最近8天“健步走”步数的频数分布直方图（图1）及相应的消耗能量数据表（表1）如下： 图1 表1 （）求小王这8天 “健步走”步数的平均数； （）从步数为17千步，18千步,19千步的几天中任选2天，求小王这2天通过“健步走”消耗的能量和不小于1000卡路里的概率.【考点】古典概型样本的数据特征【试题解析】(i) 小王这8天 每天“健步走”步数的平均数为 （千步） . （ii）设小王这2天通过“健步走”消耗的能量和不小于1000卡路里为事件“健步走”17千步的天数为2天，记为“健步走”18千步的天数为1天，记为“健步走”19千步的天数为2天，记为5天中任选2天包含基本事件有： 共10个.事件包含基本事件有：共3个.所以 【答案】见解析(18) （本小题满分14分）如图，在直三棱柱中，,为中点. 与交于点o. （）求证： 平面；（）求证：平面;（）在线段上是否存在点，使得？请说明理由.【考点】垂直平行【试题解析】（）证明: 连结. 在直三棱柱中, 因为 , 所以 四边形为正方形, 所以 为中点. 因为 为中点， 所以 为的中位线, 所以 因为 平面, 平面, 所以平面. 4分（）在直三棱柱中, 所以 平面, 所以 在正方形中, 所以 平面. （） 存在 取中点,连结,. 所以. 所以. 因为,为中点, 所以. 因为, 所以平面. 所以. 所以 当为中点时, . 【答案】见解析(19) （本小题满分13分）已知椭圆c的离心率为,点在椭圆c上.（i）求椭圆c的方程；（ii）若直线与椭圆c交于a,b两点，线段ab中点为m,点o为坐标原点. 证明：直线om的斜率与直线l的斜率的乘积为定值.【考点】圆锥曲线综合椭圆【试题解析】（i）由题意得 解得.所以椭圆的方程为 （）法一：设，将代入得，故，于是直线的斜率，即所以直线的斜率与的斜率的乘积为定值 法二：设，则由 得 ,则,即 所以直线的斜率与的斜率的乘积为定值 【答案】见解析(20) （本小题满分14分）已知函数() 求函数在点处的切线方程；（）证明：当时，；（）设，若存在最大值，且当最大值大于时，确定实数的取值范围【考点】导数的综合运用【试题解析】（）解：定义域为，.由题意， ，所以函数在点处的切线方程为.4分（）证明：当时，可转化为当时